［摘? 要］ 初中幾何教學(xué)時(shí)，除了要讓學(xué)生學(xué)會(huì)邏輯推理，有時(shí)也要讓學(xué)生注重幾何知識(shí)之間的整體聯(lián)系及幾何研究的基本方式方法，教師要注重幾何知識(shí)之間的整體建構(gòu)，讓學(xué)生在更深層次去了解幾何，使學(xué)生不僅能掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，還能從更高層面去提升數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提升核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 整體建構(gòu)；邏輯推理；數(shù)學(xué)方式；一般到特殊

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對(duì)于某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解. 初中數(shù)學(xué)中的圖形與幾何部分體系成熟，脈絡(luò)清晰，特別是從三角形的研究轉(zhuǎn)到對(duì)四邊形的研究，很適合對(duì)研究思路、內(nèi)容、方法進(jìn)行類(lèi)比整體化建構(gòu)，提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng).

筆者之前參加了張家港市教師發(fā)展中心組織的初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比的比賽，比賽課題是蘇科版教材八年級(jí)下冊(cè)“矩形、菱形、正方形”（第一課時(shí)），現(xiàn)將本課的教學(xué)過(guò)程及筆者對(duì)本課整體化建構(gòu)的思考予以呈現(xiàn).

教學(xué)過(guò)程

1. 數(shù)學(xué)發(fā)展，概念建構(gòu)

問(wèn)題1：我們回望一下前面學(xué)習(xí)的三角形，有一般三角形與特殊三角形，請(qǐng)你動(dòng)手畫(huà)一畫(huà).

追問(wèn)1：從一般三角形怎么得到直角三角形？

學(xué)生1：在一般三角形的基礎(chǔ)上增加一個(gè)條件，讓其中一個(gè)內(nèi)角等于90°.

追問(wèn)2：從一般三角形怎么得到等腰三角形？

學(xué)生2：在一般三角形的基礎(chǔ)上增加兩條邊相等，這樣就得到了等腰三角形.

教師：讓一般三角形的邊或角具有特殊的數(shù)量關(guān)系，就會(huì)呈現(xiàn)我們要研究的特殊三角形，這是我們數(shù)學(xué)上研究幾何圖形的一般過(guò)程（如圖1）.

問(wèn)題2：我們?cè)谘芯苛似叫兴倪呅沃?，接下?lái)應(yīng)該研究什么圖形？

學(xué)生3：如果把平行四邊形的邊或角的數(shù)量關(guān)系特殊化，就可以得到今天我們要研究的圖形.

追問(wèn)3：你能類(lèi)比圖1三角形的研究過(guò)程動(dòng)手畫(huà)一下平行四邊形的研究路線圖嗎？

（學(xué)生獨(dú)立完成后組內(nèi)討論，小組代表展示成果，如圖2）

教師：本課考慮對(duì)平行四邊形的角特殊化進(jìn)行研究，想一想，我們把平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角特殊化之后，這個(gè)特殊的平行四邊形我們認(rèn)識(shí)嗎？

學(xué)生4：這是小學(xué)學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形.

教師補(bǔ)充：在中國(guó)的傳統(tǒng)文化中有“矩為方之器”“矩不正，不可為方”的古語(yǔ)，其中的“矩”是古代畫(huà)直角的一種工具，到了初中我們會(huì)把小學(xué)學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形換一種叫法——矩形. 這是比較專(zhuān)業(yè)的叫法，也是本節(jié)課要研究的幾何對(duì)象.

教學(xué)思考：獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)的石黑一雄說(shuō)過(guò)：人不應(yīng)該那么快就忘記以前的知識(shí)，應(yīng)該時(shí)不時(shí)地看看過(guò)去，才能更好地認(rèn)識(shí)事物［1］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一樣的，本部分回望前面三角形知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，從一般三角形到等腰三角形、直角三角形，認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象的研究思路，通過(guò)自己畫(huà)平行四邊形的研究路線圖來(lái)感悟從一般到特殊的研究數(shù)學(xué)圖形的思想方法，進(jìn)而提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理性認(rèn)識(shí). 今天所學(xué)也是類(lèi)比三角形研究過(guò)程去研究特殊的平行四邊形，讓學(xué)生感受到幾何上的數(shù)學(xué)思維前后是具有共通性的，有規(guī)律可循，既有利于促進(jìn)學(xué)生的思維遷移能力提升，也有利于學(xué)生將這種經(jīng)驗(yàn)形成一種慣性幫助其建構(gòu)其他的數(shù)學(xué)知識(shí). 同時(shí)，通過(guò)教師講述“矩”的古時(shí)含義讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的魅力，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)自己國(guó)家文化的認(rèn)同感，提升文化自信.

