僅要求聽(tīng)講、練習(xí)、考試，再聽(tīng)講、再練習(xí)……不知道什么時(shí)候完成目標(biāo)，什么時(shí)候可以不用再練習(xí)，這是很多學(xué)生日常學(xué)習(xí)的感受，或許也是部分學(xué)生厭煩學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原因。因此，教師的課堂教學(xué)不僅要明確教學(xué)目標(biāo)，還要讓孩子明晰學(xué)習(xí)成功的表現(xiàn)或標(biāo)準(zhǔn)，促進(jìn)主動(dòng)學(xué)習(xí)，逐步形成講道理、有條理、會(huì)反思的思維品質(zhì)?；诖耍狙芯恳匀私贪娼滩乃哪昙?jí)下冊(cè)“三角形內(nèi)角和”一課為例，通過(guò)與學(xué)生分享學(xué)習(xí)目標(biāo)、商定成功標(biāo)準(zhǔn)、診斷學(xué)習(xí)進(jìn)程等環(huán)節(jié)，展示了從理解學(xué)習(xí)目標(biāo)開(kāi)始的可視化課堂教學(xué)的過(guò)程和價(jià)值。

片段一：展示要求，分享學(xué)習(xí)目標(biāo)

師：上節(jié)課，學(xué)習(xí)了“三角形的分類”?；貞浺幌拢覀兪窃趺捶诸惖?？

生：我們先測(cè)量三角形的邊和角，然后依據(jù)測(cè)量結(jié)果再分類。按邊分，三角形可以分為等邊三角形、等腰三角形和不等邊三角形。按角分，三角形可以分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形。

師：是的。我們通過(guò)測(cè)量，發(fā)現(xiàn)了這些特征。今天這節(jié)課，我們要繼續(xù)測(cè)量角，進(jìn)一步探究三角形中角的特征。

生：好像三角形的三個(gè)角加起來(lái)，和是180°。

生：我知道，三角形的內(nèi)角和是180°。

師：看來(lái)很多同學(xué)已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°這個(gè)結(jié)論，這是其他人的研究成果，你們能不能像數(shù)學(xué)家一樣親自求證三角形的內(nèi)角和是180°呢？這就是這節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（板書：三角形的內(nèi)角和）

【評(píng)析】很多學(xué)生已經(jīng)了解“三角形的內(nèi)角和是180°”的知識(shí)和掌握“應(yīng)用結(jié)論求角的度數(shù)”的技能，并以為這些就是這節(jié)課學(xué)習(xí)的全部目標(biāo)。現(xiàn)在與學(xué)生分享學(xué)習(xí)目標(biāo)后，學(xué)生清晰地知道學(xué)習(xí)目標(biāo)不只是“知識(shí)與技能”，還有“過(guò)程與方法”，要像數(shù)學(xué)家一樣去求證和表達(dá)三角形內(nèi)角和的其他“秘密”……看到了已有認(rèn)知與學(xué)習(xí)目標(biāo)之間的差距，從而激發(fā)探究“三角形內(nèi)角和為何是180°”的熱情。

片段二：交流討論，商定成功標(biāo)準(zhǔn)

師：大家一起看黑板上的銳角三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角在哪里？（生指，師標(biāo)識(shí)∠1、∠2、∠3）這位同學(xué)指得很準(zhǔn)確，∠1、∠2、∠3是三角形的三個(gè)內(nèi)角，內(nèi)角和是∠1、∠2、∠3的度數(shù)之和。

師：剛才說(shuō)，求證三角形的內(nèi)角和是180°是我們的學(xué)習(xí)目標(biāo)。那么，你們覺(jué)得怎樣才算成功證明三角形的內(nèi)角和是180°呢？請(qǐng)小組討論一下。

生：應(yīng)該證明很多個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°，不能只證1個(gè)或2個(gè)三角形。

師：你們的意思就是，要證明各類不同三角形的內(nèi)角和都是180°，才更有說(shuō)服力。

（板書：能證明各類不同三角形的內(nèi)角和都是180°）

生：除此之外，能夠證明三角形內(nèi)角和剛好是180°，不能有誤差。

師：也就是說(shuō)，證明的過(guò)程和結(jié)果都必須十分嚴(yán)謹(jǐn)，不能有誤差。

師：其他小組還有補(bǔ)充嗎？通過(guò)剛才同學(xué)們的討論，我們總結(jié)了證明三角形內(nèi)角和是180°的兩條成功標(biāo)準(zhǔn)：一是能證明各類不同三角形的內(nèi)角和都是180°，二是沒(méi)有誤差。

