朱文蘭

摘要：整體概念的章節(jié)起始課教學，是提升學習者高水平數(shù)學思維，實現(xiàn)學習者對學習內(nèi)容的深入、系統(tǒng)理解的有效途徑.本文中教學設計以“圓”章節(jié)起始課為例，按從整體到局部再到與其余圖形關系的順序展開研究.從圓上的一個點、兩個點、三個點……依次構(gòu)造不同的圖形，確定本章的研究對象和研究內(nèi)容，從而體現(xiàn)整體概念的章節(jié)起始課的價值和意義.

關鍵詞：整體概念；章節(jié)起始教學

整體概念教學是在系統(tǒng)思維指導下，以課程標準為依據(jù)，按步驟整體設計教學，從而提高教學成效，提升學生的核心素養(yǎng).“整體”即從教學目標出發(fā)，以全局的視角系統(tǒng)地理解教材、整合教材，在教學設計中統(tǒng)籌兼顧地安排基本知識、滲透基本思想方法，把知識和方法融入到學科體系中去教學，其目的是提高學生的學習效率，提升學生的數(shù)學思維.筆者在圓的章起始課中圍繞整體概念進行了探討，與大家分享.

1 教學分析

1.1 圓在封閉平面圖形體系中的核心地位

圓作為常見的幾何圖形之一，是曲線型圖形的代表.小學階段學生初步建立了對“曲線”這一抽象概念的認識；初中階段實現(xiàn)從直觀感知到代數(shù)表達的飛躍，不僅深化了對圓的理解，更促進了對幾何問題解決能力的培養(yǎng)；高中階段圓是圓錐曲線的基礎，還作為復數(shù)、向量、微積分等高級數(shù)學內(nèi)容的重要載體，展現(xiàn)了其在數(shù)學體系中的基石作用.

1.2 教學目標與方法

本章是在小學學習圓的基礎上，對圓的概念和性質(zhì)的進一步系統(tǒng)研究.對比八年級對直線型幾何圖形（三角形、四邊形）的研究過程，九年級對于圓的研究在思想方法上與直線型圖形既有聯(lián)系又有區(qū)別.在圓的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與探索過程中，如何“由近及遠”地發(fā)現(xiàn)圓的性質(zhì)鏈，如何從”整體—局部”理解并掌握圓的對稱性（軸對稱性、旋轉(zhuǎn)不變性）是本章學習的重點.

本章教學中教師不僅要有意滲透研究圖形組成要素、相關要素之間的數(shù)量關系和位置關系，還要從整體上利用圓的對稱性發(fā)現(xiàn)圓的有關性質(zhì).三角形、四邊形等的學習，是沿著“定義—性質(zhì)—特例—應用”的研究路徑，用“定性—定量”“整體—局部”“一般—特殊”“特殊—一般”等研究方法，得到了它們的性質(zhì)，圓也將用類似的學習路徑和方法來探究.

2 “圓”章節(jié)起始課教學過程

2.1 創(chuàng)設教學情境，獲得研究對象

教師利用多媒體讓學生欣賞生活中的圓，接著讓學生動手畫一畫并思考：

（1）請在紙上畫出2個圓，觀察畫圓的過程，你能歸納出圓的定義嗎？

追問：你還有不同的定義方法嗎？

（2）圓上的點有什么性質(zhì)呢？

追問：你能解釋為什么車輪是圓形的嗎？

師生活動：讓學生通過觀察、歸納共性，得到圓的靜態(tài)定義，即在平面內(nèi)到一定點（圓心）的距離等于定長的點的集合；通過在操場上畫一個圓的過程得到圓的動態(tài)定義，即在同一平面內(nèi)，一條線段繞著其固定的一個端點（圓心）旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點的軌跡所形成的圖形.師生一起對定義中的關鍵詞進行辨析，明確圓心確定了圓的位置，半徑確定了圓的大小.鼓勵學生從不同角度理解圓，為學生從直觀描述到嚴謹表述構(gòu)建通道.

