摘 要：為分析某金屬帶式無級變速器（CVT）振動產(chǎn)生機(jī)理，采用集中參數(shù)法建立雙級行星齒輪非線性扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，應(yīng)用四階龍格庫塔方法進(jìn)行動態(tài)響應(yīng)求解，利用ADAMS 軟件進(jìn)行動力學(xué)仿真，對動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行驗證，進(jìn)行CVT 振動臺架試驗測試。研究結(jié)果表明：四階龍格庫塔方法與ADAMS 動態(tài)仿真得到的動態(tài)響應(yīng)結(jié)果基本一致；臺架試驗結(jié)果表明前進(jìn)擋轉(zhuǎn)速為2500 r/min 時，低速擋輸入軸軸向位置的振動加速度最大為0.623m/s2，轉(zhuǎn)速為1 000 r/min 時，低速擋輸入軸軸向位置的加速度最大為0.309 m/s2；倒擋工況下，轉(zhuǎn)速為2 500 r/min時，倒擋輸入軸軸向位置的振動加速度最大為0.703 m/s2，轉(zhuǎn)速1 000 r/min 時，倒擋輸入軸軸向位置的加速度最大為0.504 m/s2；倒擋工況下的振動加速度幅值比前進(jìn)擋高12.85%；倒擋階次譜中54.4 階和108.8 階振動信號最為明顯，擋位切換過程中雙級行星齒輪嚙合次數(shù)增多，嚙合間隙是CVT 在倒擋動力傳遞中振動增大的主要原因。

關(guān)鍵詞：無級變速器；振動分析；行星齒輪；階次分析；四階龍格庫塔法；非線性動力學(xué)分析

中圖分類號：TH 132 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-0562（2024）01-0068-09

0 引言

目前，汽車購買需求不斷增加，汽車的各項性能面臨更嚴(yán)格的管控和要求。CVT 變速箱依靠換擋油耗低、始終利用發(fā)動機(jī)最大功率、換擋點可任意發(fā)生變化、造價低廉及駕駛舒適等優(yōu)點，漸漸成為各大廠商首要選擇目標(biāo)[1]。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對于CVT 的振動問題進(jìn)行了大量研究，主要集中在變速機(jī)構(gòu)的自激振動上。COMPARIN 等[2]在解析單自由度齒側(cè)間隙非線性振動的數(shù)學(xué)模型時使用了諧波平衡法，對求解結(jié)果的分叉性和穩(wěn)定性進(jìn)行分析，結(jié)果表明頻率響應(yīng)曲線在特定頻率下具有多值性。GUAN 等[3]建立了將變速箱殼體傳遞誤差考慮在內(nèi)的齒輪傳動系統(tǒng)的有限元模型，并通過計算得出橫向振動是齒輪傳動系統(tǒng)在誤差激勵下的主要振動形式。DRIOT等[4]在統(tǒng)計學(xué)理論基礎(chǔ)上將誤差分成隨機(jī)誤差和確定誤差兩類，研究分析了齒輪振動性能與兩種完全不同的誤差之間的關(guān)系。周長江等[5]將摩擦作為影響齒輪線外嚙合機(jī)理之一，建立齒輪嚙合沖擊摩擦模型并進(jìn)行推導(dǎo)求解，為齒輪齒廓修形及減振奠定了理論基礎(chǔ)。桂勇等[6]提出一種利用階次包絡(luò)分析對行星齒輪系統(tǒng)進(jìn)行故障診斷的方法。劉輝等[7]建立了單排行星圓柱直齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，主要考慮安裝誤差等對系統(tǒng)的影響。張強(qiáng)等[8]在第二類拉格朗日的基礎(chǔ)上建立了多排行星齒輪的動力學(xué)方程，分析了典型工況的時域振動特性。

目前，齒輪系統(tǒng)對傳動系統(tǒng)產(chǎn)生的振動問題研究較少，基于此，以采用雙級行星齒輪進(jìn)行擋位切換的某國產(chǎn)金屬帶式CVT 為研究對象，分析該行星齒輪對CVT 變速箱造成的振動影響。

