摘 要：為實現(xiàn)數(shù)據(jù)信息有限約束下碳排放的模型構建與策略選擇，在系統(tǒng)分析人口因素及其導致社會環(huán)境與物質水平發(fā)生變化的基礎上，從人口自然增長、受到環(huán)境等條件約束的阻滯性人口變化、考慮年齡結構的人口變化，以及偏微分方程形式的人口發(fā)展角度探究不同人口模型演化蘊含的內在規(guī)律，并根據(jù)拓撲學中同倫變換思想得到一個等效替代函數(shù)，使問題能夠統(tǒng)一化處理。研究結果表明：所得擴展的STIRPAT 模型擬合效果更優(yōu)，利用Markov過程對人口演化模型預測的影響因素進行反向誤差調節(jié)與修正，得到更精準的預測結果，基于人口變化解析碳排放問題的思想也為處理相關問題提供了有效方法。

關鍵詞：碳排放；人口變化；同倫變換；Markov 過程；擴展的STIRPAT 模型

中圖分類號： O 212 文獻標志碼：A 文章編號：008-0562（2024）01-0119-010

0 引言

全球變暖現(xiàn)象已經(jīng)引起社會各界的廣泛關注，導致此現(xiàn)象的主要原因是二氧化碳等溫室氣體的大量排放，有效刻畫碳排放量信息能夠為中國碳達峰與碳中和目標的實現(xiàn)提供合理依據(jù)。

目前，學者們針對碳排放量的研究給出了不同方法，環(huán)境庫茲涅茨曲線（environmental kuznetscurve，EKC）[1]表明經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染呈“倒U型”關系，之后許多環(huán)境方面的研究由此展開。但此研究模式僅表現(xiàn)出環(huán)境與經(jīng)濟間的單向關系，未深入考慮相互影響的動態(tài)關聯(lián)性，限制了模型的準確性和實用性。投入產(chǎn)出分析（input-output analysis，IOA）[2]通過投入產(chǎn)出表構建數(shù)學模型來處理物品在生產(chǎn)、運輸及使用過程中的二氧化碳排放問題。對數(shù)平均迪氏指數(shù)（logarithmic mean divisia index，LMDI）[3]可探究不同影響因素對碳排放的影響。層次分析法（analytic hierarchy process，AHP）[4]基于一定客觀事實的主觀判斷劃分指標層次，確定指標權值以反映其相對重要性，是結合定性與定量分析的實用方法。熵權法[5]作為以指標值變異程度確定權重的客觀性方法，能避免主觀影響，具有更好的可解釋性與精確性，但可能會在一定程度上忽略指標本身的重要程度。文獻[6]～文獻[8]融合帶有主觀屬性的層次分析法與具有客觀屬性的熵權法，以組合賦權的方式處理碳排放影響因素問題。上述方法從不同角度考慮了碳排放問題，但未充分表達人口要素發(fā)揮的顯著作用，不能系統(tǒng)全面地理解碳排放問題。值得注意的是，環(huán)境壓力等式IPAT[9]表達了人類活動與環(huán)境之間的定量關系，但原始IPAT 存在局限性，故考慮可拓展的隨機性的環(huán)境影響評估模型（stochastic impacts by regression on population，affluence，and technology，STIRPAT）[10]，該模型因能結合實際情況準確描述環(huán)境問題而被廣泛用于碳排放及其影響要素之間的研究。文獻[11]～文獻[13]基于面板數(shù)據(jù)，利用擴展的STIRPAT 模型研究了人口、富裕程度、技術與環(huán)境性能之間的關系，明晰了造成環(huán)境污染的關鍵驅動因素。

人口具有結構復雜、變化多樣等特點，與二氧化碳排放影響因素密切相關，探討不同類型人口變化模型是精準研究碳排放問題的前提。本文以人口信息為核心探究碳排放量及其影響因素，從不同角度分析人口變化模型，并考慮將其轉化為不同碳排放影響因素的處理方法，為將這些在不同側面具備有效處理方式的模型進行統(tǒng)一規(guī)范處理和簡單解析優(yōu)化，采用拓撲學中的同倫變換思想[14]進行有效表達，并結合Markov 過程對預測結果進行修正。

1 模型分析

人類活動引起的大量二氧化碳排放是溫室效應急劇上升的主要原因，人口信息對碳排放變化有直接影響，從人口角度考慮碳排放量及其影響要素的變化對節(jié)能減排、低碳發(fā)展具有實際應用價值。

