［摘? 要］ APOS理論是從“操作、過程、對象、圖式”四個階段討論數(shù)學學習的心理結構與心理機制. 研究者從APOS理論的本質與功能定位、概念教學中的優(yōu)勢、實施原則出發(fā)，以“變量與函數(shù)”的概念教學為例展開實踐與思考.

［關鍵詞］ APOS理論；概念；函數(shù)

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（簡稱新課標）強調數(shù)學教學要重視數(shù)學概念的心理建構，關注學生在學習過程中的思維活動情況，這對培養(yǎng)與發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要意義. APOS理論是由美國學者杜賓斯基等人提出的與概念學習相關的一種理論，該理論著重強調概念教學過程中對學生的心理建構，這與新課標提出的理念有著驚人的相似之處.

APOS理論的本質與功能定位

APOS理論從本質上來說就是從“操作、過程、對象、圖式”四個方面討論數(shù)學學習的心理結構與心理機制. 而在實際應用時，仍有不少教師對“心理結構”與“心理機制”的區(qū)分不夠明確. 具體來說，心理結構屬于一種靜態(tài)的狀態(tài)，而心理機制則屬于動態(tài)的過程，心理機制可以讓一個人從這種心理結構轉換成另一種心理結構.

與之相應，“心理結構”與“心理機制”促使我們從兩個方面對APOS理論進行定位. 第一點，該理論具備診斷功能，它可對個體對數(shù)學概念的理解程度與思維發(fā)展情況進行調查. 在此過程中，APOS理論為診斷學習是否構成心理結構服務，其診斷結論為教學評價與反思的依據(jù)；第二點，該理論具有解釋功能，它能從心理機制的角度解釋學習者對知識的建構情況，在此過程中，APOS理論對教學具有指導意義，是進一步研究的依據(jù).

APOS理論于概念教學的優(yōu)勢

概念是數(shù)學的基礎，隨著新課改的推進，對概念教學的要求越來越高，與概念教學相關的理論也應運而生. APOS由操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）四階段的英文首字母組成，該理論認為個體在數(shù)學學習過程中經過思維操作、過程與對象等階段之后，學習者可在建構與反思的基礎上將所學內容組成圖式，因而厘清問題的本質并解決問題.

在建構主義理論的基礎上，引導學生自主感知概念與背景之間的聯(lián)系更利于概念的抽象，這對提升學生對概念的記憶、理解與應用具有重要價值與意義. 因此，APOS理論對提升初中數(shù)學概念教學的成效具有顯著優(yōu)勢.

APOS理論在概念教學中的實施原則

1. 靈活性原則

APOS理論所具備的操作、過程、對象與圖式四個階段并非為單一的線性關系，它與教學內容特點、學生的認知水平、智力發(fā)展情況、學習經驗與能力等有著重要關聯(lián). 靈活調控各個環(huán)節(jié)，不僅能有效提高教學效率，對發(fā)展學力也有重要意義. 如將某個環(huán)節(jié)實施兩次或刪減均可取，也可以根據(jù)教學實際情況從對象階段返回到活動階段. 鑒于初中階段學生存在較大的差異性，教師在教學時，需酌情分析，靈活擇取恰當?shù)碾A段提高教學成效.

2. 主體性原則

不論是APOS理論還是新課標的要求，都強調學生在課堂中的主體地位. APOS理論強調學生是知識的建構者，所有的外界活動都是促使學生思維結構發(fā)展的基礎. 鑒于此，在教學時，教師應關注教學環(huán)節(jié)的設計，想方設法引導學生主動參與活動過程，并通過自主探索獲得相應的感悟，以從真正意義上體現(xiàn)學生為課堂的主人.

3. 探究性原則

APOS理論本身就具有探究性特征，其探究主要包含新知的探索與教學過程的探究. 教師可在教學伊始結合學生的實際認知水平與學習經驗創(chuàng)設具有探究性的情境，以激發(fā)學生的探索欲，促使學生親歷概念抽象過程，獲得良好的學習體驗，以促進知識的融會貫通.

APOS理論在概念教學中的應用

以“變量與函數(shù)”的概念教學為例，教學前，筆者結合學情與教情初步設計了如圖1所示的教學流程.