1 行星齒輪非線性純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型

依靠雙級行星齒輪進(jìn)行擋位切換的CVT 倒擋時，在液壓油的作用下倒擋離合器摩擦片相互結(jié)合，前進(jìn)擋離合器摩擦片脫離接觸，此時內(nèi)齒圈被鎖止固定住，動力傳遞路線如下：發(fā)動機(jī)→液力變矩器→輸入軸→太陽輪→內(nèi)、外行星輪反轉(zhuǎn)。該工況下行星齒輪系統(tǒng)內(nèi)部齒輪正常嚙合，發(fā)動機(jī)扭矩由行星架輸入，通過內(nèi)、外行星輪實現(xiàn)動力的反向傳遞，最后由太陽輪輸出。傳動系統(tǒng)見圖1。

1.1 齒側(cè)間隙

齒輪在嚙合過程中，由于嚙合誤差、潤滑等原因存在齒側(cè)間隙，在其影響下導(dǎo)致齒輪在接觸、分離、再接觸的狀態(tài)之間不斷循環(huán)，使齒輪振動系統(tǒng)表現(xiàn)出強(qiáng)非線性。

齒側(cè)間隙一般表達(dá)為如下分段線性函數(shù)

式中：x 為嚙合點相對線位移；H 為0.5 倍的齒側(cè)間隙數(shù)值。

1.2 時變嚙合剛度

由于單、雙對齒輪的時變嚙合剛度波形與矩形波相似，因此將其簡化成矩形波的形式，忽略嚙合位置不一樣造成的影響，見圖2。

時變嚙合剛度可表示為

式（2）～式（4）中：k1smax、k1smin 分別為太陽輪-內(nèi)圈行星輪的最大、最小嚙合剛度，N/m；k1wmax、k1wmin 分別為內(nèi)圈-外圈行星輪的最大、最小嚙合剛度，N/m；kwqmax、kwqmin 分別為內(nèi)齒圈-外圈行星輪的最大、最小嚙合剛度，N/m；εlsn 為第n 路上太陽輪-內(nèi)圈行星輪的重合度；Tm 為嚙合周期，s。

平均嚙合剛度k 為

式中：kmax、kmin 分別為最大、最小嚙合剛度，N/m；ε 為各齒輪嚙合副相應(yīng)的重合度。

1.3 綜合嚙合誤差

齒輪在加工和裝配的過程中存在各種誤差，可以將其表達(dá)為正弦函數(shù)的形式：

e（t）= Asin（ωmt +φ）， （6）

式中：A 為誤差幅值；ωm 為嚙合頻率，Hz。

1.4 嚙合阻尼

齒輪傳動過程中，傳動結(jié)構(gòu)、潤滑條件、系統(tǒng)工作狀態(tài)等均會對齒輪副的嚙合阻尼造成影響。計算嚙合阻尼通常采用的經(jīng)驗公式為

式中：ξ 為阻尼比，取0.01～0.07；m1、m2 分別為齒輪1、齒輪2 的等效質(zhì)量，kg。

1.5 非線性純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型

由于該系統(tǒng)支撐剛度很大且內(nèi)嚙合剛度很小，故軸向振動相對扭轉(zhuǎn)振動可以忽略不計，因此本文采用集中參數(shù)法建立行星齒輪系統(tǒng)的純扭非線性動力學(xué)模型。

在建立動力學(xué)數(shù)學(xué)模型之前，對行星齒輪系統(tǒng)做如下假設(shè)：①將各齒輪簡化為具有集中質(zhì)量的圓柱體，各嚙合齒面間的彈簧剛度取齒面時變嚙合剛度，阻尼取嚙合阻尼；②每個構(gòu)件只有扭轉(zhuǎn)方向一個自由度；③忽略齒面之間的摩擦作用；④輪齒間嚙合力方向及動態(tài)嚙合線方向一致；⑤同類行星輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、嚙合剛度、嚙合阻尼、齒側(cè)間隙與綜合嚙合誤差相同，且在行星架上均勻分布。建立的行星齒輪系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)非線性動力學(xué)模型見圖3。