1.1 人口變化模型

（1）指數(shù)型的人口變化模型——Malthus 模型

根據(jù)多年人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，Malthus 在增長率不變的假設條件下，提出了人口指數(shù)變化模型[15]。

令x（t）為t時刻的人口數(shù)量（一般t表示年數(shù)），x0 = x（0）表示t=0時刻的人口數(shù)量，將其作為基數(shù)，r 為一個常數(shù)，表示人口數(shù)量的相對增長率，則經(jīng)過時間t 之后的人口總數(shù)為

為便于微積分理論的有效描述，將人口數(shù)量x（t）視為連續(xù)可微函數(shù)，得到以下形式的變化模型

式（2）表明人口數(shù)量關于時間呈指數(shù)型增長。此種將增長率視為常數(shù)的建模方式未考慮政策調整與環(huán)境限制等情況，不能真實反應人口數(shù)量的動態(tài)變化。

（2）帶有阻滯性的人口變化模型——Logistic模型

受社會承受力、環(huán)境容納力、資源有效性等限制，人口數(shù)量不可能隨時間不斷增長，人口增長率為變化的常數(shù)。根據(jù)人口數(shù)量與結構在不同時期的狀態(tài)，政府機關會制定相應的調整措施和控制策略，以保證人口與社會、環(huán)境、資源、經(jīng)濟等方面的協(xié)調。據(jù)此，Verhulst 基于最大人口容納量修正了Malthus 模型，建立了帶有阻滯性的人口變化模型，得到了Logistic 模型的形式[16]。

將r表示為人口數(shù)量 x 的函數(shù)：r（x） = r ? sx，r 為相對人口增長率，s 為阻止人口增長的系數(shù)，r（x）為人口數(shù)量達到x 時的人口增長率。

假設 1 當前國家所能容納的最大人口數(shù)為xm，則達到最大人口數(shù)時所對應的人口增長率為0，即

r（xm ） = r ? sxm = 0， （3）

于是

r（x） = r ? sx = r ? r／xm x = r（1? x/xm） 。（4）

將增長率為常數(shù)r 時的變化模型與函數(shù)形式的增長率r（x）相結合，得到動態(tài)人口變化規(guī)律模型為

式（6）屬于Logistic 形式，可以較準確地預測未來人口情況，但它僅考慮了人口總數(shù)的變化，且認為所考慮目標的每一部分均有相同特征屬性，沒有提供人口年齡結構及分布等方面的信息，并未考慮以人口因素作為研究對象的各要素間的本質差異。

（3）考慮年齡結構的人口變化模型——Leslie模型

人口變化與年齡、性別等因素相關，據(jù)此得到基于Leslie 模型的人口發(fā)展與分析方法[17-18]。將年齡結構納入人口變化模型，不僅考慮人口與時間變量的關系，還將年齡因素作為研究對象進行分析，克服了Logistic 模型未能有效分析研究對象之間差異的缺點，能更好地把握人口的動態(tài)發(fā)展。

按照年齡大小將人口等間隔地分為n 個年齡組，不妨取每5 歲構成一個年齡組，時間長度相應地被分為與年齡組區(qū)間對應的大小相等的時段。

假設 2 人口的出生率、死亡率和男女性別比例不隨時段發(fā)生變化，只與所處年齡組有關。

令 xi （k） （i = 1， 2，…， n; k = 0，1， 2，…） 表示時段 k中第i年齡組的人口數(shù)量；bi 為第i年齡組的生育率，即每個時段內的生育數(shù)量與相應女性人口數(shù)量的比例，若不在育齡區(qū)間，對應的生育率bi = 0 ；ci為第i年齡組的女性人口占總人口數(shù)量的比例；di 為第i年齡組的死亡率，即一個時段內死亡數(shù)量占總人口數(shù)量的比例；si 為存活率。