1. 活動階段——情境激趣

情境1“孫權勸學”的故事大家都很熟悉，武夫呂蒙經過孫權勸學成了一位儒將，引發(fā)了魯肅的感慨. 由此可見，世間萬物在不斷發(fā)生變化，如我們身邊的環(huán)境也隨著時間的推移而發(fā)生了改變，請大家說說從幼兒園到小學再到初中，你們身邊有哪些地方發(fā)生了變化.

情境2如圖2，此為某地一天的氣溫變化圖，觀察此圖后思考如下幾個問題. ①這一天的4，12，14，20時的氣溫分別是多少？②上一個問題中存在幾個變量？③某個確定時刻的氣溫確定嗎？④對應每一個時刻的氣溫存在幾個值？

情境3一輛汽車緊急剎車后在平整的路面上將繼續(xù)向前滑行S m，可用公式S=表示，其中V（單位：km/h）表示在剎車之前汽車行駛的速度.

問題：①V值分別為50，60，100時，S值分別是多少？此問中含有幾個變量？

②若V是確定的，那么S值確定嗎？

③對應每一個速度V，滑行距離S有幾個值？

情境4已知某電影的票價為40元/張，某影院首映當天的第一場售出150張票，第二場售出205張票. 要求學生討論如下幾個問題：①這兩場票房收入是多少？計算時存在幾個變量？②售票數(shù)量是確定的情況下，票房收入確定嗎？③對于給定的每個售票量，與票房收入相對應的有幾個值？

設計意圖情境1主要引導學生感知生活中存在變量，后面幾個情境意在引導學生從明確的生活事例中觀察、思考，為自主抽象函數(shù)的概念奠定基礎，讓學生在思考與分析問題的過程中建構模型，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)以及數(shù)學思維能力.

2. 過程階段——探究概念

探究1要求學生以小組為單位分析如下幾個問題，并將結論記錄在導學案上，各組派一名代表進行展示.

問題：①情境2、情境3、情境4存在什么共同點？②每兩個變量能否確定為函數(shù)關系？③有哪幾種表示函數(shù)的方法？④每個情境的自變量取值范圍是多少？⑤分析函數(shù)與函數(shù)值之間的關系.

各組派一名代表依次回答以上五個問題：

生1：情境2、情境3、情境4均存在兩個變量，它們的共同點在于確定一個變量后，另一個變量隨之固定.

生2：鑒于這些情境中的變量具有“一一對應”的關系，所以均為函數(shù)關系.

生3：表達方法有關系式法與圖象法.

生4：情境2中的自變量的取值范圍為0到24，后面兩個情境中的自變量的取值范圍均為0到正無窮.

生5：函數(shù)屬于一個量隨另一個量變化而發(fā)生改變的變量關系式，函數(shù)值屬于函數(shù)的一個部分，它是一個確定的數(shù)值.

師：很好！有沒有補充的？

生6：函數(shù)的表達方法還有表格法.

師：不錯，考慮得比較周全. 根據(jù)以上分析，請大家自主總結函數(shù)的概念、表達方法、自變量的取值范圍，以及函數(shù)與函數(shù)值的概念.

設計意圖過程階段的五個問題是基于情境提出的，學生在問題的啟發(fā)下初步建立函數(shù)相關概念，并通過不同情境間的聯(lián)系感知函數(shù)“唯一對應”的本質，學生在合作交流中通過觀察、思考與分析，不僅自主抽象出了相應的概念，還進一步發(fā)展了數(shù)學抽象能力.

3. 對象階段——辨析概念

例1判斷下列各式中的變量y是否為x的函數(shù)：①y=3x；②y=x2；③y=x.

例2判斷圖2中各圖象中的變量y是否為x的函數(shù).

探究2以同桌為單位，由一名學生列舉變量為函數(shù)關系的例子，同桌判斷例子的準確性，并明確指出例子中的自變量與函數(shù)，若確定不是函數(shù)關系，則需說明理由. 兩人交換舉例分析. （隨機抽取幾組同桌展示過程）

設計意圖此為對象階段，教師將課堂的主動權交給學生，鼓勵學生結合自身的生活經驗與認知水平舉例，讓學生通過互助的方式深化對函數(shù)概念的理解，從而更深層次掌握函數(shù)的內涵與外延，增強應用意識，提高思辨能力.