圖3 中，klsn、klwn、kwqn 分別為太陽輪-內(nèi)圈行星輪嚙合副、內(nèi)圈-外圈行星輪嚙合副、內(nèi)齒圈-外圈行星輪嚙合副第n 路上的嚙合剛度，N/m；Clsn、Clwn、Cwqn 分別為陽輪-內(nèi)圈行星輪嚙合副、內(nèi)圈-外圈行星輪嚙合副、內(nèi)齒圈-外圈行星輪嚙合副第n路上的嚙合阻尼，N·s/m；θpwn、θpln 分別為第n 路外圈行星輪、內(nèi)圈行星輪的旋轉(zhuǎn)角位移，rad；Pwn、Pln 分別為第n 路外圈行星輪、內(nèi)圈行星輪；ewq、elw、els 分別為齒圈-外圈行星輪嚙合副、內(nèi)圈-外圈行星輪嚙合副、內(nèi)圈-外圈行星輪嚙合副的綜合嚙合誤差；Hlsn、Hlwn、Hwqn 分別為太陽輪-內(nèi)圈行星輪嚙合副、內(nèi)圈-外圈行星輪嚙合副、內(nèi)齒圈-外圈行星輪嚙合副第n 路上的齒側(cè)間隙。

由圖3 振動模型可知，該模型中包含9 個廣義坐標(biāo)，即：

式中：xc、xq、xs 分別為行星架、內(nèi)齒圈、太陽輪的位移；xpl1、xpl2、xpl3 分別為內(nèi)圈行星輪-行星輪第1路、第2 路、第3 路上的齒輪嚙合副的位移；xpw1、xpw2、xpw3 分別為外圈行星輪-行星輪第1 路、第2 路、第3 路上的齒輪嚙合副的位移。位移單位為mm。

假設(shè)作用在行星架和太陽輪上的轉(zhuǎn)矩分別為Tc、Ts，根據(jù)牛頓第二定律可知此時該行星齒輪系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)非線性動力學(xué)方程組，其中

行星架的動力學(xué)微分方程為

2 系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)求解及驗證

2.1 動態(tài)響應(yīng)求解

行星齒輪參數(shù)見表1。將表1 中的參數(shù)代入式（18），采用四階龍格庫塔方法求解。為解決微分方程求解困難和計算精度低等問題，對原有的微分方程進(jìn)行無量綱化處理，縮小各參數(shù)數(shù)量級差距。設(shè)置求解時間τ=250（無量綱），并且按照差值1的形式從0 遞增至250，嚙合頻率ωm=10 240 Hz，初始位移x0=0。

求解得到行星齒輪系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，各齒輪嚙合對在嚙合線方向上的相對位移見圖4。由于動力學(xué)方程進(jìn)行了無量綱化處理，圖4 中橫縱坐標(biāo)的時間及位移值反映的并不是實際值，但可以充分體現(xiàn)出該行星齒輪系統(tǒng)的扭振規(guī)律。

系統(tǒng)剛運行時受到?jīng)_擊，導(dǎo)致無量綱位移變化幅度較大，運行一段時間后，位移曲線呈現(xiàn)周期性變化。圖4（a）中的相對位移變化范圍為3.85～5.70；圖4（b）中的相對位移變化范圍為3.92～5.60，與圖4（a）相比，變化幅度較??；圖4（c）中的相對位移變化范圍為3.80～5.80，與圖4（a）、圖4（b）相比，變化幅度最大。

2.2 動態(tài)響應(yīng)驗證

為了驗證該行星齒輪系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型的有效性，利用ADAMS 對行星輪系進(jìn)行動力學(xué)仿真，設(shè)置仿真步數(shù)為100、時間為1 s。行星輪系的仿真結(jié)果見圖5。

由圖5 可見，太陽輪線位移變化范圍為30～37.9 mm，內(nèi)行星輪線位移變化范圍為30.5～37.8 mm，外行星輪線位移的變化范圍為30.4～37.9 mm，整個系統(tǒng)的相對位移變化范圍為30～38 mm。將圖5 與圖4 進(jìn)行對比可見，三類齒輪的線位移變化趨勢基本一致，說明建立的行星齒輪系統(tǒng)動力學(xué)微分方程正確且有效。

3 CVT 變速箱振動臺架實驗

以國產(chǎn)CVT 變速箱臺架為基礎(chǔ)，搭建CVT 振動臺架，進(jìn)行振動實驗。

3.1 實驗分析方法

在進(jìn)行CVT 振動實驗時，為了保證實驗的可靠性，將加速度傳感器安裝在振動較大的各殼體部位。利用加速度傳感器采集CVT 變速箱內(nèi)部的振動頻率，再通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行收集后將其轉(zhuǎn)化成電壓信號輸出，最后利用軟件對實驗中采集到的振動信號進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，圖6 為CVT 振動實驗臺架。