教學說明：在通過圓規(guī)畫圓，直觀感知圓上點的本質(zhì)特征后，引導學生歸納圓的定義，發(fā)展學生抽象概括能力.在用“發(fā)生法”定義圓的過程中，理解圓的相關要素（圓心、半徑）的作用，為進一步探索圓的性質(zhì)做好鋪墊.在歸納圓的定義“一靜（集合嚴格定義）一動（旋轉(zhuǎn)描述法定義）”的過程中讓學生經(jīng)歷從具體到抽象、從直觀感受到嚴密表述的的思維過程.利用追問引導學生把數(shù)學知識應用于實際生活，從圓的定義出發(fā)，得到圓上點的性質(zhì)之后，即車輪上每一個與地面接觸的點到軸心的距離相等，從而解釋生活中圓形輪胎滾動更平穩(wěn)的現(xiàn)象，突出知識的背景與應用.

2.2 基本圖形與性質(zhì)探索

2.2.1 合作探究：認識圓中相關元素

問題1得到圓的定義后，還要研究圓的哪些內(nèi)容呢？從什么角度去研究呢？

問題2在圓上任取兩個點，連接這2個點，能得到什么圖形呢？這些圖形有特例嗎？

追問：周長相等的圓是等圓嗎？弧長相等的兩段弧是等弧嗎？

問題3用線段連接圓上三個點，可以構(gòu)成什么圖形呢？連接圓上四個點呢？

問題4把問題2和問題3所得的圖形再和圓心、半徑聯(lián)系起來，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

問題5我們研究了單個圓的圖形之后，還可以研究什么呢？

師生活動：通過問題1，引導學生從整體（對稱性）到局部（圖形的要素和相關要素）入手研究圓的性質(zhì).通過問題2，學生發(fā)現(xiàn)圓上兩條特殊的線，從而得到弧和弦的概念，其中半圓和直徑是特殊的弧和弦.通過追問，師生一起辨析等圓和等弧的含義.通過問題2～4，引導學生對圓依次添線成為圖1中的各個圖形，這樣本章的研究內(nèi)容和重要圖形就都通過邏輯關系有序呈現(xiàn)出來.通過問題5，引導學生還可以研究圓與其他圖形的關系.

教學說明：通過問題鏈，引導學生從定義出發(fā)，“由近及遠”地對圓展開研究，在研究圖形的性質(zhì)就是研究圖形基本要素與相關要素確定關系的觀念引導下，發(fā)現(xiàn)圓的基本要素及相關要素是重要的內(nèi)容.圓的相關要素如弧、弦、圓心角、圓周角等的發(fā)現(xiàn)不是直接觀察能夠得到的.連接圓上的兩個點，能得到兩類特殊的線.一是弧，有優(yōu)弧、劣弧之分，有特殊的弧——半圓（從位置角度看，是直徑所對的?。粡臄?shù)量角度看，是圓周的一半）.二是弦，有特殊的弦——直徑（從位置角度看，是過圓心的弦；從數(shù)量角度看，是同圓或等圓中最長的弦）.連接圓上三個點，可以構(gòu)成圓周角、圓內(nèi)接三角形.得到這些基本圖形之后，再和圓心、半徑聯(lián)系起來，則圓中所有相關要素全部被發(fā)現(xiàn)和確定.

2.2.2 合作探究：量化點與圓位置關系

問題6你能說出同一平面內(nèi)點與圓的位置關系嗎？

問題7如何用圓心和半徑表示點與圓的位置關系呢？

教學說明：圓把平面上的點分成了三部分，類比圓上點的代數(shù)特征，可以利用圓心和半徑把平面上點與圓的位置關系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關系.同樣可以用數(shù)量關系確定點與圓的位置關系.類似地，以后研究直線和圓的位置關系時，圖形的幾何特征與代數(shù)特征也可以互相轉(zhuǎn)化.這樣通過知識間的聯(lián)系和綜合，發(fā)展學生的理性思維，實現(xiàn)圖形的性質(zhì)、圖形的變化和圖形證明的有機結(jié)合.