2. 課堂生長(zhǎng)，多維思考

問(wèn)題3：我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)的平行四邊形是如何研究的？

學(xué)生5：先學(xué)平行四邊形的定義、表示方法，再學(xué)平行四邊形的性質(zhì)，然后是平行四邊形的判定，最后是應(yīng)用.

教師補(bǔ)充：我們本節(jié)課要研究的矩形和前面學(xué)習(xí)的平行四邊形的過(guò)程是一致的，不光是矩形，很多幾何圖形的研究也是這個(gè)過(guò)程，即研究定義、表示方法、性質(zhì)、判定、應(yīng)用.

追問(wèn)1：矩形的定義應(yīng)該是什么呢？

學(xué)生6：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫作矩形.

追問(wèn)2：矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，它還具有哪些特殊的性質(zhì)呢？請(qǐng)你用簡(jiǎn)潔的文字語(yǔ)言表達(dá)一下.

活動(dòng)1：請(qǐng)各小組討論研究矩形的性質(zhì)，并將研究結(jié)果整理好上臺(tái)交流.

（得到矩形的性質(zhì)可能如下：①矩形的對(duì)邊平行且相等；②矩形的四個(gè)角相等且都等于90度；③矩形的對(duì)角線互相平分且相等；④矩形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形；⑤矩形被兩條對(duì)角線分割成的四個(gè)小三角形是等腰三角形，并且它們的面積相等；……）

追問(wèn)3：你是如何得到矩形的性質(zhì)的？

學(xué)生7：猜想、觀察、度量.

教學(xué)思考：卜以樓說(shuō)，生命的價(jià)值在于成長(zhǎng)，教育的價(jià)值也在于促進(jìn)學(xué)生的內(nèi)生生長(zhǎng)，所以數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值在于提供與學(xué)生內(nèi)生生長(zhǎng)、生命成長(zhǎng)相匹配的正能量. 問(wèn)題3承平行四邊形的學(xué)習(xí)流程啟矩形的學(xué)習(xí)流程，在整體視角下對(duì)矩形的內(nèi)容進(jìn)行了展望. 活動(dòng)1給學(xué)生提供了能夠協(xié)同學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在協(xié)同學(xué)習(xí)中碰撞出不同的思維火花，進(jìn)而在學(xué)生的心中種下用數(shù)學(xué)的方式去看世界的種子. 因此，在交流合作中學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，進(jìn)而內(nèi)化成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 慢慢地，通過(guò)不斷的積累形成學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的任務(wù).

3. 互動(dòng)生成，歸納論證

問(wèn)題4：剛才得到的結(jié)論是否是真命題？怎么辦？

學(xué)生8：可以用幾何推理去驗(yàn)證.

教師：猜想—驗(yàn)證—?dú)w納是數(shù)學(xué)研究中常用的一種思想方法.

活動(dòng)2：請(qǐng)各小組從剛才直觀操作得到的結(jié)論中選擇一條進(jìn)行邏輯推理，并派一個(gè)代表上臺(tái)講述你們小組的推理論證.

追問(wèn)1：這些結(jié)論都是真命題，哪些可以作為矩形的性質(zhì)？

教師補(bǔ)充：幾何圖形的性質(zhì)是組成圖形的基本要素（邊、角）或相關(guān)要素（對(duì)角線）之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系以及圖形的整體對(duì)稱(chēng)性，矩形的性質(zhì)以矩形的對(duì)稱(chēng)性和矩形的邊、角、對(duì)角線之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系為主. 像上面的第5條性質(zhì)一般不作為矩形的一條性質(zhì)，但它是真命題.

學(xué)生9：矩形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形.

學(xué)生10：矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等.

教師：老師用幾何畫(huà)板對(duì)剛才所得的性質(zhì)再次進(jìn)行驗(yàn)證. 驗(yàn)證矩形的四個(gè)角都是直角（如圖3），驗(yàn)證矩形的對(duì)角線相等（如圖4）.

追問(wèn)2：你能把剛才的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言嗎？

學(xué)生11：符號(hào)語(yǔ)言是“因?yàn)榫匦蜛BCD，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°”.

學(xué)生12：符號(hào)語(yǔ)言是“因?yàn)榫匦蜛BCD，所以AC=BD”.

