虞濤 時(shí)杰

摘? 要：結(jié)構(gòu)化視角下，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的把握需要體現(xiàn)聯(lián)系入手、整體思考和發(fā)展演繹的特點(diǎn). 在此結(jié)構(gòu)下，分析了解析幾何的建立框架，包括其建構(gòu)設(shè)想、學(xué)科基石、方法精髓和教育價(jià)值，提出解析幾何的研究重點(diǎn)應(yīng)該包括用代數(shù)方法研究幾何問題的學(xué)科觀念、建立曲線與方程對(duì)應(yīng)的知識(shí)脈絡(luò)，以及以曲線方程和坐標(biāo)法為核心和紐帶.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化；解析幾何；學(xué)科框架；學(xué)科核心

中圖分類號(hào)：G633.6? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1673-8284（2024）03-0014-05

引用格式：虞濤，時(shí)杰. 結(jié)構(gòu)化視角下解析幾何的教學(xué)內(nèi)容分析［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（3）：14-18.

課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化是新一輪課程改革的重要議題，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在“前言”關(guān)于“修訂的主要內(nèi)容和變化”中強(qiáng)調(diào)“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)”，并在“教學(xué)與評(píng)價(jià)建議”“學(xué)業(yè)水平考試與高考命題建議”“教材編寫建議”中反復(fù)強(qiáng)調(diào). 關(guān)注課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化是由數(shù)學(xué)的聯(lián)系性和整體性特點(diǎn)決定的. 數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)是客觀存在的，只有從整體上看待數(shù)學(xué)，才能把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，厘清中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)與發(fā)展脈絡(luò)，建立各條內(nèi)容主線之間的邏輯關(guān)聯(lián)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

結(jié)構(gòu)化視角下對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的把握體現(xiàn)在三個(gè)方面：其一，聯(lián)系入手，站在數(shù)學(xué)知識(shí)整體的立場(chǎng)探尋知識(shí)產(chǎn)生的背景，捋順知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯過(guò)程和知識(shí)之間的層級(jí)關(guān)系，理解知識(shí)外在的符號(hào)表征；其二，整體思考，確定知識(shí)的核心概念，以核心概念為中心將形式分離但本質(zhì)一致的內(nèi)容統(tǒng)整起來(lái)，構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的內(nèi)容主線；其三，發(fā)展演繹，剖析內(nèi)容主線中知識(shí)學(xué)習(xí)的漸進(jìn)性，提煉內(nèi)容主線中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，優(yōu)化整合促進(jìn)不同數(shù)學(xué)思想方法的融合，形成統(tǒng)攝性更強(qiáng)、適用性更廣的數(shù)學(xué)一般觀念，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)一步更新迭代. 本文嘗試基于結(jié)構(gòu)化視角，分析滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊(cè)（以下統(tǒng)稱“新教材”）中的解析幾何內(nèi)容，供數(shù)學(xué)教師研究參考.

一、解析幾何的建立框架

1. 解析幾何的構(gòu)建設(shè)想

17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家笛卡兒認(rèn)為，古希臘的幾何學(xué)只限于形，演繹推理只能證明已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的事物，卻不能幫助發(fā)現(xiàn)未知的事物，而代數(shù)受公式和法則的束縛. 他希望能將幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)中最好的東西結(jié)合起來(lái)，取長(zhǎng)補(bǔ)短. 他想要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)理想的解決各種問題的“萬(wàn)能方法”：任何問題—數(shù)學(xué)問題—代數(shù)問題—解方程. 要實(shí)現(xiàn)包含數(shù)形轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合和各取所長(zhǎng)的想法，需要兩個(gè)基本要素，或者說(shuō)需要兩個(gè)基本想法：一個(gè)是坐標(biāo)想法，另一個(gè)是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化想法. 坐標(biāo)想法使“點(diǎn)”和“數(shù)”之間形成聯(lián)系，運(yùn)動(dòng)變化想法則通過(guò)點(diǎn)動(dòng)成線，把曲線上的“點(diǎn)集”和相應(yīng)方程的“坐標(biāo)數(shù)集”對(duì)應(yīng)起來(lái)，且能夠相互轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)了曲線的代數(shù)化，從動(dòng)態(tài)的角度解決了幾何問題. 這兩個(gè)基本的萌芽想法最終不斷完善發(fā)展，促使解析幾何成為數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的重要學(xué)科分支.