3.2 測點布置

結(jié)合CVT 振動實驗臺和變速器常見的振動源位置布置加速度傳感器，見表2，測點位置示意見圖7。分別采集輸入軸、輸出軸的軸向和徑向數(shù)據(jù)，測點1、測點2、測點3、測點4 分別對應(yīng)Compact DAQ 信號放大數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的第一、二、三、四通道。

3.3 實驗工況

實驗在CVT 臺架上進(jìn)行，CVT 由電機(jī)驅(qū)動，分別對CVT 的輸入轉(zhuǎn)速和工作擋位進(jìn)行控制，設(shè)置多組實驗工況，見表3。當(dāng)輸入軸轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在1 000 r/min 時，開始采集數(shù)據(jù)。

3.4 實驗結(jié)果及數(shù)據(jù)分析

由于10 s 內(nèi)收集到的振動加速度數(shù)據(jù)較多，處理數(shù)據(jù)時會出現(xiàn)譜線模糊的問題，無法直接識別加速度信號特征。因此為了清晰識別加速度信號特征，僅對0.05 s 內(nèi)的加速度信號進(jìn)行分析，各工況下的加速度信號時域圖見圖8～圖11。

由圖8 可見，輸入軸軸向、輸入軸徑向、輸出軸軸向和輸出軸徑向4 個測點的振動周期分別為0.015 s、0.01 s、0.014 s 和0.01 s，最大振幅分別為0.492 m/s2、0.206 m/s2、0.246 m/s2 和0.281 m/s2。

由圖9 可見，此時輸入軸軸向、輸入軸徑向、輸出軸軸向和輸出軸徑向4 個測點的振動周期分別為0.02 s、0.025 s、0.01 s 和0.01 s，最大振幅分別為0.504 m/s2、0.214 m/s2、0.281 m/s2 和0.281 m/s2。

由圖10 可見，此時4 個測點的整體頻率提高，最大振幅也明顯增大。輸入軸軸向、輸入軸徑向、輸出軸軸向和輸出軸徑向4 個測點的振動周期分別為0.02 s、0.02 s、0.015 s 和0.015 s，最大振幅分別為0.615 m/s2、0.231 m/s2、0.281 m/s2 和0.299 m/s2。

由圖11 可見，輸入軸軸向、輸入軸徑向、輸出軸軸向和輸出軸徑向4 個測點的振動周期分別為0.015 s、0.01 s、0.015 s 和0.015 s，最大振幅分別為0.703 m/s2、0.319 m/s2、0.312 m/s2 和0.342 m/s2。

此時4 個測點的振動情況是倒擋4 種工況中最嚴(yán)重的，波形振蕩極其劇烈，幅值跨度很大。

不同工況下的最大加速度見表4。前進(jìn)擋與低速擋不同工況下振動加速度的變化趨勢與倒擋基本一致，因此只列出工況5～工況12。

由表4 可見，不同轉(zhuǎn)速下各工況振動加速度的變化趨勢基本一致，均隨著轉(zhuǎn)速的升高而逐漸增大。R 擋各測點的加速度幅值始終大于D 擋、L 擋。

在任一轉(zhuǎn)速下，加速度信號幅值都比其他擋位突出，但由此無法直接判斷是雙級行星齒輪造成的R 擋振動異常。需要對R 擋進(jìn)行階次分析，進(jìn)一步確定振動源。

4 CVT 變速箱倒擋階次分析

4.1 階次計算

從文獻(xiàn)[9]中對行星齒輪機(jī)構(gòu)的計算可知，行星齒輪的內(nèi)外嚙合率相等且和輸入軸與輸出軸的轉(zhuǎn)速關(guān)系為

式中：ω 為內(nèi)外圈行星輪嚙合率；ωt 為輸入軸的轉(zhuǎn)速；zt、zq 為太陽輪、內(nèi)齒圈的齒數(shù)。

根據(jù)式（23）可得該行星齒輪系統(tǒng)的階次為

式中：Op 為行星輪的階次；Ot 為太陽輪的階次；Oshaft 為輸入軸的階次。

由表1、式（24）、式（25）可得該CVT 各軸上及軸上齒輪的階次見表5。

4.2 測試工況

依據(jù)該CVT 變速箱R 擋的振動數(shù)據(jù)，設(shè)計實驗工況為：倒擋勻加速，輸入軸轉(zhuǎn)速范圍為1 000～2 500 r/min，空載運行，對收集到的信號進(jìn)行階次分析。