【評(píng)析】“能證明各類不同三角形的內(nèi)角和都是180°”的標(biāo)準(zhǔn)具體描述了“終點(diǎn)”該有的樣子，幫助學(xué)生看見(jiàn)達(dá)成目標(biāo)的路徑，即需要去求證各類不同的三角形。“沒(méi)有誤差”幫助學(xué)生真正抓住該內(nèi)容學(xué)習(xí)中的挑戰(zhàn)，理解只有“嚴(yán)格證明或推理”才是成功的學(xué)習(xí)。

片段三：初步求證，診斷學(xué)習(xí)進(jìn)程

師：現(xiàn)在已經(jīng)明確了“成功標(biāo)準(zhǔn)”，下面同桌繼續(xù)合作開(kāi)始求證……經(jīng)過(guò)一小段時(shí)間的研究，你們有了不少成果。哪個(gè)小組來(lái)匯報(bào)一下呢？

生：我們小組研究了三種不同三角形，分別是銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形。我們用量角器進(jìn)行測(cè)量，有一個(gè)剛好是180°，另外兩個(gè)分別是179°和182°。

生：我們小組研究的是等邊三角形、等腰三角形和三邊不等三角形。我們也是用量角器進(jìn)行測(cè)量，等邊三角形[的內(nèi)角和]是180°，等腰三角形是179°，另一個(gè)是178°。

師：剛才，兩個(gè)小組已經(jīng)匯報(bào)了研究情況，我們可以依據(jù)“成功標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)照一下，判斷他們有沒(méi)有證明三角形的內(nèi)角和是180°。誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)一下呢？

生：兩個(gè)小組都是按照三角形的不同類別去研究的，第一條標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)符合了，但第二條標(biāo)準(zhǔn)還沒(méi)有符合，研究結(jié)果還是有誤差的。

師：是的。這兩個(gè)小組測(cè)量的時(shí)候，都考慮到了不同的三角形，但結(jié)果存在一定的誤差，不能算成功。

師：假設(shè)我們測(cè)量得非常認(rèn)真、細(xì)致，測(cè)量的結(jié)果三個(gè)內(nèi)角的和剛好也是180°，你們認(rèn)為這樣就算成功了嗎？

生：還不能算完全成功，只要是測(cè)量都會(huì)有誤差。如果測(cè)量更加精密一點(diǎn)，結(jié)果可能就是179點(diǎn)幾度或180點(diǎn)幾度。

師：很多同學(xué)都同意他的說(shuō)法，測(cè)量總是有誤差的。但我覺(jué)得也是非常有價(jià)值的，至少我們知道了三角形的內(nèi)角和是接近180°的，或者可以提出三角形的內(nèi)角和是180°的猜想。

師：測(cè)量的方法雖然沒(méi)有完全達(dá)到成功標(biāo)準(zhǔn)，但也有很多收獲。還有其他方法嗎？

生：我們小組用的是撕的方法，不管是哪種三角形，把三個(gè)角撕下來(lái)拼到一起，都成了一個(gè)平角，所以是180°。

生：我們倆是把三角形的三個(gè)角折到了一起（如圖1），看上去與三角形的邊重合了，所以三個(gè)角的和應(yīng)該是180°。

師：這兩種方法都很有意思，通過(guò)撕拼或折疊的方法，把三角形的三個(gè)角放在一起，然后認(rèn)為拼成一個(gè)平角，所以三個(gè)角的和應(yīng)該是180[°。]哪位同學(xué)來(lái)評(píng)價(jià)一下這兩種方法？

生：三個(gè)角拼在一起看上去像平角，但并不一定就是一個(gè)真正的平角。

生：通過(guò)觀察、測(cè)量都不能真正確定角的度數(shù)。

生：我們的這些方法都有誤差，沒(méi)有達(dá)到第二條標(biāo)準(zhǔn)。那么，有什么方法可以完全證明三角形的內(nèi)角和就是180°呢？

【評(píng)析】成功標(biāo)準(zhǔn)既幫助學(xué)生了解已經(jīng)掌握的“分類求證”的成就，增加學(xué)習(xí)自我效能感，也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己所處的學(xué)習(xí)進(jìn)程尚未達(dá)到“沒(méi)有誤差”的要求，提醒學(xué)生還需要有“嚴(yán)格證明或推理”的表現(xiàn)，并積極思考后續(xù)學(xué)習(xí)行動(dòng)所需要的工具、技能和支持，為持續(xù)學(xué)習(xí)提供動(dòng)力。正如2022年版課標(biāo)的評(píng)價(jià)建議所言：以適當(dāng)?shù)姆绞?，將學(xué)生一些積極的變化及時(shí)反饋給學(xué)生。讓學(xué)生能說(shuō)出他們學(xué)什么與為什么學(xué)，能討論所應(yīng)用的學(xué)習(xí)策略，能明確后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，能使用自我管理策略，最終成為自己的老師和終身學(xué)習(xí)者。