人口數(shù)量變化之間具有以下兩種關系。

1）時段k + 1中第 1 年齡組的數(shù)量是各年齡組在時段k 的生育數(shù)量之和

2）時段k + 1中第i +1（i = 1， 2，…， n ?1）年齡組的數(shù)量是時段k 第i 年齡組的存活數(shù)量

式（7）、式（8）中，bi、ci 和si 由統(tǒng)計資料獲取。

基于式（7）、式（8）和生育率bi、存活率si與女性人口占比 ci 刻畫出能直接表達 x（k + 1） 與x（k）之間關系的矩陣為

根據(jù)矩陣 L，式（7）、式（8）可表示為

x（k +1） = Lx（k） k = 0，1，2，…，

類比推理可得

x（k） = Lx（k ?1） =…= Lk x（0） k = 1， 2，…，（10）

于是，若已知矩陣 L 與年齡組的初始分布 x（0），可利用上式預測時段k 按年齡分組的人口分布情況。

該模型假設出生率、死亡率和男女比例在同一年齡組是固定常數(shù)，而國家經(jīng)濟水平、醫(yī)療健康水平及國民素質等對出生率和死亡率具有較大影響，這些因素即便處于同一年齡組也不盡相同。說明此方法適用于較短時期內穩(wěn)態(tài)環(huán)境下的人口變化趨勢預測，而隨著遞推公式迭代次數(shù)的增加，長期預測偏差會越來越大，明顯降低模型的精確度。

（4）偏微分方程形式的人口變化模型——人口控制論模型

基于上述模型在長期預測中的不足，考慮帶有個體差異的分布參數(shù)法對人口數(shù)量進行數(shù)學建模，這里在連續(xù)情況下分析人口問題。通過對人口發(fā)展情況的研究，能夠得到人口控制論模型[19]。

令F（w， t）為t時刻年齡為 w 的人口數(shù)量概率分布函數(shù)，p（w， t）為概率密度函數(shù)，wm 為最大壽命，則

記μ （w， t）為t時刻年齡為 w 的人群相對死亡率，經(jīng)過變換得到人口控制論方程

t = 0時，人口密度函數(shù)為 p（w， 0） = p0 （w）；w = 0時，t時刻的人口密度函數(shù)為 p（0， t） = f （t），即為新生兒數(shù)量的密度函數(shù)，又稱出生率函數(shù)。

于是得到以下人口發(fā)展方程

該模型只考慮人口的自然出生和死亡，初始人口密度、相對出生率與死亡率可由統(tǒng)計數(shù)據(jù)獲得。

根據(jù)不同時期、不同區(qū)域和不同行業(yè)等對人口預測的具體要求，可將人口變化過程中所涉及的實際影響因素，如人口老齡化、流動人口遷移及生育模式等添加至所得到的人口變化偏微分方程中，對其進行補充和擴展。此種從狀態(tài)轉移角度描述人口動態(tài)變化的模型，能夠綜合考慮不同影響要素對其產(chǎn)生的影響，得到更精確的人口發(fā)展變化模型。

1.2 基于同倫變換的統(tǒng)一表達

人口隨時間連續(xù)變化，同倫變換能夠實現(xiàn)不同拓撲空間的連續(xù)形變，且保持同倫不變量?；谕瑐愖儞Q思想，找到一個功能等效函數(shù)來代替分階段不同演化規(guī)律的復雜變化，使其具有模型的統(tǒng)一性與求解的規(guī)范性。

定義（同倫變換）給定兩個拓撲空間X 和Y ，若存在一個連續(xù)映射H ： X ×[0，1]→Y ，使得

?x ∈ X ，H（x， 0） = f （x）；

?x ∈ X ，H（x，1） = g（x），

則稱 f 與g 是同倫變換，記作 f ＝ g。

令s為參數(shù)（ s ∈[0，1] ），隨著參數(shù)s從 0 變化到1，H（x， s）連續(xù)地將函數(shù) f （x）變化到函數(shù)g（x）。

根據(jù)碳排放影響因素的變化趨勢，假設當s ∈[0， a1] 時， H（x， s） = f1（x） ；當 s ∈[a1， a2 ] 時，H（x， s） = f2 （x）；…；當s [an?1，1] ∈ 時，H（x， s） = fn （x）；其中，s 的臨界點ai （i = 1， 2，…， n）可根據(jù)具體實驗數(shù)據(jù)進行劃分， fi （x）為不同階段所對應的預測模型。

可通過插值方式擬合得到合適的同倫函數(shù)H（x， s），從而對所考慮的模型進行統(tǒng)一分析與處理。

1.3 結合 Markov 過程的人口變化模型

Markov 理論[20-21]在處理動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移方面有獨特優(yōu)勢，將其與上述預測模型相結合能夠改進原預測模型，得到更理想的效果。

