作者簡(jiǎn)介：趙娣，中國(guó)人民大學(xué)附屬小學(xué)高級(jí)教師。

課題項(xiàng)目：本文系“北京市一體化德育”2023年度課題“一體化德育視域下小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科德育教學(xué)策略與方法的實(shí)踐研究”的階段性研究成果。課題編號(hào)：DYXBEN2023-020。

摘要：量感的建立不是一蹴而就的，它需要慢慢地積累和沉淀。量感的培養(yǎng)是一個(gè)較長(zhǎng)周期的、反復(fù)體驗(yàn)的、不斷矯正的過(guò)程。學(xué)生起始階段對(duì)量的感性認(rèn)識(shí)可能是片面的、不穩(wěn)定的，需要通過(guò)反復(fù)體驗(yàn)來(lái)積累具身經(jīng)驗(yàn)。在實(shí)踐活動(dòng)中，教師要注重度量結(jié)果估測(cè)，拓寬量感邊界。學(xué)生通過(guò)思考圖形特征、感悟度量本質(zhì)、發(fā)展量感后，就能夠真正學(xué)會(huì)在新的復(fù)雜情境中解決新問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：長(zhǎng)方形周長(zhǎng)；圖形特征；度量本質(zhì)；理解遷移

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）明確提出了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，凸顯了課程的育人價(jià)值。新課標(biāo)將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)凝練成“三會(huì)”，同時(shí)還從作為具體內(nèi)容的測(cè)量中提煉出“量感”，并將其納入了核心素養(yǎng)在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)之中，在具體內(nèi)容中的測(cè)量與核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之間建立起聯(lián)系，使測(cè)量除了知識(shí)和技能之外，還能在量感的引導(dǎo)下成為培育“三會(huì)”的重要載體。筆者基于新課程理念，將量感的培養(yǎng)模式提煉如圖1所示。

一、從“二維”到“一維”，進(jìn)行初步直觀感知

量感培養(yǎng)模式可以歸納為：借助生活經(jīng)驗(yàn)，形成感性的量感。通過(guò)量的感性體驗(yàn)，可以用大小、快慢等語(yǔ)言初步表達(dá)量感結(jié)果，該階段的量感更多地保留了本能的色彩，是對(duì)所見(jiàn)所聞籠統(tǒng)地進(jìn)行表達(dá)。此時(shí)，學(xué)生對(duì)生活中的量產(chǎn)生了初步認(rèn)識(shí)，借助感性的量感定性解決問(wèn)題，這種量感結(jié)果多是通過(guò)感官刺激形成的簡(jiǎn)單認(rèn)知，如感知正常行駛中的汽車比自行車要快，雖不精確，但卻是量感生長(zhǎng)的基礎(chǔ)。

【教學(xué)片段1】交流方法，理解周長(zhǎng)本質(zhì)

教師讓學(xué)生在交流中多角度感知圖形的周長(zhǎng)，通過(guò)層層遞進(jìn)，經(jīng)歷抽象過(guò)程，從而理解周長(zhǎng)的本質(zhì)。

師：給小菜地安裝圍欄，圍在哪？怎樣圍？

生：我從起點(diǎn)沿著邊線又回到了起點(diǎn)，圍了菜地（模型）的一圈。

生：我是一段一段，找到了邊線的全部，不多不少，全都給圍了起來(lái)，也是一圈。

生：我發(fā)現(xiàn)大家都圍了小菜地（模型）的一圈。

【分析與思考】層層深入地理解“一周”的數(shù)學(xué)本質(zhì)：（1）圍繞小菜地（模型）的邊緣——明確“邊線”；（2）封閉——沒(méi)有空隙，從起點(diǎn)出發(fā)繞一周回到起點(diǎn)，所有邊線的總和，從“一圈”抽象到“一周”。

