作者簡(jiǎn)介：金盈，遼寧教育學(xué)院高中數(shù)學(xué)教研員，高級(jí)教師。

課題項(xiàng)目：本文系遼寧省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的研究”的階段性研究成果。課題編號(hào)：JG21CB220。

摘要：學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)科教育在落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育中的重要指標(biāo)，是學(xué)科育人價(jià)值的集中體現(xiàn)。高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)這一部分內(nèi)容中，要求培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)目標(biāo)是數(shù)據(jù)分析。教師在課堂教學(xué)過(guò)程中應(yīng)結(jié)合學(xué)情，合理創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，設(shè)計(jì)豐富的教學(xué)活動(dòng)，貫穿概率與統(tǒng)計(jì)的思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)課程育人的價(jià)值。

關(guān)鍵詞：課程育人； 核心素養(yǎng)；概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)

核心素養(yǎng)是完整的育人目標(biāo)體系。從抽象到具體，它可以分為三層：頂層是教育目的，中層是學(xué)科育人目標(biāo)，底層是課堂教學(xué)目標(biāo)，這三層自上而下不斷具體化、抽象化，構(gòu)成了課程育人的完整框架，也體現(xiàn)了課程育人的復(fù)雜性與專(zhuān)業(yè)性。筆者從課程育人的角度出發(fā)，以“用樣本估計(jì)總體”一課為例，以問(wèn)題為導(dǎo)向，闡述如何以課程為載體，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)，進(jìn)而達(dá)到學(xué)科育人的目的。

一、在概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)中體現(xiàn)課程育人價(jià)值

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出，要通過(guò)概率與統(tǒng)計(jì)部分的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。其中，數(shù)據(jù)分析對(duì)課程育人的價(jià)值尤為突出，具體體現(xiàn)在三個(gè)方面。

一是學(xué)生應(yīng)具備從真實(shí)的問(wèn)題情境中主動(dòng)獲取信息的能力，并且根據(jù)解決問(wèn)題的目標(biāo)對(duì)提取的信息進(jìn)行有效的分析整理。數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)，要讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)據(jù)”與“數(shù)”的含義是完全不同的。例如，“6”是一個(gè)數(shù)字，但是在具體問(wèn)題中被賦予具體的含義，用“6”表示某個(gè)小朋友的年齡，那么它就成為一個(gè)數(shù)據(jù)。教材在章節(jié)起始就給出了大量真實(shí)案例中的具體數(shù)據(jù)，讓學(xué)生感知其真實(shí)含義，這是與其他章節(jié)完全不同的，教師要認(rèn)真體會(huì)其中的含義。獲取和整理信息過(guò)程中還要注意培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)意識(shí)及信息的有效性。

二是根據(jù)數(shù)據(jù)分析的結(jié)果推斷事物的整體，認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)。落實(shí)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的過(guò)程，實(shí)際上就是提升學(xué)生“四能”（發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題），落實(shí)“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界）的過(guò)程。數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的主要方法，研究的目的是將其結(jié)論應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，這也是信息時(shí)代大數(shù)據(jù)應(yīng)用的主要方法。

三是初步形成統(tǒng)計(jì)學(xué)獨(dú)有的思維品質(zhì)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)不同于其他的學(xué)科素養(yǎng)，具有獨(dú)特性。一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決都具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评磉^(guò)程，屬于演繹推理，而數(shù)據(jù)分析具有不確定性，沒(méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，屬于經(jīng)驗(yàn)推理，但這與數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性與準(zhǔn)確性并不相悖。

二、概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)實(shí)踐研究

“用樣本估計(jì)總體”一課為人教B版高中數(shù)學(xué)必修教材第二冊(cè)第五章“用樣本估計(jì)總體”的第一課時(shí)。具體教學(xué)內(nèi)容為：結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)，理解集中參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義；結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義；結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律等。

（一）教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

1.通過(guò)實(shí)例，學(xué)生能夠體驗(yàn)有效收集、整理和分析數(shù)據(jù)的過(guò)程，感受用樣本估計(jì)總體的合理性和必要性，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異。

2.通過(guò)探究學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果作出合理判斷和推測(cè)，會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

