趙志強(qiáng)

摘?要：本文先介紹建立空間直角坐標(biāo)系的原則和方法，然后舉例說(shuō)明在不規(guī)則圖形中建立坐標(biāo)系的方法.

關(guān)鍵詞：立體幾何；空間直角坐標(biāo)系；建立坐標(biāo)系；方法

中圖分類號(hào)：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???文章編號(hào)：1008-0333（2024）15-0061-03

從課本的例題中看出， 建立空間直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題的例題背景基本上是正方體、長(zhǎng)方體或底面是直角三角形的直三棱柱.因?yàn)檫@些幾何體十分容易建系，解決問(wèn)題水到渠成，但有些例題沒(méi)有建立空間直角坐標(biāo)系，而是選取恰當(dāng)?shù)幕捉鉀Q問(wèn)題.課本沒(méi)有建立空間直角坐標(biāo)系求解是基于以下三個(gè)原因：①有的空間直角坐標(biāo)系不易建立；

②若建立了恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)不易寫出；

③運(yùn)算較麻煩.

但是立體幾何問(wèn)題中的點(diǎn)、線、面、體千差萬(wàn)別，豐富多彩，有的用綜合法或“基底法” 比較難以解決問(wèn)題，而用“坐標(biāo)法”比較快捷.而且現(xiàn)在的新課標(biāo)高考中立體幾何試題大多數(shù)用 “坐標(biāo)法”都易于解決[1].那么怎樣建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系呢？ 其實(shí)它與平面直角坐標(biāo)系的建立方式相似，難的是豎軸z怎樣與x軸，y軸與原點(diǎn)形成標(biāo)配.

1 建立空間直角坐標(biāo)系的三大原則

原則一：特殊點(diǎn)為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)O.

原則二：過(guò)O且互相垂直的兩條特殊直線為x軸與y軸 （或x軸、z軸或y軸、z軸），由此確定第三條軸的產(chǎn)生.

原則三：有利運(yùn)算 （最適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系）.

有的幾何體隨著思考者的主觀性和角度不同，建立的空間坐標(biāo)系也不同，從而運(yùn)算過(guò)程大多不同，但結(jié)論都是一致的，恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系會(huì)讓運(yùn)算簡(jiǎn)捷，起到事半功倍的效果[2].

2 常見(jiàn)的幾種模型及建立方法一般情況下，在立體圖形中有下面的幾種模型.

模型1?正方體（長(zhǎng)方體）型

這種模型是最常見(jiàn)的模型， 教材的例題多是這種情況，一般建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系.

模型2?直棱柱型

直棱柱型一般常見(jiàn)的是直三棱柱或直四棱柱或直六棱柱， 出現(xiàn)頻率最高的是直三棱柱， 其次是直四棱柱.

（1）直三棱柱的底面是直角三角形， 可視為長(zhǎng)方體的一半.通常以底面直角三角形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.

（2）直三棱柱的底面是正三角形 （即正三棱柱）， 通常以底面一邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)， 建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系.

（3）直三棱柱的底面是一般三角形時(shí)， 可根據(jù)具體情況選擇原點(diǎn)，x軸，y軸， 常常以一邊與該邊上的高分別為x軸與y軸， 垂足為原點(diǎn).特別地， 當(dāng)?shù)酌媸堑妊切螘r(shí)， 取底邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)， 底邊上的高所在的直線為x軸 （或y軸）， 如圖4.

模型3?斜棱柱型

常見(jiàn)的斜棱柱的底面三角形一般為特殊三角形，且某個(gè)側(cè)面與底面垂直或側(cè)棱與底面成已知角度， 常尋找垂直元素為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.

例1[3]?如圖5，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)均為2，平面ACC1A1⊥平面ABC， 側(cè)棱與底面成60°的角.

（1）求AB1與BC1所成角的余弦值；

（2）求BC1與平面ABB1A1所成角的正弦值；

（3）在線段AB1與線段BC1上是否分別存在點(diǎn)P，Q， 使PQ∥平面ACC1A1， 若存在， 求出P，Q的位置， 若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由.

解?設(shè)AC的中點(diǎn)為D.連接A1C，A1D，DB，由于平面A1ACC1⊥平面ABC， 且側(cè)棱與底面所成的角為60°， 三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)均為 2 ，所以△ABC和△A1AC為正三角形.故以D為原點(diǎn)，DB，DC，DA1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸， 建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系， 則D（0，0，0），A（0，-1，0），B（3，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，3），B1（3，1，3），C1（0，2，3）.