4. 圖式階段——應用總結

例3小明從家出發(fā)，走了20分鐘到達了離家800米的公園，在公園散步10分鐘之后用了30分鐘原路返回家，小明與家的距離S與離開家的時間t之間的函數(shù)關系圖象大致為（? ? ?）

變式1小麗家、小剛家、學校位于同一條直路上，小麗從自己家出發(fā)到小剛家結伴一起去學校，而后再一起返回小麗家的過程見圖3，也就是小麗與自己家的距離y和所耗費的時間x之間的關系. 結合圖象，判斷下列說法正確的是（? ?）

A. 小麗花費了25分鐘等小剛

B. 兩人結伴去學校花了30分鐘

C. 小剛家與學校的距離為0.8千米

D. 小麗從學?；丶业乃俣葹?.8千米/分

變式2龜兔賽跑時，兔子開始跑得快，但在中途睡了一覺，被烏龜反超，最后烏龜獲得了勝利. 下列圖象哪個能體現(xiàn)出“龜兔賽跑”的過程？（? ?）

變式3下列曲線（? ?）代表了y為x的函數(shù).

當學生順利解決完以上問題與變式后，師生開始了交流：

師：通過本節(jié)課的學習，請大家說說你們的收獲.

生7：本節(jié)課的學習讓我明確了一個量是否為變量，并結合情境與實例理解了函數(shù)的概念以及兩個變量間“一一對應”的關系.

師：非常好！現(xiàn)在請大家結合導學案與本節(jié)課所探索的內容，以小組為單位畫出知識結構圖.

（學生自主畫圖，教師擇取學生的作品并投影展示，如圖4）

設計意圖圖式階段的主要作用在于整合所學知識，完善知識結構. 因此，基于例題與變式探索，引導學生自主總結歸納，通過對知識結構圖的繪制進一步梳理本節(jié)課所學內容，這種教學方式可進一步發(fā)展學生的整合能力與創(chuàng)新意識.

教學思考

1. 活動階段應注重情境創(chuàng)設

踐行APOS理論的初始環(huán)節(jié)，關鍵在于吸引學生的注意力，激活學生的探索欲. 對于活動情境的創(chuàng)設，可從學生的生活背景與認知經驗出發(fā)，通過恰當?shù)那榫骋饘W生的探索欲. 同時要關注情境與教學內容的關聯(lián)度，避免為了完成任務而創(chuàng)設情境. 本節(jié)課的四個情境是在充分了解學情的基礎上創(chuàng)設的，有效點燃了課堂氣氛，激活了學生的探索欲，為教學奠定了基礎.

2. 過程階段可適當加深難度

過程階段是教學的核心，以促使學生自主抽象概念為目標. 因此，教師的關鍵任務在于深化活動內容，幫助學生抽象并理解概念，讓不同層次認知水平的學生都能通過恰當?shù)幕顒芋w驗概念的形成過程. 同時，適當增加問題的深度還能更好地激發(fā)學生的潛能，提升學生的抽象素養(yǎng).

3. 對象階段需對應概念內涵

此階段關鍵在于提升學生對概念內涵與外延的理解，需引導學生從全方位細化對概念的認識. 為了有效提升學生在此過程中的思維能力，教師可在該環(huán)節(jié)選擇恰當?shù)姆椒◣椭鷮W生鞏固對概念的認識，這對提升學生的數(shù)學推理能力具有無可替代的作用.

4. 圖式階段需注重完善結構

踐行APOS理論的最后一個階段，關鍵在于提升學生的應用與整合能力. 因此，教師可鼓勵學生以分組合作的方式對一節(jié)課的教學內容、研究方法、數(shù)學思想等進行總結歸納. 當然，對不同認知水平的學生可允許用不同的方式進行總結，這也是提升學生創(chuàng)新能力的基礎.

總之，APOS理論應用在概念教學中可從真正意義上優(yōu)化教學操作策略，但在踐行該理念時需結合具體情況進行，而非固定不變的模式. 從該理論的四個階段來看，這是一種不斷完善學生認知結構的理念，對發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要意義.

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃重點課題“新課標背景下APOS理論在初中數(shù)學概念教學中的實踐研究”（B/2022/03/252）. 作者簡介：劉勤鳳（1984—），碩士研究生，中小學高級教師，從事初中數(shù)學教育教學工作.