賀煒

數(shù)形結(jié)合就是在數(shù)學教學中將圖形與數(shù)據(jù)相結(jié)合，找出圖形與數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)，從而解決數(shù)學中的相應(yīng)問題。在教學中，數(shù)形結(jié)合不僅為學生提供了解題思路，還能使學生掌握抽象的理論知識，并運用到實際生活之中。總而言之，數(shù)形結(jié)合的核心內(nèi)容就是鍛煉學生的思維轉(zhuǎn)化能力，在當前教育形勢下提高學生的綜合能力，這對學生的知識構(gòu)架有著正向的引導意義。

一、教學目標

1.學會利用圖形“圓”完成三角函數(shù)基本公式的推導。

2.利用數(shù)形結(jié)合思想，考量圖形圓與多個角之間的數(shù)量關(guān)系，明確公式由來的具體過程。

3.參與誘導公式的推導過程，加深對數(shù)學知識的理解和記憶，在自主探索中培養(yǎng)創(chuàng)新思維，提升解決問題的能力。

二、教學重難點

教學重點：理解和掌握三角函數(shù)誘導公式的具體內(nèi)容。

教學難點：使用數(shù)形結(jié)合思想推導出誘導公式，并能夠運用公式進行有效的求值和計算。

三、教學過程

◆環(huán)節(jié)一：溫故知新，激趣導入

教師在屏幕上投射問題：

1.三角函數(shù)的符號分別是哪些？

2.sin30°=，那么sin210°，sin330°，sin150°的值是多少呢？

教師設(shè)問1：我們在初中的時候已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，即那些涉及0°至90°之間角的函數(shù)。但是我們面對大于90°的角時，之前學習的正弦函數(shù)概念似乎不再適用。當遇到一個大于90°的角時，該如何處理呢？這就是這節(jié)課我們要思考和解決的問題。

（設(shè)計意圖：復習先前的知識點，引出新的探討話題：銳角三角函數(shù)之外的知識點。這樣的問題能夠激發(fā)學生的思考，讓他們自然而然地思考這些角位于哪個象限，為后續(xù)利用數(shù)形結(jié)合理論推導公式奠定思維基礎(chǔ)。）

◆環(huán)節(jié)二：思維延伸，學習新知

教師設(shè)問2：如何應(yīng)對上述挑戰(zhàn)呢？我們能否制定出一些策略來逐一克服這些問題？

首先，我們審視第一個問題：如何確定特定角度的正弦值？

明確：在sin210°中提取角度值，將其分成180°和30°。180°即為π，如果能明確任意角α與（π+α）之間的三角函數(shù)聯(lián)系，那么這個問題就能得到解決。

探究1：任意角α與（π+α）之間的三角函數(shù)聯(lián)系。

教師在屏幕上出示圖片（如圖1）。

圖1 角α與（π+α）的位置

教師設(shè)問3：請同學們觀察圖片回答下列問題。

1.角α和角（π+α）的終邊有何聯(lián)系？

2.如圖1所示，角α和角（π+α）的終邊各自與單位圓相交于點P1和P2，該怎么描述這兩點之間的位置關(guān)系呢？

3.假設(shè)點P1的坐標是（x，y），那么如何表示點P2的坐標？

4.研究三角函數(shù)之間的關(guān)系：tanα和tan（π+α），cosα和cos（π+α），sinα和sin（π+α），這些函數(shù)在α和π+α時的值有何聯(lián)系？

明確：α與（π+α）在圖形中呈原點對稱關(guān)系。同樣，點P1和點P2的位置也呈原點對稱。如果點P1的坐標是（x，y），那么點P2的坐標將是（-x，-y）?；谶@一點，總結(jié)出以下規(guī)律：sin（π+α）=sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）=tanα。接下來就可以解決課堂伊始的問題了。

sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-。

（設(shè)計意圖：本練習旨在深入探究角與角之間的正弦和余弦關(guān)系。鑒于此問題出現(xiàn)于課堂開始，因此學生需要教師的持續(xù)指導，逐步揭示這些角度之間的數(shù)學聯(lián)系。因此，在教學過程中，教師和學生應(yīng)共同協(xié)作，教師扮演啟發(fā)者和引導者的角色，指導學生通過分析圖形來發(fā)現(xiàn)數(shù)學關(guān)系，從而實現(xiàn)從直觀圖形到抽象數(shù)值的過渡。）

◆環(huán)節(jié)三：思維拓展，深化理論

教師設(shè)問4：剛才我們已經(jīng)解決了sin210°的問題，接下來看第二個問題，sin330°。誰來告訴老師如何解決這個問題？

明確：330°=360°+（-30°），即角α與-α的關(guān)系。

探究2：任意角α與-α之間的三角函數(shù)聯(lián)系。

教師設(shè)問5：接下來我們帶著分解式觀看大屏幕（如圖2所示），小組討論回答下列問題。

圖2

1.角α及其補角-α在單位圓上的終邊有什么關(guān)系？

2.如何描述點P1和點P2在坐標系中的相對位置？

3.請確定點P2在坐標系中的具體坐標點。

4.探討sinα與sin（-α），cosα與cos（-α），tanα與tan（-α）的值之間的關(guān)系。

明確：角α及其對應(yīng)角（π+α）在坐標平面上關(guān)于x軸呈現(xiàn)鏡像對稱。點P1和點P2在x軸上呈現(xiàn)對稱分布。若點P1的坐標為（x，y），那么點P2的坐標將是（x，-y）。通過分析和推導，可以總結(jié)出一系列數(shù)學公式。

sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=tanα。

解決課堂問題：sin330°=sin（360°-30°）=-sin30°=-。

（設(shè)計意圖：在經(jīng)歷了首個問題的啟發(fā)性指導后，學生可以進一步開展小組討論與合作，在課堂上營造積極向上的氛圍。這種互動不僅增強了師生的參與度，還激發(fā)了他們在數(shù)學和幾何領(lǐng)域的探索熱情。通過在數(shù)與形的互動中深入研究，學生能夠更好地理解概念，并提升解決問題的技能。）