片段四：史料學(xué)習(xí)，再商求證方法

1.小組討論，商定思路。

師：這的確有些難度，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡曾在12歲的時(shí)候證明了三角形的內(nèi)角和是180°，我們來(lái)看一下他是怎么做到的（播放視頻）?？戳艘曨l之后，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，帕斯卡是如何證明直角三角形的內(nèi)角和是180°的呢？

生：帕斯卡先把一個(gè)長(zhǎng)方形沿著對(duì)角線分開(kāi)得到兩個(gè)完全相同的直角三角形。長(zhǎng)方形的每個(gè)角都是90°，內(nèi)角和是360°，那么其中一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是180°。

（板書：90[°×4÷]2=180°）

師：的確如此，不管哪個(gè)直角三角形，它的內(nèi)角和都是180°，因?yàn)樗鼈兌伎梢酝ㄟ^(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形沿對(duì)角線分割得到。

師：帕斯卡利用長(zhǎng)方形內(nèi)角和的舊知推理得出直角三角形的內(nèi)角和是180°。那么，你們接下來(lái)準(zhǔn)備怎么做呢？如何通過(guò)推理得出銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和呢？請(qǐng)你們小組討論一下。

生：我們也可以像帕斯卡那樣，通過(guò)已有的知識(shí)推理得出它們的內(nèi)角和。

生：剛才，帕斯卡把已知長(zhǎng)方形分割成直角三角形?，F(xiàn)在，我們或許可以把已知的三角形分割成直角三角形來(lái)解決。

2.分類推理，獲得體驗(yàn)。

師：你們說(shuō)得很有道理。接下來(lái)，請(qǐng)?zhí)暨x任意一個(gè)三角形，推理得出銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和，動(dòng)手試試吧！

生：我給一個(gè)銳角三角形作了一條高，然后沿著高線把它分成兩個(gè)直角三角形。已經(jīng)知道直角三角形的內(nèi)角和是180°，兩個(gè)直角三角形就是360°，減nvLs+5/GR5Vj5W10YocWQiLSHjKP4R1FkAsOCrotAI0=去中間的兩個(gè)直角，剩下的就是原來(lái)三角形的內(nèi)角和，即360°-90°-90°=180°。

生：我把一個(gè)鈍角三角形也沿著高線分成兩個(gè)直角三角形。按照同樣的方法做了一遍，也是推理得到鈍角三角形的內(nèi)角和是180°。

師：選擇研究銳角三角形，順利完成推理的請(qǐng)舉手示意，選擇研究鈍角三角形……

師：看來(lái)，任何一個(gè)三角形都可以沿著高線分成兩個(gè)直角三角形，然后推理得到三角形的內(nèi)角和是180°（如圖2）。那么，對(duì)照一下成功標(biāo)準(zhǔn)，我們的學(xué)習(xí)有沒(méi)有達(dá)到目標(biāo)呢？

生：已經(jīng)達(dá)到。我們已經(jīng)把各種三角形都一一證實(shí)，而且通過(guò)計(jì)算（推理）得出都是180°，沒(méi)有誤差。

師：的確如此。通過(guò)同學(xué)們的努力，我們經(jīng)歷了一場(chǎng)像數(shù)學(xué)家一樣的思考，合乎邏輯地推理得到了三角形內(nèi)角和是180°的結(jié)論。祝賀你們！

【評(píng)析】課堂上，學(xué)生嘗試了測(cè)量、撕拼和分割的操作，體驗(yàn)從測(cè)量、觀察到推理的求證過(guò)程，以及對(duì)他人或自己?jiǎn)栴}解決過(guò)程的評(píng)價(jià)。其實(shí)，就是經(jīng)歷一個(gè)連續(xù)的理解水平不斷深化、思維方式不斷發(fā)展的過(guò)程，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯思維的思維品質(zhì)，即學(xué)習(xí)持續(xù)進(jìn)階，推理意識(shí)等素養(yǎng)不斷發(fā)展的過(guò)程。當(dāng)然，培育能以目標(biāo)為導(dǎo)向、善于自我診斷的可視化學(xué)習(xí)者并非易事，教師扮演著極其關(guān)鍵的角色。在日常數(shù)學(xué)課堂中，教師要開(kāi)展專門的訓(xùn)練或滲透性的練習(xí)，幫助學(xué)生形成理解學(xué)習(xí)目標(biāo)、應(yīng)用成功標(biāo)準(zhǔn)、診斷學(xué)習(xí)進(jìn)程、制訂學(xué)習(xí)計(jì)劃等能力，這也對(duì)教師教育和專業(yè)發(fā)展提出了新議題、新挑戰(zhàn)，需要長(zhǎng)遠(yuǎn)規(guī)劃與努力。

（作者單位：浙江杭州市硅谷小學(xué)，浙江師范大學(xué)教育學(xué)院）