（1）AB1=（3，2，3），BC1=（-3，2，3），cos〈AB1，BC1〉=AB1·BC1AB1BC1=410×10=25，即AB1與BC1所成角的余弦值為25.

（2） 因?yàn)锳B=（3，1，0），AB1=（3，2，3），

設(shè)平面ABB1A1的法向量為n=（x，y，z），

則n·AB=0，n·AB1=0， 所以3x+y=0，3x+2y+3z=0，

取x=1， 則y=-3，z=1， 所以平面ABB1A1的一個(gè)法向量n=（1，-3，1）.

設(shè)BC1與平面ABB1A1所成角為θ， 則

sinθ=cos〈BC1，n〉=BC1·nBC1|n|

=|-3-23+3|10×5=65，

所以BC1與平面ABB1A1所成角的正弦值為65.

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，Q， 且設(shè)AP=λAB1，BQ=μBC1，λ，μ∈（0，1）.所以DP=DA+

λAB1=（0，-1，0）+λ（3，2，3）=（3λ，-1+2λ，

3λ），DQ=DB+μBC1=（3，0，0）+μ（-3，2，3）=（3-3μ，2μ，3μ）， 所以

PQ=DQ-DP=（3-3μ-3λ，1+2μ-2λ，3μ-3λ），

而平面ACC1A1的一個(gè)法向量為DB=（3，0，0），

所以PQ·DB=0，即μ+λ=1，

即當(dāng)AP=C1Q時(shí)，PQ∥平面ACC1A1.

特別地， 當(dāng)λ=μ=12時(shí)，P，Q分別是AB1與BC1的中點(diǎn).

模型4?棱錐型

棱錐型跟棱柱型的空間直角坐標(biāo)系的建立方法基本一致.但正棱錐可取底面的中心為坐標(biāo)原點(diǎn).（特別是正四棱錐）.

模型5?圓柱型

圓柱形的空間直角坐標(biāo)系的建立大多數(shù)以如圖7所示的方法建立.

模型6?其他幾何體型

其他幾何體千姿百態(tài)，但一般給出的幾何體的點(diǎn)、線、面及其關(guān)系含有很多特殊元素與特定的關(guān)系，可以結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)與空間直角坐標(biāo)系的常規(guī)方法建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.

例2[4]?如圖8，平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現(xiàn)將ΔABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BDC（如圖9），設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn).

（1）求證：DC⊥平面ABC；

（2）求鈍二面角B-EF-A的余弦值.

解?（1）略.

（2）以B為原點(diǎn)，BD為x軸正向，BA為z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖10.設(shè)CD=a，則BD=AB=2a，BC=3a，AD=22a，易知B0，0，0，A0，0，2a，D2a，0，0，F(xiàn)a，0，a，E3a4，3a4，a，CD=a2，-3a2，0，BF=a，0，a，BE=34a，34a，a，AC=32a，32a，-2a.

設(shè)平面ACD的法向量為n1=x1，y1，z1，則有CD·n1=0，AC·n1=0，即a2x1-32ay1=0，3a2x1+32ay1-2az1=0，取n1=（3，1，3）.

設(shè)平面BEF的法向量為n2=x2，y2，z2，則有BE·n2=0，BF·n2=0，即3a4x2+34ay2+az2=0，ax2+az2=0，取n2=（-3，-1，3）.

∴cos＜m，n>=-1-1/3+1

21/3·21/3=17，

又二面角為鈍二面角，所以所求二面角B-EF-A的余弦值為-17.

3 結(jié)束語(yǔ)

新教材比較重視向量方法在立體幾何中的應(yīng)用，而新高考中的立體幾何大題，都可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法來(lái)解決.可以這么說(shuō)，建立空間直角坐標(biāo)系是解決立體幾何大題的通法，所以，除了規(guī)則的幾何體外，我們要掌握在不規(guī)則幾何體中建立空間直角坐標(biāo)系的方法.

參考文獻(xiàn)：

［1］唐明超，于雷.一類立體幾何試題的模式化解法分析：以2019年全國(guó)卷Ⅰ試題為例[J].教學(xué)考試，2019（38）：58-62.

[2] 安國(guó)釵，張正華.巧建坐標(biāo)系妙用解析法[J].理科考試研究，2019，26（24）：19-23.

[3] 李鴻昌.點(diǎn)在面內(nèi)的多視角證明與高觀點(diǎn)審視：一道2020年立體幾何高考題引發(fā)的探究[J].數(shù)理化解題研究，2023（22）：101-104.

[4] 李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.

［責(zé)任編輯：李?璟］