Markov 模型可表示為X（n） = X（0） ? Pn。

Markov 過程具有無后效性，即x（t +1） 的取值只與前一時刻 t 的取值 x（t） 有關，而與之前的x（t ?1）， x（t ? 2）…無關。

將預測模型擬合數(shù)據(jù)x（t）與真實數(shù)據(jù)x（t）之間殘差的相對值作為對象，即

根據(jù)殘差相對值所屬范圍劃分區(qū)間，具體區(qū)間對應m個不同的狀態(tài)E = {E1， E2 ，， Em}，以頻率近似概率的方式得到殘差相對值的狀態(tài)轉移概率矩陣 P，由當前已知狀態(tài)Ei和矩陣 P 可知未來某一時刻ε （t）的最大可能狀態(tài)Ej，基于狀態(tài)Ej對應的殘差相對值區(qū)間，得到Markov 修正后的值。

1.4 擴展的 STIRPAT 模型

人口是引發(fā)環(huán)境問題的關鍵因素，需要充分重視人口因素的發(fā)展變化。

相比于其他因素分解方法，IPAT 方程將人口因素納入考慮，描述了環(huán)境負荷I 與人口、經(jīng)濟、技術之間定量關系的模型為

I = PAT ， （16）

式中：P 為人口；A 表示富裕程度；T 為技術水平。

對式（16）進行拓展，得到STIRPAT 模型為

I = aPbAcT d e ， （17）

式中：a 為系數(shù)；b、c、d 為相應指標的指數(shù)；e 為隨機誤差。

對式（17）進行對數(shù)變換，可得

ln I = ln a +bln P+cln A+ d lnT +lne。 （18）

此時，b、c、d 表達解釋變量與被解釋變量間的影響程度，稱為彈性系數(shù)。

根據(jù)所研究場景的具體情形，可添加相關影響因素至式（18），得到擴展的STIRPAT 模型。

2 遼寧省碳排放量及其影響因素

90%以上的人為二氧化碳排放由化石能源消費活動產(chǎn)生，因此表達環(huán)境負荷指標的二氧化碳排放量可由煤炭、石油和天然氣的消耗量獲得。

參考 IPCC 提供的二氧化碳排放量估算方法

式中：E 為能源消耗量；Q 為能源平均低位發(fā)熱量；F 為單位熱值含碳量；O 為碳氧化率；R 為質量系數(shù)，取44/12。下角標j 表示能源種類。

石油包括原油及其加工煉制產(chǎn)出的各種產(chǎn)品，因此將原油消費量視為石油消費量，原煤消費量對應煤炭消費量。IPCC 未提供煤炭的單位熱值含碳量和碳氧化率，在中國的煤炭生產(chǎn)中，煙煤、無煙煤和褐煤分別約占總產(chǎn)量的75%、20%、5%，將其加權處理結果作為單位熱值含碳量和碳氧化率，參數(shù)見表1。

綜上，結合《中國能源統(tǒng)計年鑒》與《省級溫室氣體清單編制指南（試行）》可得到低位熱值、含碳量與碳氧化率等數(shù)據(jù)參數(shù)，見表2。

遼寧是典型的重工業(yè)生產(chǎn)基地，煤炭及相關行業(yè)的發(fā)展較為豐富，且人口情況屬于中等水平，以遼寧為例進行實驗具有一定的代表性，相關數(shù)據(jù)可由歷年《遼寧省統(tǒng)計年鑒》得到。在此基礎上，根據(jù)式（19）可得到歷年二氧化碳排放量，見表3。人口對碳排放的影響主要為人口數(shù)量與結構。在探究人口結構時，一般將15～64 歲人口視為勞動年齡人口，結合其他相關影響要素得到式（20）所示的擴展STIRPAT 模型（模型1），以此進行實驗。利用軟件SPSS 26.0 與MATLAB R2016a 進行數(shù)值實驗。

式中：α為待定常數(shù)；βi （i = 1， 2，…， 6）為回歸系數(shù)；xpop 為年末總人口數(shù)；xage 為人口結構，為勞動年齡人口與總人口之比；xgdp 為人均生產(chǎn)總值，用于衡量富裕程度；xind 為產(chǎn)業(yè)結構，為第二產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值與生產(chǎn)總值之比；xene 為能源消費結構，為煤炭消費量與能源消費總量之比；xtec 為技術水平，為科學研究與試驗發(fā)展（Ramp;D）經(jīng)費之和再與生產(chǎn)總值之比；ε 為隨機誤差。