2.3 思維訓練與能力培養(yǎng)

例1如圖2，在A地正北80 m的B處有一幢民房，正西100 m的C處有一變電設施，在BC的中點D處是一古建筑.因施工需要，必須在A處進行一次爆破.為使民房、變電設施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應控制在什么范圍內(nèi)？

變式1如圖3，在A地正北30 m處有一點B，正西40 m處有一點C，BC所在的直線為公路.因施工需要，必須在A處進行一次爆破.為使公路不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應控制在什么范圍內(nèi)？

變式2如圖3，在A城正北300 km處有一點B，正西400 km處有一點C，從A地測得一熱帶風暴中心O從C處沿CB方向移動，距風暴中心200 km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域.問：A城是否會受到這次風暴的影響？為什么？

變式3（挑戰(zhàn)）將變式2中“距風暴中心200 km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域”改為“距風暴中心260 km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域”.問：A城是否會受到這次風暴影響？若受到影響，影響會持續(xù)多長時間？（風暴中心的移動速度為20 km/h.）

教學說明：讓學生嘗試著自己畫圖，獨立思考后，教師引導學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，結(jié)合圖2找出所要求的量.進一步熟悉點與圓的位置關系的判定，幫助學生從實際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，把數(shù)學知識運用于實際生活中去.

2.4 整體概念的滲透與鞏固

問題面對一個新的幾何圖形，我們將怎樣開展研究？

師生一起繪制思維導圖，如圖4.

教學說明：引導學生回顧認識圓的過程，首先通過“畫一畫”，觀察畫圓過程得出圓的定義，然后通過從圓上取一點、兩點、三點……獲得了弧、弦及半圓、直徑等概念，再將這些相關元素與圓心和半徑聯(lián)系起來，揭示圓的系統(tǒng)研究內(nèi)容，最后重點研究點與圓的位置關系.引導學生歸納按照“由近及遠”“從系統(tǒng)內(nèi)到系統(tǒng)外”按次序、有層次研究新圖形的方法和步驟.

3 教學反思

3.1 聯(lián)系越豐富，理解越深刻

促進深刻理解，需要打開學生學習與發(fā)展的內(nèi)部轉(zhuǎn)換過程.通過如何畫出一個圓，從而用“發(fā)生法”描述圓的定義，歸納圓上點的共性，這樣多角度多維度地把圓的相關知識有效融合起來，能有效優(yōu)化圓的知識結(jié)構(gòu)和學生思維結(jié)構(gòu)，對學生后續(xù)的學習和發(fā)展產(chǎn)生積極的影響.

3.2 思考有邏輯，研究對象有序呈現(xiàn)

初中階段平面幾何內(nèi)容的教學，是培養(yǎng)學生思維的嚴謹性、邏輯性和系統(tǒng)性的優(yōu)良載體.“圓”的第一課時，有圓（圓心、半徑）的定義，?。踊?、半圓、優(yōu)?。?、弦（直徑）、等圓、等弧等概念.教師以整體性原則為指導，在圓上任意取兩點并連接這兩點，圓上任意取三點并連接這三點……把所得圖形與圓心、半徑聯(lián)系起來，從而得到本章所要研究的對象.通過邏輯思考發(fā)現(xiàn)不同知識點之間的聯(lián)系，能簡化學生對數(shù)學對象的認識，避免認知上的重復，從而提升學生的系統(tǒng)性思維，加強數(shù)學對象之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，實現(xiàn)為“遷移而教”的目的.

參考文獻：

鄭瑄，吳增生.“圓”章起始課教學的思考與實踐.中國數(shù)學教育，2019（21）：49-53.

章建躍.“圓”的課程教材設計與教學.數(shù)學通報，2020，59（7）：1-7，34.