胡銀偉

計(jì)數(shù)問題是重要的數(shù)學(xué)問題，通過對(duì)計(jì)數(shù)基本原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)，我們能夠了解計(jì)數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，能夠初步解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題。兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是人們?cè)诖罅繉?shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納出來的基本規(guī)律，也是進(jìn)一步研究排列、組合問題的基礎(chǔ)。排列、組合與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合是高考命題的熱點(diǎn)，試題難度較小，多以選擇、填空題形式出現(xiàn)，考查同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。排列與組合常與概率、離散型隨機(jī)變量的分布列等知識(shí)綜合，多在解答題中綜合命題，考查同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二項(xiàng)式定理也是高考命題熱點(diǎn)之一，多出現(xiàn)在選擇、填空題中，難度中等，主要考查二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用等，也考查同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

下面我們結(jié)合2023年高考真題，對(duì)計(jì)數(shù)原理高考考點(diǎn)進(jìn)行解讀。

考點(diǎn)1 對(duì)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的考查

例1 （1）【2023年全國甲卷理數(shù)第9題】現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）種。

A.120 B.60 C.30 D.20

（2）【2023年全國乙卷理數(shù)第7題】甲、乙兩位同學(xué)從6 種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）。

A.30種 B.60種

C.120種 D.240種

（3）【2023年全國新課標(biāo)Ⅰ卷第13題】某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）。

命題意圖：本題主要考查兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理與排列、組合知識(shí)的綜合，考查同學(xué)們邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

解題思路：（1）利用分類加法原理，分類討論5名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動(dòng)的情況，可求解。（2）首先選相同的讀物有6種情況，然后在剩余的讀物中再選擇2種讀物進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行解答。（3）先分類討論選修2門或3門課，當(dāng)選修3門時(shí)，再討論具體選修課的分配方法，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算進(jìn)行解答。

解析：（1）不妨記5名志愿者為a，b，c，d，e，假設(shè)a 連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，從剩余的4人中抽取2人分別參加星期六與星期日的公益活動(dòng)，共有A24=12（種）方法。同理b，c，d，e 連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有12種方法。所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)為5×12=60。選B。

（2）首先確定相同的讀物，共有C16種情況，然后兩人各自選另外一種讀物，相當(dāng)于在剩余的5種讀物中選出2種進(jìn)行排列，共有A25種方法。根據(jù)分步乘法原理知共有C16·A25=120（種）選法。選C。

（3） （?。┊?dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C1 4C14=16（種）。

（ⅱ）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課有1 門，則不同的選課方案共有C1 4C24=24（種）;

②若體育類選修課有2門，則不同的選課方案共有C2 4C14=24（種）。

綜上，不同的選課方案共有16+24+24=64（種）。

考點(diǎn)解讀：運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的關(guān)鍵在于正確區(qū)分“分類”與“分步”，分類就是能“一步到位”———任何一類中任何一種方法都能完成整個(gè)事件，分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”;而分步則只能“局部到位”———任何一步中任一種方法只能完成事件的某一部分，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步。

考點(diǎn)2 對(duì)排列組合的考查

例2 【2023年全國新課標(biāo)Ⅱ卷第3題】某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名學(xué)生和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）。

A.C44500·C12500 種 B.C24000·C42000 種

C.C34000·C32000 種 D.C44000·C22000 種

命題意圖：本題是考查抽樣方法及組合的知識(shí)，考查同學(xué)們的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

解題思路：利用分層抽樣的原理和組合數(shù)公式進(jìn)行解答。

解析：根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共

抽取60×（400／600=40（人），高中部共抽取60×（200／600=20（人）。

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理，可得不同的抽樣結(jié)果共有C44000·C22000 種。

選D。

考點(diǎn)解讀：排列、組合是兩類特殊的計(jì)數(shù)求解方式，在計(jì)數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用。解答排列、組合問題，首先要根據(jù)題意明確是排列問題還是組合問題，或者是排列與組合的混合問題;其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行解答。

解答排列與組合問題時(shí)要注意一些策略和方法技巧的應(yīng)用，如特殊元素優(yōu)先安排、相鄰問題捆綁處理、不相鄰問題插空處理、定序問題倍縮法處理等。

考點(diǎn)3 排列組合與概率的綜合考查

例3 【2023年全國甲卷文數(shù)第4題】某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名。從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（ ）。

A.1／6 B.1／3 C.1／2 D.2／3

命題意圖：本題綜合考查排列組合與古典概型，也考查同學(xué)們的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

解題思路：利用古典概型的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)進(jìn)行解答。

解析：依題意知，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C24=6（個(gè)），其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有C1 2C12=4（個(gè)）。所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為4／6=2／3。選D。

考點(diǎn)解讀：由于概率與排列組合聯(lián)系緊密，有承上啟下的作用，故二者經(jīng)常交匯構(gòu)造一些等可能事件的概率問題，是高考命題的熱點(diǎn)。

（責(zé)任編輯 徐利杰）