為了檢驗變量之間的影響效果，進行共線性檢驗[22-23]，結果見表4。

方差膨脹因子（variance inflation factor，VIF）是衡量多元線性回歸模型共線性程度的一項指標，若VIF 超過10，則存在較嚴重的多重共線性。由表4 中VIF 可知，所取自變量間存在嚴重共線性，為避免激勵自變量之間的共線性對響應變量造成干擾，采用嶺回歸方法[24]得到影響因素的彈性系數(shù)。

根據(jù)嶺回歸方法得到圖 1 所示的嶺軌跡。由圖1 知， k 的取值從0.1 開始，軌跡趨于平穩(wěn)狀態(tài)，于是取k = 0.1，得到回歸信息見表 5。

由表5 可知，產(chǎn)業(yè)結構甚至未通過10%的顯著性檢驗，說明所選影響要素之中存在不合理之處。其中，F(xiàn) 值為88.824 7，Sig Flt;0.05，說明回歸方程有效；判定系數(shù)R2 為0.974 4，調整后的判定系數(shù)R2Adj 為0.963 4 接近于1，說明模型結果不錯。

在勞動年齡人口中，直接創(chuàng)造財富的是就業(yè)人口，就業(yè)人口的規(guī)模、構成及分布對二氧化碳排放量的貢獻不容小覷，于是通過添加實際就業(yè)人口比重及相應的就業(yè)人口結構修正勞動年齡人口比重，得到擴展的STIRPAT 模型（模型2）

式中：xemp 為就業(yè)人口比重，通過就業(yè)人數(shù)占總人數(shù)的比重表達；xemps 為就業(yè)人口結構，通過第二產(chǎn)業(yè)就業(yè)人數(shù)占總就業(yè)人數(shù)的比重表達；βi （i ?1， 2，…， 7）為回歸系數(shù)。

表 6 為變量的一些基本描述信息。對式（21）中各影響因素進行共線性檢驗，結果見表7。

由圖2 可知， k 從0.1 開始，嶺軌跡趨于穩(wěn)定狀態(tài)，于是確定k=0.1，得到回歸信息見表8。由表8 知，人口數(shù)量、就業(yè)人口比重、就業(yè)人口結構與人均生產(chǎn)總值均通過了1%的顯著性檢驗，產(chǎn)業(yè)結構、能源消費結構與技術水平雖然沒有通過1%的顯著性檢驗，但通過了5%的顯著性檢驗。F 值為84.585 9，Sig Flt;0.05，說明顯著，即回歸方程有效，R2 為0.978 5，R2Adj 為0.966 9，更加接近于1，說明模型更好。這表明在人口結構方面，采用實際就業(yè)人口情況代替勞動年齡人口數(shù)量，回歸模型的顯著性更高，更符合實際要求。擴展的STIRPAT 模型可表示為

式（22）表明：人口數(shù)量每增加1%，二氧化碳排放量增加5.501 1%；就業(yè)人口比重每增加1%，二氧化碳排放量增加0.604 9%；第二產(chǎn)業(yè)就業(yè)人數(shù)占總就業(yè)人數(shù)的比重每增加1%，二氧化碳排放量減少0.751 1%；人均GDP 每增加1%，二氧化碳排放量增加0.138 2%；第二產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值占生產(chǎn)總值的比重每增加1%，二氧化碳排放量增加0.322 1%；煤炭消費量占能源消費總量的比重每增加1%，二氧化碳排放量減少0.339 2%；Ramp;D 經(jīng)費占總GDP 的比重每增加1%，二氧化碳排放量增加0.164 0%。

將式（22）與未經(jīng)實際就業(yè)人口調整的模型所得到的擬合值分別表示為擬合1 與擬合2，擬合結果見表9。

二氧化碳排放量的擬合值與實際值見圖3，擬合1 的R2 為0.978 5，R2Adj 為0.966 9；擬合2 的R2 為0.974 4，R2Adj 為0.963 4。