【教學(xué)片段2】比較周長(zhǎng)，體會(huì)化曲為直

師：請(qǐng)把這兩塊菜地的一周寫(xiě)到黑板上（一塊橢圓形菜地，一塊長(zhǎng)方形菜地）。

師：它們的一周哪個(gè)更長(zhǎng)一些？

生：可以把其中一個(gè)的一周“取”下來(lái)，繞著另外一個(gè)圍一圈，如果多了就是長(zhǎng)，如果不夠就是短（化曲為直）。

生：可以把橢圓形的一周取下來(lái)，用尺子量一量。長(zhǎng)方形的一周可以直接測(cè)量長(zhǎng)和寬，再進(jìn)行比較（以直代曲）。

生：也可以把兩個(gè)“一周”都取下來(lái)，比比長(zhǎng)短。

師：那現(xiàn)在就請(qǐng)你把兩塊菜地一周的茅根線取下來(lái)，比一比吧。

（學(xué)生沿著一周，將茅根線取下來(lái)拉直，進(jìn)行比較操作）

師：看，剛剛還是彎曲的線，現(xiàn)在已經(jīng)？

生：（齊答）變直了。

師：這正體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)思想，叫“化曲為直”。

【分析與思考】學(xué)生經(jīng)歷實(shí)物操作→形象感知→抽象概念的過(guò)程，進(jìn)一步理解“封閉圖形一周的長(zhǎng)度是它的周長(zhǎng)”。由生活中的書(shū)畫(huà)作品抽象到平面圖形，鞏固“一周”的直觀表象。通過(guò)交流討論后，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形、正方形等直邊圖形的周長(zhǎng)可以用直尺測(cè)量，但是不規(guī)則圖形則需要采用“化曲為直”的方法來(lái)測(cè)量周長(zhǎng)。通過(guò)這些操作，學(xué)生能感悟到平面圖形周長(zhǎng)的本質(zhì)——“周”只是前提，而“長(zhǎng)”才是本質(zhì)。

二、多種方法類比和遷移，建立理性認(rèn)知

在感性經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生借助量的理性感知將感性的量感升華為理性的量感，通過(guò)量的測(cè)量判斷、量的單位轉(zhuǎn)換、量的計(jì)算應(yīng)用，以“數(shù)字+度量單位”的方式科學(xué)表達(dá)單一物理量的感知結(jié)果。理性量感的形成更多依賴于學(xué)生在學(xué)校中接受的數(shù)學(xué)教育，其關(guān)鍵在于學(xué)生領(lǐng)悟如何借助度量單位感知、思考、表述自身的量感結(jié)果。此時(shí)，學(xué)生可合理使用測(cè)量工具進(jìn)行目標(biāo)物理量的測(cè)量或估測(cè)，通過(guò)單位換算找到最合理的輸出結(jié)果。理性的量感局限性在于學(xué)生只能關(guān)注情境中單一維度的量，難以把握不同維度量之間的客觀聯(lián)系。

【教學(xué)片段3】鏈接生活與數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題

播放“校園里美麗的秋景”小視頻，學(xué)生觀看學(xué)校的美麗景色，關(guān)注到小菜地的圍欄有破損問(wèn)題（見(jiàn)圖2）。

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-29.psd>

圖2 校園里美麗的秋景（視頻截圖）

師：要給小菜地更換圍欄，你想研究哪些問(wèn)題？

生：只有知道周長(zhǎng)，才能知道需要買多長(zhǎng)的圍擋，即要求出小菜地的周長(zhǎng)是多少？

生：需要測(cè)量所有圖形的周長(zhǎng)嗎？

生：需要，而且需要進(jìn)行實(shí)地測(cè)量。

生：要計(jì)算出一共要購(gòu)買多長(zhǎng)的木板，就要量出每一塊小菜地的周長(zhǎng)，加起來(lái)就是需要購(gòu)買的木板的長(zhǎng)度。

生：不用量所有的邊，有的圖形量一部分就行。

【分析與思考】從學(xué)生熟悉的場(chǎng)景引入，以真實(shí)情境引發(fā)真實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，產(chǎn)生測(cè)量周長(zhǎng)的需求。學(xué)生圍繞周長(zhǎng)概念及圖形特征進(jìn)行補(bǔ)充與質(zhì)疑，由此實(shí)現(xiàn)了思維從“形象”向“抽象”的過(guò)渡，加深了對(duì)周長(zhǎng)概念的理解，發(fā)展了量感，實(shí)現(xiàn)了思維進(jìn)階。

【教學(xué)片段4】探索長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的測(cè)量計(jì)算方法

師：接下來(lái)，我們一起交流如何求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

生：我量了長(zhǎng)方形4條邊的長(zhǎng)度，再加起來(lái)，列式是7 + 3 + 7 + 3 = 20（厘米）。

生：我的想法和你不同，因?yàn)殚L(zhǎng)方形對(duì)邊相等，所以只需要量出一條長(zhǎng)和一條寬就可以了。長(zhǎng)7厘米，寬3厘米，我的列式是7 × 2 + 3 × 2 = 20（厘米）。

生：我還想補(bǔ)充，因?yàn)殚L(zhǎng)方形對(duì)邊相等，我把一條長(zhǎng)和一條寬這兩條邊看成一組，就是7 + 3，有這樣的兩組，我的列式是（7 + 3） × 2 = 20（厘米）。