3.學(xué)生能夠借助計(jì)算器計(jì)算樣本的平均數(shù)和方差，體驗(yàn)在兩種不同的抽樣方法下不同的估計(jì)方式。

（二）學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了抽樣方法和樣本分析，具備了一定的統(tǒng)計(jì)意識(shí)、數(shù)據(jù)感悟和初步數(shù)據(jù)分析能力。本節(jié)課主要研究如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估算總體的信息，理解用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征的合理性和必要性，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異。“用樣本估計(jì)總體”共分為兩個(gè)課時(shí)：第一個(gè)課時(shí)是用樣本中的數(shù)字特征分析總體的數(shù)字特征，運(yùn)用數(shù)據(jù)分析即可完成，如計(jì)算平均數(shù)和方差等；第二個(gè)課時(shí)是用樣本的分布估計(jì)總體的分布。

本節(jié)課的難點(diǎn)是對(duì)用樣本估計(jì)總體的必要性和合理性的理解，樣本容量并不是越大越準(zhǔn)確，而是準(zhǔn)確的可能性越大，而且當(dāng)抽樣方法不同時(shí)，如采用分層抽樣抽取樣本時(shí)，為了讓估計(jì)更有效，可以充分利用各層樣本的數(shù)字特征去估計(jì)總體。

（三）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

教師創(chuàng)設(shè)新聞情境：大數(shù)據(jù)的應(yīng)用以大數(shù)據(jù)分析為基礎(chǔ)，為生產(chǎn)生活提供決策參考。

（1）電商領(lǐng)域：精準(zhǔn)廣告推送，個(gè)性化推薦；

（2）傳媒領(lǐng)域：精準(zhǔn)營(yíng)銷(xiāo)，直達(dá)目標(biāo)客戶群體；

（3）金融領(lǐng)域：根據(jù)客戶的行為大數(shù)據(jù)，綜合評(píng)估出客戶端信用；

（4）交通領(lǐng)域：根據(jù)司機(jī)出行規(guī)劃，準(zhǔn)確判斷哪里是擁堵的，進(jìn)而給出優(yōu)化的出行路線；

（5）電信領(lǐng)域：電信基站選址優(yōu)化，就是利用了電信用戶位置的大數(shù)據(jù)；

（6）安防領(lǐng)域：通過(guò)大量犯罪細(xì)節(jié)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、總結(jié)，從而得出犯罪特征，進(jìn)而預(yù)防犯罪，還有天網(wǎng)監(jiān)控等也是大數(shù)據(jù)應(yīng)用的具體案例；

（7）醫(yī)療領(lǐng)域：智慧醫(yī)療，通過(guò)某種典型病例的大數(shù)據(jù)，可以得出該病例的最優(yōu)療法等。

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)情境可讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)分析在生活中的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)用樣本估計(jì)總體的興趣，同時(shí)感受用樣本估計(jì)總體的必要性。

2.借助統(tǒng)計(jì)信息，感受用樣本估計(jì)總體的合理性

【環(huán)節(jié)一】提出問(wèn)題

對(duì)比分析國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站上給出的人口普查和抽查調(diào)查中的數(shù)據(jù)（如平均壽命、平均住房和受教育程度等）。設(shè)問(wèn)：你認(rèn)為用樣本估計(jì)總體合理嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】在人口普查和抽查調(diào)查的背景下進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，引入新知。

【環(huán)節(jié)二】動(dòng)手實(shí)踐

選取教材中給出的具體實(shí)例作為引例：某學(xué)校高一年級(jí)98位學(xué)生的身高數(shù)據(jù)，每個(gè)小組的同學(xué)在總體中抽取一個(gè)樣本。設(shè)問(wèn)：抽樣的方法是什么？抽取的樣本容量是多少？得到了樣本的哪些數(shù)字特征？（見(jiàn)圖1，學(xué)生使用計(jì)算器完成）

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-34.psd>[以下是某學(xué)校高一年級(jí)98位學(xué)生的身高（單位：cm）：

161 168 166 168 152 152 163 164 170 167 143 166 153 165

168 167 163 157 160 159 153 169 172 175 165 161 158 172

147 164 171 149 158 155 169 150 173 170 162 157 152 180

178 158 162 161 172 165 165 155 163 178 159 168 161 151

166 168 165 158 162 165 163 166 174 163 163 175 165 160

161 177 163 170 155 156 161 169 167 151 156 158 165 179

161 176 162 168 153 169 155 165 163 166 172 160 173 164

已知這組數(shù)的總體平均數(shù)為163.5，總體方差為56.3。

用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取容量為10的樣本3次。分別計(jì)算樣本平均數(shù)與樣本方差，并與總體對(duì)應(yīng)的組進(jìn)行比較。][情境與問(wèn)題]

