沈奕

［摘? 要］ 圓問題的多解在中考或模擬考中十分常見，很容易造成漏解或錯(cuò)解，多解成因分析是解題探究的重點(diǎn)，需要探討點(diǎn)、線、圖形的位置關(guān)系等. 文章結(jié)合實(shí)例開展圓中多解探討，探討點(diǎn)在圓弧上的位置、圓心與弦的位置、圓內(nèi)三角形的形狀、直線與圓的位置關(guān)系四大情形，同時(shí)開展教學(xué)探討，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 圓；多解；點(diǎn)；直線；位置關(guān)系

圓類問題中常見多解情形，解析時(shí)需要深入分析問題條件，確定多解成因，再構(gòu)建幾何模型，分別求解. 下面結(jié)合問題具體探究.

關(guān)于圓中多解的討論

圓問題多解的情形眾多，常見的涉及了動(dòng)點(diǎn)、直線、弦、圓心的相關(guān)位置關(guān)系，以及圖形的形狀等. 下面舉例探究，結(jié)合實(shí)例分析思路，探討解題過程.

1. 討論點(diǎn)在優(yōu)弧或劣弧上

圓中問題常見點(diǎn)在圓的弧上，若未設(shè)定在圓弧上的具體位置，則會(huì)造成多解，即點(diǎn)可以在圓的優(yōu)弧上，也可以在劣弧上，求解時(shí)分別構(gòu)建模型.

例1? 如圖1所示，AB，AC分別與☉O相切于點(diǎn)B，C，∠A=50°，點(diǎn)P是圓上異于B，C的一動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是______.

思路分析：問題設(shè)點(diǎn)P是圓上異于點(diǎn)B和C的動(dòng)點(diǎn)，要求∠BPC的度數(shù). 點(diǎn)P可以位于優(yōu)弧上，也可以位于劣弧上，從而造成∠BPC可能是銳角，也有可能是鈍角.

過程解析：分別連接BP1，BP2，CP1，CP2，如圖1的虛線所示.

情形1：當(dāng)點(diǎn)P位于優(yōu)弧上時(shí)，即點(diǎn)P1，此時(shí)為∠BP1C為銳角. AB，AC與☉O相切于點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，則OC⊥AC，OB⊥AB. 由于∠A=50°，則在四邊形ABOC中，∠COB=130°. 在☉O中，∠BP1C為圓周角，于是可推得∠BP1C=65°.

情形2：當(dāng)點(diǎn)P位于劣弧上時(shí)，即點(diǎn)P2，此時(shí)∠BP2C為鈍角. 由于四邊形BP1CP2為☉O的內(nèi)接四邊形，∠BP2C=65°，可推得∠BP2C=115°.

綜上可知，∠BPC的度數(shù)為65°或115°.

評析? 上述求解圓中角度問題時(shí)，討論了圓弧上點(diǎn)的位置，即位于優(yōu)弧或劣弧，再結(jié)合模型，利用圓的內(nèi)接四邊形、圓周角、圓心角的相關(guān)性質(zhì)求解. 對于點(diǎn)在圓弧中的位置，要關(guān)注其中的關(guān)鍵點(diǎn)，從優(yōu)弧、劣弧兩個(gè)情形出發(fā)來討論.

2. 討論圓心與弦的位置

圓中問題有時(shí)還需討論圓心與弦的位置，圓具有對稱性，關(guān)于圓心均可找到長度相等的兩條弦. 即圓心可以位于弦的一側(cè)，也可位于另一側(cè)，此時(shí)就需要分開構(gòu)建模型，具體討論.

例2? 圖2是一下水管道的截面圖. 已知排水管的直徑為100 cm，下雨前水面寬為60 cm. 一場大雨過后，水面寬為80 cm，試求水面上升多少.

思路分析：圓具有對稱性，題目設(shè)定水面寬度為80 cm，但未表明是在圓心的上方，還是圓心的下方，故需要分兩種情形討論.

過程解析：作半徑OD⊥AB交AB于點(diǎn)C，連接OB，如圖2所示，由垂徑定理可得BC=AB=30 cm，在Rt△OBC中，OC==40 cm.