由圖3、表8 可知，以實際就業(yè)情況代替人口結構中的勞動年齡人口比重，所有的因素均通過了顯著性檢驗，且能得到更精確的擬合結果。

3 影響因素的預測

根據(jù)遼寧省相關數(shù)據(jù)，得到本文所選影響因素的變化趨勢，見圖4。由圖4 可知，不同影響因素隨時間的變化趨勢不盡相同，人口數(shù)量、就業(yè)人口比重、人均GDP 與技術水平整體表現(xiàn)為遞增趨勢，而就業(yè)人口結構、產(chǎn)業(yè)結構與能源消費結構整體表現(xiàn)為遞減趨勢。不難發(fā)現(xiàn)，影響要素并不是持續(xù)增長或者減少，其變化過程較為復雜。

根據(jù)影響因素變化趨勢，選擇合適的模型進行預測。人口數(shù)量可以選擇基于Verhulst 模型進行預測，人均GDP 可以利用Malthus 模型為基準進行預測。而對于中間過程較為復雜的影響因素，可以基于同倫變換思想，采用分段函數(shù)的形式處理，該方式保證了模型間的連續(xù)變化，使預測結果具有較高的可信度與精度。同時，考慮到變化的波動性，所用模型可能無法達到預期預測效果，可利用Markov過程修正預測結果，得到更精確的預測結果。

以人均 GDP 變化為例，基于Malthus 模型進行預測分析。根據(jù)《遼寧省統(tǒng)計年鑒》能得到1978—2020 年的人均GDP 數(shù)據(jù)，若將全部數(shù)據(jù)用于預測模型，相對誤差將會達到42%，甚至60%。1992—1993 年，人均GDP 發(fā)生很大變化，在此之前每年變化量為幾十至幾百元，最大變化量為666 元，而1992—1993 年的變化量為1 322 元，是前一年變化量的2 倍?；谶@一實際情況，考慮采用1993—2018 年的數(shù)據(jù)進行擬合，結果見圖5。

根據(jù)擬合過程得到 Malthus 模型中的參數(shù)x0 和r，進而得到2019 年與2020 年的人均GDP 預測值?；贛althus 模型得到的1993—2018 年的預測值與相對殘差見表10。

根據(jù)相對殘差值計算結果，得到殘差區(qū)間為（?19%，16%），將其劃分為 5 種狀態(tài)，分別為

E1：（-19%，-12%）;E2：（-12%，-5%）;E3：（-5%，2%）;E4：（2%，9%）;E5：（9%，16%）。

以此確定相對殘差所屬狀態(tài)，見表10 最后一列。

基于不同時刻的狀態(tài)，得到狀態(tài)轉移概率矩陣

以 2018 年為基準，其相對殘差所屬狀態(tài)為E1，則對應的初始狀態(tài)矩陣為（ ） I0 = 1，0，0，0，0 ，故 2019年與2020 年的狀態(tài)矩陣分別為

I1 = I0P =（2/3，0，1/3，0，0 ），

I2 = I0P =935/72，1/24，7/18，1/12，0）。

根據(jù)最大可能概率可知，2019 年與2020 年的相對殘差狀態(tài)均為E1。

依據(jù)殘差狀態(tài)修正 2019 年與2020 年的預測值

2019 年與2020 年人均GDP 的Malthus 模型預測值與Markov 修正后的預測值見表11。由表11可知，Malthus 模型與Markov 過程相結合所得預測值更接近實際值，預測精確度大幅度提升。

4 結論

為探究碳排放與人口這兩大社會焦點問題之間的關系，給出了較為經(jīng)典的人口變化模型、同倫變換處理思想及Markov 改進方法來分析碳排放量驅動因素的預測，并以遼寧為例，得出以下結論。

（1）在同時考慮人口數(shù)量和人口結構的情況下，通過添加實際就業(yè)人口信息改進人口結構中的勞動年齡人口得到擴展的STIRPAT 模型。嶺回歸結果表明所選取的影響要素全部通過了1%或者5%的顯著性檢驗，并與未經(jīng)實際就業(yè)信息修正的模型對比可知，修正后的結果更加符合實際情況。

（2）選擇合適的預測模型擬合影響因素變化情況，結合Markov 過程進行修正，得到更接近實際值的預測值，說明方法的適用性和有效性。

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基金項目：國家自然科學基金項目（12201275）；遼寧省教育廳重點攻關項目（LJ2020ZD002）；遼寧省經(jīng)濟社會發(fā)展研究課題（2023lslqnkt-044；2022lslwtkt-069）