2. 解析幾何的奠定基石

從這兩個(gè)基本想法談起. 先說(shuō)前者，點(diǎn)與數(shù)組如何對(duì)應(yīng)起來(lái)？即如何選取基線. 這就需要構(gòu)建坐標(biāo)系的靈感. 在平面上建立坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與有序的一對(duì)實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 數(shù)對(duì)就是所謂平面上點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo). 這樣給出了點(diǎn)的位置數(shù)量化的具體方法，是從“形”到“數(shù)”的基本出發(fā)點(diǎn). 再議后者，在運(yùn)動(dòng)變化想法的前提下，以平面情形為例，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)成為兩個(gè)變量，曲線成為兩個(gè)變量的關(guān)系. 將帶有兩個(gè)變量的方程與平面上的一條曲線對(duì)應(yīng)，建立起對(duì)應(yīng)的統(tǒng)一體. 已知給定一條平面上的曲線C，把曲線看成動(dòng)點(diǎn)M的軌跡. 利用點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，可以建立曲線C在平面坐標(biāo)系中的二元方程[F]，使得該曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)二元方程[F]，而不在該曲線上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)二元方程[F]. 一個(gè)二元方程[F]的解集所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集確定了平面上的曲線C. 在幾何圖形與代數(shù)方程的統(tǒng)一下定義曲線的方程（或方程的曲線）的核心概念. 因此，對(duì)“平面直角坐標(biāo)系”“坐標(biāo)”“曲線的方程（方程的曲線）”等概念的定義，完成了解析幾何的奠基工作.

3. 解析幾何的方法精髓

構(gòu)建解析幾何的第一想法，是點(diǎn)與數(shù)組的對(duì)應(yīng)，將幾何中的基本元素“點(diǎn)”和代數(shù)中的基本研究對(duì)象“數(shù)”建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系. 這是由形到數(shù)，數(shù)形結(jié)合的基本點(diǎn). 利用坐標(biāo)系，可以建立平面上的點(diǎn)與有序的一對(duì)實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 構(gòu)建解析幾何的第二個(gè)想法，是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，使得幾何圖形與代數(shù)方程達(dá)成了統(tǒng)一. 這里需要把曲線看成動(dòng)點(diǎn)的軌跡，動(dòng)點(diǎn)就可以用一對(duì)有序的變數(shù)來(lái)表示. 在此基礎(chǔ)上，平面上的曲線就可以用方程來(lái)表示. 這是依形判數(shù)，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)折點(diǎn). 于是，可以通過(guò)研究方程的代數(shù)問題來(lái)研究曲線性質(zhì)的幾何問題，需要使用代數(shù)方法進(jìn)行字母推導(dǎo)運(yùn)算，這是由數(shù)推形，數(shù)形結(jié)合的制高點(diǎn)，也就是解決幾何問題的關(guān)鍵點(diǎn). 可以看到，解析幾何充分利用了代數(shù)方法和幾何方法中最有利的功能：幾何圖形的具體、直觀和形象，便于想象、認(rèn)識(shí)和理解；代數(shù)方法的表達(dá)方便、結(jié)構(gòu)清晰、操作性強(qiáng)，以及可程序化. 解析幾何數(shù)學(xué)分支的建立實(shí)現(xiàn)了笛卡兒對(duì)普適性方法探索的初衷. 它的創(chuàng)建是科學(xué)發(fā)展的需要，也是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展對(duì)普適性方法的需求，具有強(qiáng)烈的方法論的觀念. 因?yàn)閿?shù)學(xué)是從“數(shù)”和“形”兩個(gè)視角展開研究的，所以數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要思想方法，而解析幾何正是數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典數(shù)學(xué)分支.