圖1 教材中的數(shù)據(jù)實(shí)例

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)例，學(xué)生自由抽取樣本，利用手持計(jì)算器計(jì)算相關(guān)數(shù)字，總結(jié)其特征，真正體驗(yàn)有效收集、整理和分析數(shù)據(jù)的過(guò)程。

【環(huán)節(jié)三】合作探究

小組成果展示：說(shuō)明本小組采用的抽樣方法以及樣本容量的大??；根據(jù)本組計(jì)算的數(shù)字特征結(jié)果和總體數(shù)字特征進(jìn)行簡(jiǎn)單比較。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組合作，學(xué)生可以更直觀地感受到誤差的存在以及樣本的隨機(jī)性。

【環(huán)節(jié)四】發(fā)現(xiàn)結(jié)論

每個(gè)小組利用圖形計(jì)算器計(jì)算引例中容量為10的三組樣本的平均數(shù)和方差，將結(jié)果和總體數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。為了更直觀地觀測(cè)誤差，教師引導(dǎo)學(xué)生利用柱狀圖展示平均數(shù)和方差，師生共同得出結(jié)論：樣本數(shù)字特征和總體存在誤差。設(shè)問(wèn)：如何看待誤差？

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比、思考、分析，得出結(jié)論：在允許一定誤差存在的前提下，可以用樣本的數(shù)字特征去估計(jì)總體的數(shù)字特征?！罢`差可以存在”是統(tǒng)計(jì)獨(dú)有的魅力。若總體平均數(shù)記為[μ]，樣本均值記為[x]，則[μ>x，μ=x，μ<x]都有可能。當(dāng)樣本容量越來(lái)越大時(shí)，估計(jì)的誤差很小的可能性越來(lái)越大。值得注意的是：不是容量越大就越準(zhǔn)確，是準(zhǔn)確的可能性越大，所以我們用樣本估計(jì)總體是可行且合理的。

根據(jù)學(xué)生小組合作過(guò)程及展示的成果，教師適時(shí)加以引導(dǎo)，一方面，抽樣方法要合理、樣本容量要恰當(dāng)；另一方面，計(jì)算樣本數(shù)字特征可以從刻畫(huà)集中趨勢(shì)和離散程度兩個(gè)方面加以考慮，如平均數(shù)和方差。

【設(shè)計(jì)意圖】從數(shù)據(jù)分析入手，學(xué)生經(jīng)歷了用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的合理性，即從質(zhì)疑到理解的過(guò)程，體會(huì)了統(tǒng)計(jì)思想。通過(guò)計(jì)算，能夠用統(tǒng)計(jì)思維來(lái)分析問(wèn)題的隨機(jī)現(xiàn)象，感受到統(tǒng)計(jì)結(jié)果并不是通過(guò)準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)測(cè)量而得到的。

【環(huán)節(jié)五】思維拓展

教師提出問(wèn)題：生物學(xué)中的統(tǒng)計(jì)常采用分層抽樣的方法抽取樣本，這樣抽取的樣本如何合理利用數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征（見(jiàn)圖2）？

<E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-8.psd><E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-10.psd><E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-11.psd><E：＼2023田田＼7-20＼遼寧教育·教研版202407＼LJ24-13-9.psd>

圖2 利用數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征

學(xué)生小組合作探究：通過(guò)教材“嘗試與發(fā)現(xiàn)”欄目中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生用探究分層抽樣方法抽取樣本時(shí)，如何利用每一層的樣本數(shù)字特征去估計(jì)總體數(shù)字特征，尋找讓誤差很小的可能性越來(lái)越大，準(zhǔn)確的可能性越來(lái)越大的方法。設(shè)問(wèn)：若選擇男生（或女生）樣本的平均數(shù)和方差作為估計(jì)總體的對(duì)應(yīng)值可以嗎？用分層抽樣獲得每一層樣本的數(shù)字特征時(shí)，該怎樣估計(jì)總體的數(shù)字特征呢？

學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)的平均數(shù)和方差公式，很容易得到總樣本均值，但是，由于沒(méi)有個(gè)體真實(shí)數(shù)據(jù)，無(wú)法直接計(jì)算，借助統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)中總樣本均值和總樣本方差公式可以求出。