情形1：當(dāng)水位上升到圓心以下，此時(shí)A′B′=80 cm，則OC′==30 cm，故水面上升的高度為40-30=10 cm.

情形2：當(dāng)水位上升到圓心之上，此時(shí)A″B″=80 cm，水面上升的高度為40+30=70 cm.

綜上可得，水面上升的高度為10 cm或70 cm.

評析? 上述圍繞圓的對稱性開展了圓心與弦位置關(guān)系的討論，結(jié)合圓的對稱特性，把握垂徑定理靈活求解是解題的關(guān)鍵. 利用垂徑定理作圖分析時(shí)分兩步進(jìn)行：第一步，過圓心作垂線，構(gòu)建直角三角形；第二步，利用勾股定理推導(dǎo)解析，求解線段長.

3. 討論圓內(nèi)三角形的形狀

圓與三角形綜合常見于圓中問題中，圓上點(diǎn)的位置會(huì)影響三角形的形狀，則需要討論圓內(nèi)三角形的形狀，確定模型，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)開展分析推導(dǎo).

例3? 半徑為5的☉O是銳角三角形ABC的外接圓，AB=AC，連接OB，OC，延長CO交弦AB于點(diǎn)D. 若△OBD是直角三角形，則弦BC的長為______.

思路分析：本題目設(shè)定△OBD為直角三角形，但未表明具體的直角，則需要對其加以討論，有兩種情形，即∠ODB=90°和∠DOB=90°. 若∠ODB=90°，則可以推出△ABC是等邊三角形；若∠DOB=90°，則可以推出△BOC為等腰直角三角形.

過程解析：如圖3（1），當(dāng)∠ODB=90°時(shí)，即CD⊥AB，所以AD=BD，可求得AC=BC. 由于AB=AC，則△ABC是等邊三角形，故∠DBO=30°. 因?yàn)镺B=5，故BD=OB=，則BC=AB=5.

如圖3（2），當(dāng)∠DOB=90°，則∠BOC=90°，可推得△BOC是等腰直角三角形，則BC=OB=5.

綜上所述：若△OBD是直角三角形，則弦BC的長為5或5.

評析? 上述求解弦BC的長時(shí)，先對三角形的直角情形進(jìn)行了討論，確定了直角；然后展開推導(dǎo)，解析時(shí)利用了三角形的外接圓與外心、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí). 正確作出圖形，構(gòu)建多解模型是解題的關(guān)鍵.

4. 討論直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系也會(huì)造成多解，常見的有相切的不同情形，相交點(diǎn)個(gè)數(shù)不同情形等，探究解析時(shí)要重點(diǎn)關(guān)注直線與圓的位置關(guān)系，探討具體情形，再分別構(gòu)建模型解析.

例4綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)直角三角板和量角器，把量角器的中心O點(diǎn)放置在AC的中點(diǎn)上，DE與直角邊AC重合，如圖4（1）所示，∠C=90°，BC=6，AC=8，OD=3，量角器交AB于點(diǎn)G，F(xiàn)，現(xiàn)將量角器DE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，如圖4（2）所示.

（1）點(diǎn)C到邊AB的距離為_____；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，求點(diǎn)O到AB距離的最小值；

（3）若半圓O與Rt△ABC的直角邊相切，設(shè)切點(diǎn)為K，求BK的長.

思路分析：本題目為圓的綜合題，涉及直線與圓的位置關(guān)系，需要關(guān)注位置關(guān)系，有針對性地討論分析，再構(gòu)建模型解析. 其中第（3）問涉及半圓O與Rt△ABC的直角邊相切，需要討論具體相切情形，開展多解探討.

過程解析：（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖5（1）所示，已知∠ACB=90°，BC=6，AC=8，由勾股定理可得AB==10. 又知CH⊥AB，則AB·CH=AC·BC，所以CH==，即點(diǎn)C到邊AB的距離為.

（2）由于點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，OC=AC=4，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，點(diǎn)O到AB的距離最小，所以O(shè)H=CH-OC=，即點(diǎn)O到AB距離的最小值為.

（3）半圓O與Rt△ABC的直角邊相切，分兩種情形.

①當(dāng)半圓O與BC相切時(shí)，如圖5（2），設(shè)切點(diǎn)為K，連接OK，則∠OKC=90°. 在Rt△OCK中，OK=3，OC=4，所以CK==，則BK=BC-CK=6-.