4. 解析幾何的教育價(jià)值

解析幾何素材具有豐富的教育價(jià)值. 在解析幾何發(fā)展的各個(gè)階段都可以呈現(xiàn)出教育價(jià)值，包括應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值、科學(xué)價(jià)值、創(chuàng)新價(jià)值和審美價(jià)值等. 在探究圓錐曲線的起源階段，可以了解圓錐曲線名稱的來(lái)歷，以及如何從圖形角度進(jìn)行定義，感受圓錐曲線的現(xiàn)實(shí)背景；在查閱圓錐曲線的歷史成果階段，可以欣賞并感受古希臘數(shù)學(xué)家的理性與智慧，明確解析幾何的發(fā)展史，感受解析幾何悠久的學(xué)科歷史；在解析幾何學(xué)的創(chuàng)立階段，可以分析解析幾何的核心學(xué)科思想，以及它對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的重要作用，了解從數(shù)量關(guān)系角度定義圓錐曲線的時(shí)代背景和學(xué)科發(fā)展背景，引出圓錐曲線的幾何性質(zhì)；在圓錐曲線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)階段，經(jīng)歷從具體情境中抽象獲得圓錐曲線本質(zhì)特征的過(guò)程，了解圓錐曲線的最初定義與圓錐曲線的本質(zhì)特征的聯(lián)系，滲透化歸思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型思想的應(yīng)用；在圓錐曲線的定義階段，經(jīng)歷從數(shù)量關(guān)系角度定義圓錐曲線的過(guò)程，培養(yǎng)探索真理和理性分析的思維品質(zhì)，掌握?qǐng)A錐曲線的概念，引出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；在圓錐曲線的應(yīng)用階段，經(jīng)歷運(yùn)用解析幾何思想和方法解決實(shí)際問題的過(guò)程，了解圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

二、解析幾何的研究重點(diǎn)

1. 解析幾何的學(xué)科觀念

《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，如運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、運(yùn)用平面解析幾何方法解決、感悟平面解析幾何中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想等，還有進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想. 這里簡(jiǎn)要說(shuō)明這些思想方法之間的邏輯關(guān)系，如圖1所示.

解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是基于它將“數(shù)”與“形”的對(duì)立關(guān)系統(tǒng)一了起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)了用代數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決幾何問題. 解析幾何的思想方法主要包括坐標(biāo)法和代數(shù)法. 新教材在“平面直角坐標(biāo)系中的直線”單元著重運(yùn)用坐標(biāo)法，借助坐標(biāo)系表示確定直線位置所需要的幾何元素，構(gòu)建多種形式的直線方程，并利用直線方程判定兩條直線的位置關(guān)系. 在“圓錐曲線”單元涉及大量的代數(shù)運(yùn)算，著重運(yùn)用坐標(biāo)系下的代數(shù)法建立曲線方程，研究幾何性質(zhì)及直線與曲線的位置關(guān)系. 曲線方程是坐標(biāo)法和代數(shù)法實(shí)施的載體. 基于運(yùn)動(dòng)與靜止的觀念，把曲線看成動(dòng)點(diǎn)的軌跡；基于二元變量的觀念，形成曲線的方程或方程的曲線的概念. 至此，基于平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，在系列直線方程、圓方程、各種圓錐曲線方程概念建立的過(guò)程中逐步推進(jìn)“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一. 解析幾何的研究發(fā)展成以“曲線的方程”為核心概念，包含眾多子概念，如直線的方程、圓錐曲線的方程等. 因此，這部分內(nèi)容應(yīng)該以“曲線的方程”為單元主題開展學(xué)習(xí). 當(dāng)然，這種統(tǒng)一建立在平面坐標(biāo)系的支持下. 因此，坐標(biāo)系法，即在坐標(biāo)系下進(jìn)行點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程和曲線的方程的確定，是一種重要的代數(shù)運(yùn)算方法. 坐標(biāo)系建立、幾何元素坐標(biāo)的確立，以及坐標(biāo)的運(yùn)算使得代數(shù)方法成為幾何圖形研究的主要方法. 這樣以形定數(shù)、借數(shù)推形，使得解析幾何成為用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)分支. 事實(shí)上，新教材中函數(shù)、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)和向量等知識(shí)發(fā)展的邏輯都是借助于坐標(biāo)系，也讓坐標(biāo)法和代數(shù)法成為中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法. 因此，《標(biāo)準(zhǔn)》將解析幾何納入幾何與代數(shù)主線，主張用代數(shù)方法研究幾何對(duì)象.