假設(shè)第一層有[m]個(gè)數(shù)，分別為[x1]，[x2]，…，[xm]，平均數(shù)為[x]，方差為[s2]；第二層有[n]個(gè)數(shù)，分別為[y1]，[y2]，…，[yn]，平均數(shù)為[y]，方差為[t2]，則[x=1mi=1mxi]，[s2=1mi=1m（xi-x）2]，[y=1ni=1nyi]，[t2=1ni=1n（yi-y）2]。

如果記樣本均值為[a]，樣本方差為b2，則可以計(jì)算出[a=1m+n（i=1mxi+i=1nyi）=mx+nym+n]，

[b2=m[s2+（x-a）2]+n[t2+（y-a）2]m+n=1m+n[（ms2+nt2）+mnm+n（x-y）2]]。

對(duì)比兩個(gè)總樣本均值公式的不同，用“嘗試與發(fā)現(xiàn)”中的實(shí)例檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果差距不大。根據(jù)課堂學(xué)習(xí)情況，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)猜想若分三層抽取樣本，上述公式會(huì)發(fā)生哪些變化？并在課后對(duì)猜想的公式加以推導(dǎo)證明。

教師小結(jié)：當(dāng)我們用分層抽樣得到樣本時(shí)，既可以是各層數(shù)據(jù)集中在一起計(jì)算樣本均值與樣本方差，也可以去考慮整個(gè)樣本的數(shù)字特征與每一層的數(shù)字特征之間的關(guān)系，后者在大數(shù)據(jù)時(shí)代的并行計(jì)算中經(jīng)常使用。

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)分層抽樣樣本數(shù)據(jù)的處理方法和最后得出的公式，只讓學(xué)生感悟到其中的思想即可，一定要避免把重心放在公式的推導(dǎo)及計(jì)算上。通過(guò)多角度研究估計(jì)方法，在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)提出問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生深入思考，感受抽樣方法不同時(shí)，估計(jì)的差異性，讓學(xué)生通過(guò)思考獲得解決問(wèn)題的途徑和經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)科學(xué)探究精神。

3.設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)，應(yīng)用新知，深化目標(biāo)

【探究活動(dòng)】以全班學(xué)生體重作為總體，小組成員體重作為樣本，讓學(xué)生進(jìn)行“用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征”的實(shí)踐活動(dòng)，完成活動(dòng)記錄表并進(jìn)行展示。

教師先展示總體數(shù)字特征，如平均數(shù)和方差。學(xué)生小組活動(dòng)后，教師再引導(dǎo)學(xué)生利用圖形計(jì)算器與計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)得到各小組的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和數(shù)字特征。最后，學(xué)生利用實(shí)物展臺(tái)展示活動(dòng)記錄表，做活動(dòng)總結(jié)。

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)找出學(xué)生感興趣的話題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生在活動(dòng)中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程。學(xué)生可根據(jù)實(shí)際情況真正學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)說(shuō)話，推斷統(tǒng)計(jì)結(jié)果，養(yǎng)成數(shù)據(jù)分析的習(xí)慣，為今后的數(shù)學(xué)課題研究積累經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

【課后作業(yè)】若以班級(jí)物理成績(jī)作為樣本，學(xué)校物理成績(jī)作為總體，想快速了解學(xué)校是否有80%的同學(xué)物理及格，則怎樣用樣本的數(shù)字特征去估計(jì)總體的數(shù)字特征呢？若想了解全校同學(xué)鞋號(hào)分布情況呢？若想了解年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)第一名和物理第一名誰(shuí)發(fā)揮得更穩(wěn)定呢？根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，除了利用數(shù)字特征，還有哪些角度可以用樣本情況去估計(jì)總體情況呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)課后作業(yè)，發(fā)散數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)思維，回顧所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系、對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化的辯證思想，滲透統(tǒng)計(jì)思想，使學(xué)生提升應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)，達(dá)到知識(shí)遷移的目的。

綜上所述，數(shù)據(jù)分析是源于實(shí)際問(wèn)題而集統(tǒng)計(jì)思想、方法、理論和決策于一體的思維活動(dòng)過(guò)程。數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)是在針對(duì)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題獲得數(shù)據(jù)的分析過(guò)程中形成的。作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)據(jù)分析，主要體現(xiàn)在從實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，再由數(shù)據(jù)到知識(shí)形成的全過(guò)程中。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用概率與統(tǒng)計(jì)的思想發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題，這是貫穿始終的教學(xué)目標(biāo)。而總體與樣本是這條主線中的核心概念，總體是統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象，樣本是揭示總體規(guī)律的手段。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）