師：仔細(xì)觀察這些計(jì)算周長(zhǎng)的方法，它們有什么不同？又有什么相同？

生：他們計(jì)算的方法不同，第一位同學(xué)認(rèn)為長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就是一條邊一條邊逐一相加就行了；第二位同學(xué)是運(yùn)用長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的特征思考的，兩條長(zhǎng)相等，寫(xiě)成了7 × 2；兩條寬相等，就是3 × 2；第三位同學(xué)看到了一個(gè)長(zhǎng)方形中有2組長(zhǎng)和寬，就是（7 + 3） × 2。

生：他們的方法也有相同之處，不管是一條邊一條邊累加，還是用兩個(gè)長(zhǎng)加兩個(gè)寬，還是先求一個(gè)長(zhǎng)和一個(gè)寬的長(zhǎng)度，再乘以2，求2組長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度，都是在求長(zhǎng)方形這四條邊的總長(zhǎng)度，求出來(lái)的都是這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

師：你們總結(jié)得很好，看來(lái)，方法不同是由于我們看待圖形的角度不同，但相同的是我們都在計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

【分析與思考】活動(dòng)中提出“計(jì)算長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的方法有什么不同？又有什么相同？”這一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，旨在讓學(xué)生感受圖形認(rèn)識(shí)是度量的基礎(chǔ)，同時(shí)從度量角度又可以使學(xué)生加深對(duì)圖形特征的認(rèn)識(shí)。研究長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)也使學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形的刻畫(huà)又多了一個(gè)維度。從學(xué)生對(duì)“不同”與“相同”兩個(gè)角度的回答，也能看到學(xué)生從度量的角度不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖形特征的再認(rèn)識(shí)，也由此積累了由圖形特征出發(fā)去思考如何求周長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)片段5】遷移解決其他圖形周長(zhǎng)的測(cè)量計(jì)算方法

師：根據(jù)我們已研究的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)和思考，剩下這些圖形的周長(zhǎng)，你們打算怎么研究？

小組合作要求：（1）先思考怎樣能很快得到其他圖形的周長(zhǎng)；（2）分享時(shí)說(shuō)清楚你們是怎么做的，研究的是哪個(gè)圖形，方法是什么。

學(xué)生小組合作進(jìn)行研究后匯報(bào)（見(jiàn)圖3）。

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-30.psd>

圖3 學(xué)生匯報(bào)結(jié)果

生：三角形和六邊形這兩個(gè)圖形的每條邊長(zhǎng)度是一樣的，可以只測(cè)量一條邊。

生：我能說(shuō)得更清楚，這個(gè)圖形是等邊三角形，這個(gè)圖形是正六邊形，計(jì)算這個(gè)兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)和正方形一樣，就是只測(cè)量一條邊。等邊三角形的周長(zhǎng)可用一條邊的長(zhǎng)度乘3，正六邊形的周長(zhǎng)可用一條邊的長(zhǎng)度乘6。平行四邊形的周長(zhǎng)和長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算方法也是一樣，都是對(duì)邊相等，可以分組計(jì)算周長(zhǎng)。

生：我發(fā)現(xiàn)所有的圖形都可以把它所有的邊加起來(lái)求和，但是這種方法有點(diǎn)慢，能觀察出一個(gè)圖形的特點(diǎn)很重要。如果我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)圖形每條邊的長(zhǎng)度都一樣，為了加快速度，可以只測(cè)量一條邊，有幾條這樣的邊就乘幾，這種方法最快；有的圖形可以將邊根據(jù)長(zhǎng)短分組計(jì)算周長(zhǎng)，只需要測(cè)量出圖形一組的邊長(zhǎng)，有這樣的幾組就乘幾。

【分析與思考】通過(guò)交流討論，學(xué)生把探究長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)遷移到解決其他圖形的周長(zhǎng)中。在探究的過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)圖形的特征自覺(jué)把多個(gè)圖形按照?qǐng)D形的特征進(jìn)行歸類分析，發(fā)展了遷移、類比、歸納的能力。同時(shí)，這一過(guò)程也深化了學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念的理解。

在研究小菜地其他圖形的周長(zhǎng)時(shí)，教師最初的設(shè)計(jì)方案是帶著學(xué)生進(jìn)行歸類整理，但這樣學(xué)生感悟不深，因?yàn)檫@些不是他們自己發(fā)現(xiàn)的。改成小組合作后，小組成員在交流的過(guò)程中思維不斷碰撞，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生借助幾何直觀，進(jìn)一步觀察到圖形數(shù)的特征，從而做到自主分類，經(jīng)歷了感悟的過(guò)程。對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，圖形按照特征來(lái)測(cè)量這件事，不是一節(jié)課就可以掌握的，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中還要不斷培養(yǎng)這種遷移、類比的能力，真正實(shí)現(xiàn)在新的復(fù)雜情境中解決新問(wèn)題。