4.3 階次分析結(jié)果

圖12 為CVT 倒擋勻加速工況下的振動加速度瀑布圖，可見隨著轉(zhuǎn)速的升高，清晰地出現(xiàn)54.4 階與二次諧波108.8 階的階次信號，與理論計算吻合，說明CVT 倒擋時的振動確實產(chǎn)生于行星齒輪機(jī)構(gòu)。

5 結(jié)論

（1）建立考慮齒側(cè)間隙的行星齒輪非線性純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)微分方程，利用四階龍格庫塔求解，得到該系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的變化規(guī)律，以及各齒輪嚙合對的無量綱位移變化范圍。

（2）利用ADAMS 對CVT 系統(tǒng)模型進(jìn)行動態(tài)仿真，扭振規(guī)律的仿真結(jié)果與動力學(xué)方程的理論解基本一致。

（3）CVT 臺架實驗結(jié)果表明，倒擋工況振動加速度幅值比前進(jìn)擋高12.85%；倒擋階次譜中有兩階振動信號最為明顯。雙級行星齒輪嚙合次數(shù)增多及嚙合間隙是擋位切換過程中造成CVT 振動增大的主要因素。

參考文獻(xiàn)（References）：

[1] 婁鋒.金屬帶式無級變速器的傳動性能和動力學(xué)分析[D].沈陽：東北大學(xué)，2013：1-2.

[2] COMPARIN R J，SINGH R.Non-linear frequency response characteristics of"an impact pair[J].Journal of Sound and Vibration，1989，134：259-290.

[3] GUAN Y，LI M，TC L，et al.Comparative analysis of actuator concepts for"active gear pair vibration control[J].Journal of Sound and Vibration，2004（1-2）：273-394.

[4] DRIOT N，PERRET-LIAUDET J.Variability of modal behavior in terms of critical speeds of a gear pair due to manufacturing errors and shaft misalignments[J].Journal of Sound and Vibration，2006，292：824-843.

[5] 周長江，唐進(jìn)元，鐘志華.齒輪傳動的線外嚙合與沖擊摩擦[J].機(jī)械工程學(xué)報，2008，44（3）：75-80.

ZHOU Changjiang，TANG Jinyuan，ZHONG Zhihua.Corner contact and impact friction of gear drive[J].Journal of Mechanical Engineering，2008，44（3）：75-80.

[6] 桂勇，韓勤鍇，李崢，等.變速行星齒輪系統(tǒng)故障診斷方法[J].振動.測試與診斷，2016，36（2）：220-226，396.

GUI Yong，HAN Qinkai，LI Zheng，et al.Fault diagnosis of planetary gear system under time-varying speed conditions[J].Journal of Vibration，Measurement amp; Diagnosis，2016，36（2）：220-226，396.

[7] 劉輝，張晨，項昌樂，等.單級行星齒輪非線性動力學(xué)模型與試驗驗證[J].振動.測試與診斷，2017，37（6）：1233-1241，1285.

LIU Hui，ZHANG Chen，XIANG Changle，et al.Study and experiment of nonlinear dynamics model of planetary gear[J].Journal of Vibration，Measurement amp; Diagnosis，2017，37（6）：1233-1241，1285.

[8] 張強(qiáng)，許晉，李洪武，等.多排耦合變速機(jī)構(gòu)振動特性建模與試驗[J].振動.測試與診斷，2021，41（2）：242-248，408.

ZHANG Qiang，XU Jin，LI Hongwu，et al.Vibration characteristics"modeling and experiment of multi-row coupled gearshift mechanism[J].Journal of Vibration，Measurement amp; Diagnosis，2021，41（2）：242-248，408.

[9] 孫恒，陳作模，葛文杰.機(jī)械原理[M].北京：高等教育出版社，2006，214-219.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（51405213）