②當(dāng)半圓O與AC相切時(shí)，如圖5（3），設(shè)切點(diǎn)為K，連接OK，則∠OKC=90°. 在Rt△OCK中，OK=3，OC=4，所以CK==；在Rt△BCK中，BK==.

綜上所述，BK的長為6-或.

評析? 上述第（3）問探究了直線與圓的位置關(guān)系，涉及相切，探究時(shí)分兩種情形，即半圓O與BC相切和半圓O與AC相切. 對于其中的線段長的解析，需注意提取其中的特殊模型，充分利用相似性質(zhì)、勾股定理來推導(dǎo).

關(guān)于圓問題多解的教學(xué)思考

上述結(jié)合實(shí)例深入探討了圓問題的多解，涉及了點(diǎn)在圓弧上的位置、圓心與弦的位置、圓內(nèi)三角形的形狀、直線與圓的位置關(guān)系四大情形. 解析問題時(shí)具體探討了破解思路，呈現(xiàn)解題過程，開展解后評析，可有效提升學(xué)生的解題能力.

1. 關(guān)注多解情形，分類具體探討

多解是圓問題的特殊情形，其成因是關(guān)鍵條件不確定，教學(xué)探究時(shí)要關(guān)注問題的多解情形，分情形梳理. 上述所探究的情形涉及了點(diǎn)、線、圖形的位置關(guān)系、形狀等，實(shí)際上多解的情形還包括弦所對圓周角、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等. 教學(xué)探究時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生深入分析，探討多解情形，結(jié)合具體問題構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 可分三步進(jìn)行：第一步，分析多解問題成因；第二步，從點(diǎn)、線、圖形的位置關(guān)系視角來總結(jié)歸納； 第三步，梳理關(guān)鍵點(diǎn)、所涉知識(shí)點(diǎn)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2. 精選典型問題，強(qiáng)化深入分析

“實(shí)例強(qiáng)化分析”是解題探究的重要環(huán)節(jié)，在該環(huán)節(jié)教師應(yīng)幫助學(xué)生梳理解題的思路過程，避免漏解，生成解題策略. 如上述四種情形解析時(shí)結(jié)合實(shí)例分三步進(jìn)行：第一步，展開思路分析，結(jié)合問題條件，分析是否存在多解，確定需要分類的情形；第二步，進(jìn)行過程解析，具體探究解題的過程，引導(dǎo)學(xué)生按照“整合條件—分析推導(dǎo)—思路構(gòu)建—求解答案”的流程進(jìn)行解題；第三步，解后評析，該步要注意引導(dǎo)學(xué)生反思過程，總結(jié)結(jié)論，積累經(jīng)驗(yàn).

3. 滲透思想方法，提升綜合素養(yǎng)

圓問題多解探究時(shí)涉及了眾多的數(shù)學(xué)思想，解題過程實(shí)則為在思想方法的指導(dǎo)下進(jìn)行分析探討，教學(xué)探究時(shí)要注意滲透思想方法，開展數(shù)學(xué)思想教學(xué)，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 上述問題涉及了數(shù)形結(jié)合、分類討論、模型構(gòu)造等思想. 具體表現(xiàn)為通過數(shù)形結(jié)合分析條件，挖掘隱含信息，確定分類情形；再結(jié)合分類討論思想展開多解情形探討，同時(shí)探討時(shí)注意引入模型構(gòu)造思想，作輔助線，構(gòu)建解題模型，通過模型解析來降低思維難度. 另外，教學(xué)探討時(shí)，還可以針對具體的思想方法開展指導(dǎo)，讓學(xué)生深刻理解思想內(nèi)涵，掌握使用方法.

結(jié)束語

圓問題的多解成因分析及討論是教學(xué)探究的關(guān)鍵，具體探究時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意針對性分析多解情形，結(jié)合實(shí)例探究解析，總結(jié)方法策略. 教學(xué)中教師要注意精選問題，讓學(xué)生體驗(yàn)解題過程，采用思路引導(dǎo)、思維啟發(fā)的方法，幫助學(xué)生梳理知識(shí)，內(nèi)化吸收，生成自我的解題策略.