劉芳

摘要：積累是解題的前提，平時(shí)積累的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)都是用來解決“新問題”的有力武器.解題教學(xué)應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生豐富的聯(lián)想，在挖掘題目的已知條件、深刻分析圖形結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，利用舊知，構(gòu)造輔助線，利用已有結(jié)論、方法擬定解題思路與方法.同時(shí)，要對(duì)題目進(jìn)行變式探究，不斷提高對(duì)原問題的認(rèn)識(shí)水平，進(jìn)一步提高解題經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：正方形；轉(zhuǎn)化；變式

1 試題呈現(xiàn)

例題如圖1，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)H在CD上，∠EFH＝45°，則FH的長(zhǎng)度是.

本題以正方形和45°角及中點(diǎn)等幾何元素為知識(shí)背景設(shè)置問題，圖文簡(jiǎn)潔，條件清晰，背景熟悉，立足“四基”，較好地考查學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備及靈活運(yùn)用知識(shí)、技能解決問題的能力，體現(xiàn)“價(jià)值引領(lǐng)，素養(yǎng)導(dǎo)向，能力為重，知識(shí)為基”的評(píng)價(jià)理念.

2 試題溯源

著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在《怎樣解題》“擬定方案”中指出：“你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎？”“你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？你知道一條可能有用的定理嗎？”“觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目”.

打開我們記憶的寶庫(kù)，有一個(gè)以前解決過的問題：如圖2，正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在AD，CD上運(yùn)動(dòng)，且∠EBH＝45°.

求證：AE＋CH＝EH.

簡(jiǎn)解：如圖3，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBG，再證△EBH≌△GBH，則EH＝GH＝CG＋CH＝AE＋CH.此即為經(jīng)典的“半角模型”結(jié)論.

3 解法探究

有了“以前問題”的方法指引，可以將45°角轉(zhuǎn)移到正方形的頂點(diǎn)B處.解答如下：

解：如圖4，把△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBG，并作∠EBG的平分線BM交CD于點(diǎn)M，連接EM.

易知△ABE≌△CBG.

于是CG＝AE＝2，BE＝BG，∠EBG＝90°.

由角平分線知，∠EBM＝∠GBM＝45°，

所以△EBM≌△GBM（SAS）.

設(shè)CM＝x，則EM＝MG＝x＋2，DM＝6-x.

在Rt△DEM中，42＋（6-x）2＝（x＋2）2.

解方程，得x＝3.

所以M是CD的中點(diǎn).

連接MF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，延長(zhǎng)HF交AB于點(diǎn)Q.

由NQ∥HM，得

FHQH＝FMNM.①

而∠EFH＝∠FBM＝45°，則QH∥BM.又BQ∥HM，所以

四邊形QBMH是平行四邊形，則

QH＝BM＝CM2+BC2＝35.

②

又M是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，所以FM是梯形BCDE的中位線，則

FM＝5，F(xiàn)N＝1.

③

結(jié)合①②③，得FH35＝56，所以FH＝552.

點(diǎn)評(píng)：由題目中的正方形和45°角聯(lián)想到“半角模型”，作出輔助線，利用以前的解答方式易求得M是CD的中點(diǎn).這也是結(jié)合題目條件及“舊知”產(chǎn)生的結(jié)果，方法經(jīng)典，是常見而有效的解題途徑.進(jìn)一步觀察、分析，發(fā)現(xiàn)有3個(gè)特殊的結(jié)論，即FM是梯形BCDE的中位線，四邊形QBMH是平行四邊形，8字形模型.試題指向抽象能力、幾何直觀、數(shù)學(xué)運(yùn)算、模型觀念、創(chuàng)新能力、應(yīng)用意識(shí)的考查，對(duì)學(xué)生的幾何推理及分析問題、解決問題的能力的要求較高.

4 問題變式

變式1探求面積.

問題1原條件不變，求四邊形EFHD、四邊形BFHC的面積.

解析：結(jié)合前面的解答，易求四邊形EFHD的面積等于梯形EDMF的面積減去△FHM的面積，所以四邊形EFHD的面積為294；用梯形DEBC的面積減去四邊形EFHD的面積，易求得四邊形BFHC的面積為914.

變式2設(shè)置成動(dòng)態(tài)問題.

問題2如圖5，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，點(diǎn)F在線段BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)H在邊CD上運(yùn)動(dòng)，且∠EFH＝45°，求線段FH長(zhǎng)度的變化范圍.

解析：結(jié)合前面的解答，如圖6，易知點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，F(xiàn)H的最大值為35；當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，F(xiàn)H的最小值為1255.所以FH長(zhǎng)度的變化范圍是1255≤FH≤35.

變式3將正方形演化成矩形，求有關(guān)線段長(zhǎng).