教學(xué)思考：史寧中教授曾提出數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界［2］. 活動(dòng)2讓學(xué)生經(jīng)歷完探索、提煉、歸納后，對(duì)所得到的性質(zhì)進(jìn)行推理驗(yàn)證，提升學(xué)生的邏輯推理能力，筆者還借助幾何畫(huà)板的演示和實(shí)物圖形的運(yùn)動(dòng)方法來(lái)驗(yàn)證矩形的性質(zhì)，由此加深學(xué)生對(duì)矩形性質(zhì)的直觀想象. 這里學(xué)生講解的“生動(dòng)”與教師用幾何畫(huà)板驗(yàn)證的“師動(dòng)”充分讓課堂成為師生共同成長(zhǎng)的地方. 追問(wèn)2把矩形性質(zhì)的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言. 這一流程充分凸顯了用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)圖形性質(zhì)，用數(shù)學(xué)思維去思考圖形問(wèn)題，慢慢地，學(xué)生就會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察這個(gè)世界.

4. 學(xué)生生慧，感悟提升

問(wèn)題5：如圖5，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且AC=2AB，求證：△AOB是等邊三角形.

變式：如圖5，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AB=4 cm，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng).

（教師示范例題，學(xué)生獨(dú)立完成變式）

追問(wèn)1：通過(guò)一個(gè)例題和一個(gè)變式你能說(shuō)說(shuō)運(yùn)用矩形性質(zhì)時(shí)常常與什么圖形有聯(lián)系？

學(xué)生13：等腰三角形和直角三角形.

教師：這和初一學(xué)的多邊形轉(zhuǎn)化成三角形的研究是一脈相承的，矩形也常常轉(zhuǎn)化成特殊三角形來(lái)研究，初中幾何中最基本的圖形就是三角形. 就像方程中的多元方程常常轉(zhuǎn)化成一元方程一樣.

問(wèn)題6：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么感悟？接下來(lái)我們將會(huì)學(xué)什么？如何學(xué)？

學(xué)生14：類(lèi)比，歸納，轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法.

學(xué)生15：接下來(lái)會(huì)學(xué)到矩形的判定.

學(xué)生16：會(huì)類(lèi)比平行四邊形的判定來(lái)學(xué)習(xí)矩形的判定，從邊、角、對(duì)角線來(lái)研究.

學(xué)生17：還會(huì)學(xué)菱形、正方形.

學(xué)生18：我知道會(huì)學(xué)它們的定義、性質(zhì)、判定.

教學(xué)思考：教師通過(guò)對(duì)問(wèn)題5中的例題進(jìn)行講解、板書(shū)、示范傳授本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié). 學(xué)習(xí)知識(shí)的最終目的是要轉(zhuǎn)化為能力，例題作為引領(lǐng)示范的重要環(huán)節(jié)，在教學(xué)過(guò)程中擔(dān)負(fù)著把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的重要使命. 因此，例題的選擇要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、代表性、層次性和發(fā)展性，好的例題，不僅可以加深學(xué)生對(duì)概念、性質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生解題的通性通法，而且還可以加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 追問(wèn)1讓學(xué)生感受到矩形的問(wèn)題常常與等腰三角形或直角三角形有關(guān)，提煉出一般解題的思考方向. 問(wèn)題6可以了解學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況，引導(dǎo)學(xué)生形成本章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，也展望了下節(jié)課要研究的內(nèi)容，使學(xué)生感受幾何教學(xué)的一貫性與整體性，從而提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體建構(gòu)能力.

參賽感悟

章建躍先生指出，高水平的教學(xué)設(shè)計(jì)和好的數(shù)學(xué)教學(xué)必須建立在“三個(gè)理解”的基礎(chǔ)上：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)［3］.

1. 我為什么要到那里去？

知識(shí)整體建構(gòu)的前提是要理解數(shù)學(xué)，要把握需建構(gòu)的數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，特別是對(duì)所建構(gòu)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)精神要有深入的理解. 如本節(jié)課我們研究矩形，作為教師就有必要思考“為什么要研究矩形”的問(wèn)題，如果連教師也不清楚為什么要研究矩形，只告訴學(xué)生這是考試要考的，或是教科書(shū)上這么安排的，那如何讓學(xué)生去理解我們所教的知識(shí)，去喜歡我們所任教的學(xué)科？因此，教師必須理解數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)知識(shí)中包含的數(shù)學(xué)思維，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)中的立德樹(shù)人的價(jià)值觀資源，這樣才能讓學(xué)生逐步以數(shù)學(xué)的眼光去看現(xiàn)實(shí)世界，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的思維去提出問(wèn)題和解決問(wèn)題，最終用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)和這個(gè)世界對(duì)話.