2. 解析幾何的知識(shí)體系

整個(gè)解析幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)框架體系如圖2所示. 第一層為數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的整體描述，是數(shù)學(xué)學(xué)科研究的宏觀方向；第二層為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；第三層為數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域；第四層是關(guān)于解析幾何學(xué)科分支的基本觀念和初始目標(biāo)，直達(dá)學(xué)科領(lǐng)域知識(shí)內(nèi)核的描述；第五層是核心概念，包括坐標(biāo)系與曲線方程；第六層是重要概念，是各種平面曲線，有圓、橢圓、雙曲線和拋物線等，它們是建立方程和研究方程的出發(fā)點(diǎn)；第七層是基本概念，有各種直線的方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；第八層是數(shù)學(xué)事實(shí)，這里有各種圓錐曲線的幾何性質(zhì)，包括對(duì)稱性、頂點(diǎn)、范圍和離心率等，從而揭示出體現(xiàn)最初直觀感知的幾何圖形的多種特征.

3. 解析幾何的知識(shí)脈絡(luò)

在解析幾何創(chuàng)立之前，幾何與代數(shù)這兩個(gè)學(xué)科分支彼此獨(dú)立，但是隨著生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展及學(xué)科發(fā)展的需求，迫切要求把幾何和代數(shù)聯(lián)系起來(lái)，溝通形和數(shù)之間的關(guān)系，使得幾何與代數(shù)兩大學(xué)科之間互相汲取新的內(nèi)容，從而獲得快速發(fā)展. 借助坐標(biāo)，由點(diǎn)與數(shù)組的對(duì)應(yīng)延伸到“按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)的曲線的軌跡”與“制約條件下兩個(gè)變量的關(guān)系”的對(duì)應(yīng)，繼而上升為曲線與方程的對(duì)應(yīng)，衍生出直線與二元一次方程、圓錐曲線與二元二次方程、運(yùn)動(dòng)的曲線與參數(shù)方程、旋轉(zhuǎn)曲線與極坐標(biāo)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，完成平面曲線與二元方程在數(shù)形結(jié)合上的對(duì)應(yīng)，如圖3所示.

4. 解析幾何的核心概念

解析幾何的終極目標(biāo)是用代數(shù)的觀點(diǎn)與方法解決幾何問題，為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，僅建立幾何與代數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是不夠的，還要進(jìn)一步將幾何與代數(shù)融為一體，達(dá)成統(tǒng)一. 由此，曲線的方程的概念成為解析幾何理論賴以建立的支柱. 新教材盡可能用通俗的語(yǔ)言描述曲線的方程和方程的曲線的定義：在直角坐標(biāo)系中，給定一條曲線和一個(gè)關(guān)于x與y的二元方程. 如果給定曲線上的每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是該給定方程的解，而且以給定方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在該給定曲線上，那么稱這個(gè)給定的方程是給定曲線的方程，也稱這條給定的曲線是給定方程的曲線. 不妨將曲線的方程看作滿足特定條件的點(diǎn)的集合，即用集合語(yǔ)言來(lái)說(shuō)明這個(gè)定義. 給定曲線可以看作由點(diǎn)組成的集合，記作C；如果把給定方程的解作為點(diǎn)的坐標(biāo)，那么給定方程的解集就可以看成一個(gè)點(diǎn)集，記作F. 用集合C和集合F之間的關(guān)系來(lái)描述曲線的方程和方程的曲線定義中的兩個(gè)條件：第一個(gè)條件指點(diǎn)集C是點(diǎn)集F的子集；第二個(gè)條件指點(diǎn)集F是點(diǎn)集C的子集. 這樣，根據(jù)集合的性質(zhì)，就可以用集合相等的概念來(lái)定義曲線的方程和方程的曲線，即[C?F]且[F?C，] 得[C=F，] 從而重構(gòu)曲線的方程和方程的曲線的定義. 某種意義上，曲線與方程的關(guān)系還可以看成一種充要條件. 研究曲線和方程對(duì)應(yīng)的充要條件，是用代數(shù)方法研究幾何問題的理論保證. 探索軌跡的純粹性與完備性，是嚴(yán)格論證曲線的方程的必經(jīng)之路. 它形成了從幾何軌跡、代數(shù)表示到反向推演的雙向驗(yàn)證的確定曲線方程的方法論.

在新教材中，“曲線的方程”既是學(xué)習(xí)直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等概念的基礎(chǔ)，又是上位包容概念. 它是用坐標(biāo)法研究位置關(guān)系、度量關(guān)系、曲線性質(zhì)的關(guān)鍵. 由于直線的方程、圓的方程、橢圓的方程、雙曲線的方程、拋物線的方程等重要概念不斷地被代數(shù)推導(dǎo)和雙向驗(yàn)證，使得曲線的方程成為解析幾何中的核心概念，它具有整個(gè)解析幾何知識(shí)的引導(dǎo)性和統(tǒng)領(lǐng)性，整個(gè)解析幾何單元圍繞曲線的方程主題展開，知識(shí)內(nèi)容逐步擴(kuò)充，思想方法逐步深入.