問題3如圖7，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且∠EAF＝45°＝∠CEF，若BE＝3，DF＝1，則EF的長(zhǎng)為.

解析：如圖8，作出△AEF的外接圓，設(shè)圓心為O，連接OA，OF，OE，易知OA＝OE＝OF，∠EOF＝2∠EAF＝90°.

因此四邊形OECF是正方形，延長(zhǎng)EO交AD于點(diǎn)G，則AG⊥GE.

在Rt△AOG中，

OA2＝OG2＋AG2＝DF2＋BE2＝10.

所以O(shè)A＝10，故EF＝2OE＝25.

5 教學(xué)啟示

不少學(xué)生害怕平面幾何，面對(duì)平面幾何題目時(shí)常常無所適從，無法在短時(shí)間內(nèi)拿出解題方案.通過這道看似平凡的幾何填空題的解答，可得到如下啟示：

（1）關(guān)注知識(shí)關(guān)聯(lián)，合理構(gòu)造輔助線

可以發(fā)現(xiàn)，核心知識(shí)是每次考試的必考點(diǎn)，如本文題目中的中點(diǎn)、45°角、特殊四邊形等知識(shí)，都是初中平面幾何內(nèi)容的核心知識(shí)，牢固掌握知識(shí)體系，進(jìn)行理性思考是核心素養(yǎng)的根本.一般來說，核心知識(shí)是載體，核心思想是途徑，核心素養(yǎng)是目標(biāo).在幾何圖形中，構(gòu)造基本圖形并運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)，是學(xué)好幾何的關(guān)鍵.如本題要善于識(shí)別圖中基本圖形，并勾畫出適當(dāng)?shù)幕緢D形，并運(yùn)用它的性質(zhì)，如“半角模型”、“8字形”相似、中位線模型、“方程”模型等這些基本圖形.數(shù)學(xué)問題中有特定特征的幾何基本圖形里往往蘊(yùn)含著簡(jiǎn)單的結(jié)論，而輔助線通常是關(guān)聯(lián)不同基本圖形的紐帶，這些輔助線往往“橫跨”兩個(gè)或多個(gè)基本圖形，可以將內(nèi)隱在問題中幾何圖形的特征和性質(zhì)外顯出來，將條件與結(jié)論之間架起邏輯關(guān)系.從某種意義上來說，構(gòu)造輔助線是考查學(xué)生解題能力的命根，是突破解題的關(guān)鍵.

（2）注重解題研究，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在平時(shí)教學(xué)中，不少老師習(xí)慣選擇最優(yōu)解法，用最少的時(shí)間去講解作業(yè)或試卷中的試題，很少肯花時(shí)間讓學(xué)生去思考，導(dǎo)致學(xué)生一聽就懂，但遇到陌生的“生僻”問題時(shí)又找不到行之有效的解題方法，這樣循環(huán)往復(fù)，老師就覺得學(xué)生“笨”，“怎么講過的題還是不會(huì)做？”因此，在平時(shí)解題活動(dòng)中，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型題包括選擇題、填空題進(jìn)行深度探究，要舍得花時(shí)間讓學(xué)生去思考、分析：這些條件是如何與所求結(jié)論聯(lián)系起來的，是通過哪條線、哪個(gè)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化的，為什么可以這樣連輔助線？解題后要進(jìn)行反思、總結(jié)：當(dāng)時(shí)是如何想的？為什么老師這樣解答？這樣的解題方式對(duì)以后的解題有什么幫助？要進(jìn)行一題多解、一題多變、多解歸一等變式訓(xùn)練，注重積累解題經(jīng)驗(yàn).

（3）關(guān)注問題本質(zhì)，實(shí)行變式訓(xùn)練

現(xiàn)行中考試題中不少試題改編自我們課堂訓(xùn)練過的題目，不少題目似曾相識(shí)，但又有所創(chuàng)新，這體現(xiàn)了中考試題源于教學(xué)課堂，注重?cái)?shù)學(xué)問題本質(zhì)內(nèi)涵的考查.因此，我們?cè)谄綍r(shí)的解題教學(xué)中善于分析數(shù)學(xué)問題，挖掘隱含在其中的本質(zhì)內(nèi)涵，并且要對(duì)蘊(yùn)含于題目的數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行變式訓(xùn)練.變式訓(xùn)練是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能的重要途徑，通過一個(gè)問題連續(xù)不斷的多個(gè)變式，促使學(xué)生感受圖形、題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟思想方法，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，從而更好地掌握技能，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，在平時(shí)的解題教學(xué)中，我們要精挑細(xì)選一些好的考題，從多角度探究解法、總結(jié)思路，并給出同種習(xí)題的變式，助力學(xué)生舉一反三，達(dá)到更高的解題境界.