2. 我怎樣才能去那里？

知識(shí)整體建構(gòu)的關(guān)鍵是理解學(xué)生，作為教師就需要換位思考，站在學(xué)生的角度去想，如“小學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)老師教的是長(zhǎng)方形，為什么到了初中就叫矩形”，使學(xué)生正確認(rèn)識(shí)矩形的定義的由來(lái)，理解矩形的定義. 教師還要全面了解學(xué)生的思維規(guī)律. 學(xué)生現(xiàn)在已經(jīng)具備和掌握了哪些相關(guān)的知識(shí)技能和數(shù)學(xué)思想方法，要完成本節(jié)課的建構(gòu)還需要具備哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，這兩者之間的差異就是教師需要去思考的，思考為學(xué)生提供怎樣的臺(tái)階，多少個(gè)臺(tái)階，就可以讓學(xué)生通過(guò)自己的努力去消除這些差異，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)展其潛能，使其達(dá)到教師預(yù)想的目標(biāo)，從而科學(xué)高效地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

3. 我是否到了那里？

知識(shí)整體建構(gòu)的重中之重是理解教學(xué)，數(shù)學(xué)育人價(jià)值的實(shí)現(xiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，都依賴于教師的教學(xué)，比如如何選擇和使用合適的教學(xué)情境，如何安排好教學(xué)時(shí)序，如何精心設(shè)計(jì)有質(zhì)量的問(wèn)題等. 很多時(shí)候教師會(huì)忽略定義、定理的生成過(guò)程，只強(qiáng)調(diào)它們的運(yùn)用過(guò)程. 本節(jié)課如果直接用生活情境引入矩形，給出矩形定義后便進(jìn)入矩形的性質(zhì)和講解習(xí)題，就會(huì)破壞數(shù)學(xué)知識(shí)從發(fā)生到發(fā)展過(guò)程背后的數(shù)學(xué)思維，也會(huì)割裂圖形與幾何中的一般研究思路“從一般到特殊”，使學(xué)生合作探究、獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)大大削減，慢慢地，很多學(xué)生會(huì)陷入被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)中. 數(shù)學(xué)有其學(xué)科特點(diǎn)，以數(shù)學(xué)的方式開(kāi)展教學(xué)，能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)矩形這個(gè)知識(shí)是源于數(shù)學(xué)知識(shí)本身的發(fā)展，或?qū)嶋H生活中確實(shí)有的情景. 本節(jié)課選擇先類(lèi)比對(duì)一般三角形到特殊三角形的研究，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到今天學(xué)的矩形知識(shí)是源于對(duì)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角特殊化，是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的必然. 再類(lèi)比對(duì)平行四邊形性質(zhì)的研究，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到幾何圖形的學(xué)習(xí)總是從邊、角、對(duì)角線等一些基本要素入手，得到與它們有關(guān)的性質(zhì). 最后展望下節(jié)課應(yīng)該研究什么，如何研究？由此讓學(xué)生了解并掌握數(shù)學(xué)上研究幾何圖形的一般套路.

結(jié)束語(yǔ)

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中明確給出了核心素養(yǎng)的概念——“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”. 在2021年全國(guó)兩會(huì)上錫山高級(jí)中學(xué)校長(zhǎng)唐江澎講了這樣一段話：好的教育，就是應(yīng)該是培養(yǎng)終身運(yùn)動(dòng)者、責(zé)任擔(dān)當(dāng)者、問(wèn)題解決者和優(yōu)雅生活者. 筆者作為一名一線教師，也會(huì)對(duì)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行反思：一講到底，按部就班，題海戰(zhàn)術(shù)，擠占時(shí)間，是否還適合現(xiàn)在的時(shí)代和學(xué)生；在數(shù)學(xué)教學(xué)中能不能讓學(xué)生成為一名有責(zé)任的擔(dān)當(dāng)者，一名能用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思想者，一名具有審美能力的品鑒者. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該要從解題教學(xué)向育人教學(xué)轉(zhuǎn)變，通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生成為全面發(fā)展的人，為他們贏得未來(lái)，這是我們努力的方向.

參考文獻(xiàn)：

［1］潘紅玉. 生長(zhǎng)數(shù)學(xué)：新時(shí)代數(shù)學(xué)教育的行為自覺(jué)（續(xù)）——訪本刊編委卜以樓老師［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（05）：2-5.

［2］尤文奕. 以數(shù)學(xué)的方式開(kāi)展新知教學(xué)［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（11）：5-7.

［3］章建躍. 研究三角形的數(shù)學(xué)思維方式［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（04）：1-10.

作者簡(jiǎn)介：張志華（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，市學(xué)科帶頭人，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究.