5. 解析幾何的主要研究對(duì)象

平面解析幾何的研究對(duì)象是平面幾何圖形及其幾何要素或基本特征，事實(shí)上就是圖形在運(yùn)動(dòng)變化中的不變性和不變量等. 解析幾何從點(diǎn)和直線開始研究，利用坐標(biāo)確定直線上的點(diǎn)及直線的斜率和截距，進(jìn)一步研究點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系，包括重合、平行、垂直和相交，以及由直線所形成的平面圖形的長(zhǎng)度、角度和面積. 再進(jìn)一步開展圓錐曲線的研究，包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線，研究它們的長(zhǎng)軸、短軸、實(shí)軸、虛軸、焦距、離心率、焦半徑等幾何量. 最后，用代數(shù)的方法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，包括相交、相切等.

6. 解析幾何研究的主要問題

在平面幾何和立體幾何中，我們所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，以演繹推理為手段，依據(jù)圖形中點(diǎn)、線、面的關(guān)系來(lái)研究圖形的性質(zhì). 而在解析幾何中則完全不同. 在解析幾何思想的指引下，所有圓錐曲線都可以用二元二次方程來(lái)表示，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線（包括直線），從而用方程的思想去解決與曲線有關(guān)的問題. 因此，平面解析幾何的兩個(gè)主要研究問題是：根據(jù)幾何條件，建立適當(dāng)?shù)钠矫孀鴺?biāo)系，從而用方程表示平面曲線；通過(guò)研究方程的特點(diǎn)，來(lái)研究平面曲線的特征，從而用代數(shù)方法解決幾何問題.

7. 解析幾何的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)分析

本單元知識(shí)內(nèi)容屬于選擇性必修課程，學(xué)習(xí)主體對(duì)象一般是高中二年級(jí)學(xué)生. 學(xué)生在日常生活或相關(guān)學(xué)科知識(shí)中獲知了圓、橢圓或拋物線的幾何形狀的特征. 學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)和掌握了平面幾何的基本知識(shí)，如兩點(diǎn)確定一條直線，知道到定點(diǎn)的距離是正常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，能依據(jù)幾何命題判斷圖形是否是中心對(duì)稱或軸對(duì)稱，具備了一定的演繹推理能力. 從小學(xué)到初中，學(xué)生依次接觸到數(shù)軸和坐標(biāo)系，經(jīng)歷了由將實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)到數(shù)軸上的點(diǎn)到將有序數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)到坐標(biāo)系中的點(diǎn)的過(guò)程. 學(xué)生已經(jīng)熟悉借用平面直角坐標(biāo)系研究數(shù)學(xué)問題，能把直線和一次函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)；了解了反比例函數(shù)的圖象也稱為雙曲線，二次函數(shù)的圖象也就是物理學(xué)中的拋物運(yùn)動(dòng)軌跡，這樣從直觀上感知二次函數(shù)與拋物線圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 在高一必修課程中，函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量?jī)?nèi)容的學(xué)習(xí)都建立在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的表示和坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，如函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性等性質(zhì)都可以借助坐標(biāo)來(lái)刻畫和研究，學(xué)生具備了一定的數(shù)形結(jié)合、分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力，已經(jīng)初步理解和體會(huì)了坐標(biāo)法的應(yīng)用. 這些都有利于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)解析幾何的知識(shí)內(nèi)容和思想方法.

事實(shí)上，從初中的正（反）比例函數(shù)、一次（二次）函數(shù)到高中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，都揭示了函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的內(nèi)在聯(lián)系. 函數(shù)的圖象與方程的曲線在數(shù)與形上的對(duì)應(yīng)表達(dá)已經(jīng)蘊(yùn)含了解析幾何中曲線的方程與方程的曲線的概念雛形. 解析幾何的本質(zhì)是點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)、曲線與方程的對(duì)應(yīng)、用代數(shù)方法解決幾何問題，這就要求學(xué)生能自覺地選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并能熟練地進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化. 而用數(shù)學(xué)符號(hào)表示幾何元素，進(jìn)行比較復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算是學(xué)生尚未具備的能力.

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