探究3：角α與（π-α）的三角函數(shù)值的關(guān)系。

教師設(shè)問6：接下來我們解決最后一個問題：sin150°，已知sin150°=sin（180°-30°），那么我們就需要知道角α與（π-α）的三角函數(shù)值的關(guān)系，接下來請同學們看黑板（如圖3）繼續(xù)小組討論，回答下列問題。

圖3 α與（π-α）的位置

1.角α和角（π-α）在單位圓上的終邊有什么關(guān)系？

2.如何描述點P1和點P2在坐標系中的相對位置？

3.請確定點P2在坐標系中的具體坐標點。

4.探討sinα與sin（π-α），cosα與cos（π-α），tanα與tan（π-α）的值之間的關(guān)系。

明確：角α及其對應(yīng)角（π-α）在坐標平面上關(guān)于y軸呈現(xiàn)鏡像對稱。點P1和點P2在y軸上呈現(xiàn)出對稱分布。若點P1的坐標為（x，y），那么點P2的坐標將是（-x，y）。通過分析和推導，我們可以總結(jié)出一系列數(shù)學公式。

sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα，tan（π-α）=-tanα

也就是說，sin150°=sin（180°-30°）=sin30°=。

（設(shè)計意圖：在鼓勵學生自主探索和嘗試推導公式的過程中，教師可觀察學生的進展，并提供及時的反饋和指導。通過這種方式，學生可以從圖象中發(fā)掘公式的奧秘，同時體驗到學習帶來的樂趣。這種教學方法旨在培養(yǎng)學生的獨立思考能力和解決問題的技能，也加強了師生之間的互動和溝通。）

◆環(huán)節(jié)四：總結(jié)概括，加速記憶

教師布置任務(wù)，讓學生背誦上述推導公式，同時板書寫下公式。

教師設(shè)問7：這些口訣十分容易混淆，我們能不能總結(jié)一些規(guī)律來加速記憶呢？

明確：在分析三角函數(shù)的符號特點時，我們注意到，對于函數(shù)sin（α），其值前面所加的正負號取決于角α所處的象限。具體來說，當α被視為銳角時，符號的確定遵循一個簡單的規(guī)則：函數(shù)名保持不變，而符號的選取則依據(jù)角度所在的象限。綜上所述，我們可以概括這些三角函數(shù)公式的特點為“奇變偶不變，符號看象限”。這一原則有助于我們快速判斷函數(shù)值的正負，簡化解題的過程。

（設(shè)計意圖：采用“十字口訣”法，根據(jù)角所處的象限來判定函數(shù)符號的變化，從而深入理解公式的含義。通過這種逐步解析的方式，學生能夠更好地把握三角函數(shù)在不同象限的符號規(guī)律，進而在實際問題中靈活運用這些公式。）

◆環(huán)節(jié)五：課堂練習，實際應(yīng)用

教師出示習題一

利用誘導公式計算：

1.cos225° 2.sin

3.sin（-） 4.cos（-2024°）

教師引導：在審視這些數(shù)學題目時，同學們可能會發(fā)現(xiàn)給定的角度值超出了0到2π的標準范圍。因此，我建議大家在計算過程中，將這些角度值轉(zhuǎn)換至0到2π區(qū)間內(nèi)。如何進行轉(zhuǎn)換呢？這就需要我們運用今天所學的誘導公式來完成。

教師出示習題二

利用誘導公式化簡。

（設(shè)計意圖：學生應(yīng)將誘導公式概念應(yīng)用于實際問題中。在解決這些題目時，教師引導學生建立單位圓協(xié)助運算，幫助其將每個角轉(zhuǎn)換為熟悉的銳角，從而利用數(shù)形結(jié)合的方法來體會題目背后的邏輯。這樣的思考方式有助于構(gòu)建解題思路，使問題變得更容易理解。）

◆環(huán)節(jié)六：課堂小結(jié)，鞏固提升

在這節(jié)課中，你有什么收獲呢？

（學生回答，教師總結(jié)）

明確：經(jīng)過這節(jié)課的深入學習，我們掌握了以下幾個關(guān)鍵點：

誘導公式的應(yīng)用：學會如何使用誘導公式來轉(zhuǎn)換角度。

數(shù)形結(jié)合的策略：在解決三角函數(shù)問題時，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的策略可以更直觀地理解問題，構(gòu)建解題思路。

問題解決的步驟：通過實例學習，逐步理解在面對復雜的三角函數(shù)問題時，如何通過將問題分解成更小的、可管理的部分來解決。

實踐與理論相結(jié)合：認識到理論知識與實際問題解決之間的聯(lián)系，通過練習將所學的誘導公式應(yīng)用于具體題目，加深了對概念的理解。

總之，這節(jié)課學生不僅學習了三角函數(shù)的誘導公式，還學會了如何將這些抽象的概念應(yīng)用于實際問題中，培養(yǎng)了數(shù)學思維能力和解決問題的能力。

（作者單位：陜西省安康市漢濱區(qū)江北高級中學）

編輯：趙文靜