三、實(shí)施探究實(shí)踐，形成推理應(yīng)用

在理性量感的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助量的合理辨析、量的測(cè)量判斷形成辨析量感。例如，學(xué)生可以用一個(gè)重量為1千克，且體積為1立方分米的物體，綜合表達(dá)多種物理量的量感結(jié)果。辨析量感是學(xué)生量感發(fā)展的高級(jí)階段，其形成依賴于課堂教學(xué)以及應(yīng)用實(shí)踐兩個(gè)方面。學(xué)生在具備理性的量感基礎(chǔ)上，通過(guò)多次練習(xí)以及解決實(shí)際問(wèn)題，可以逐7c3f6e641f9921070acb3aab005e3cf8676967ed3188cd92b23655f2a27d3660漸發(fā)現(xiàn)物理量之間的聯(lián)系，在教師的指導(dǎo)下嘗試用理性的量感去概括這種聯(lián)系的本質(zhì)，并嘗試用聯(lián)系的觀點(diǎn)創(chuàng)造性地解決情境中的量感問(wèn)題。同時(shí)，逐步厘清不同維度物理量的區(qū)別與聯(lián)系是理性量感進(jìn)一步升華的方向。

【活動(dòng)任務(wù)】

（1）測(cè)量學(xué)校里百年長(zhǎng)廊的柱子、大樹(shù)或操場(chǎng)的一圈大約有多長(zhǎng)；

（2）在校園里再選擇一個(gè)你感興趣的物體的周長(zhǎng)量一量。

【議一議】

（1）組內(nèi)互相說(shuō)一說(shuō)，可能有哪些測(cè)量方法，你們準(zhǔn)備用哪種？

（2）討論如何進(jìn)行周長(zhǎng)的測(cè)量，從哪里開(kāi)始測(cè)，到哪里結(jié)束？

（3）活動(dòng)時(shí)需要選擇哪些測(cè)量工具，記錄哪些測(cè)量數(shù)據(jù)？

（4）小組內(nèi)如何分工合作？

【做一做】

實(shí)際進(jìn)行測(cè)量，并填寫(xiě)小組活動(dòng)記錄單（見(jiàn)表1）。

表1 小組活動(dòng)記錄單

[測(cè)量對(duì)象 測(cè)量方法 測(cè)量過(guò)程 測(cè)量結(jié)果 操場(chǎng)一圈長(zhǎng)度 步測(cè) 用尺子量出一步的長(zhǎng)度是（ ）厘米 （ ）米 ]

【想一想】

（1）在上面的活動(dòng)中，使用了哪些測(cè)量的方法？這些方法還可以用到哪里？

（2）選擇的測(cè)量工具有哪些？在使用它們的過(guò)程中需要注意什么？

（3）記錄了哪些數(shù)據(jù)？這些數(shù)據(jù)在今后什么地方可能用到？

（4）在上面的活動(dòng)中，你有什么收獲？你還想進(jìn)一步研究哪些問(wèn)題？

【自我評(píng)價(jià)】

對(duì)自己在這次活動(dòng)中的表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)（見(jiàn)表2）。

表2 活動(dòng)評(píng)價(jià)

[能找到合適的測(cè)量方法 ☆ ☆☆ ☆☆☆ 能找到測(cè)量的位置 ☆ ☆☆ ☆☆☆ 會(huì)選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ?☆ ☆☆ ☆☆☆ 小組內(nèi)能合理分工 ☆ ☆☆ ☆☆☆ 測(cè)量結(jié)果比較合理 ☆ ☆☆ ☆☆☆ ]

量感的建立不是一蹴而就的，它需要慢慢地積累和沉淀。在實(shí)踐活動(dòng)中，教師要注重度量結(jié)果估測(cè)，拓寬量感邊界。對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，將圖形按照特征來(lái)測(cè)量這個(gè)能力，不是一節(jié)課可以習(xí)得的，教師還需要在后續(xù)的教學(xué)中不斷培養(yǎng)學(xué)生這種遷移、類比的能力。學(xué)生通過(guò)思考圖形特征、感悟度量本質(zhì)、發(fā)展量感后，就能夠真正學(xué)會(huì)在新的復(fù)雜情境中解決新問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

［1］孫曉天，張丹.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀 小學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2022.

［2］娜仁格日樂(lè)，史寧中.度量單位的本質(zhì)及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018（6）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）