作者簡介：丁云（1973～），男，漢族，安徽蚌埠人，安徽省五河縣第三中學(xué)，研究方向：滬科版初中數(shù)學(xué)。

摘 要：本研究旨在探討分類討論思想在初中二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題教學(xué)中的應(yīng)用，文章分析二次函數(shù)與等腰三角形的性質(zhì)及結(jié)合問題的類型，提出了一套分類討論思想的教學(xué)模式，包括教學(xué)目標(biāo)設(shè)定、教學(xué)內(nèi)容安排、教學(xué)方法選擇和教學(xué)評價設(shè)計。在此模式下，教師應(yīng)設(shè)定明確的教學(xué)目標(biāo)，合理安排教學(xué)內(nèi)容，選擇合適的教學(xué)方法，以取得最佳的教學(xué)成果。實踐結(jié)果表明，運用分類討論思想進(jìn)行教學(xué)有助于提高學(xué)生解決問題的能力，提升他們的數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；二次函數(shù)；等腰三角形；教學(xué)模式；問題解決能力

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8918（2024）27-0064-04

隨著時代的發(fā)展和我國教育事業(yè)的不斷進(jìn)步，人們對教育的期望和要求也越來越高。在這個過程中，初中數(shù)學(xué)教育同樣面臨著諸多挑戰(zhàn)。首先，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差異較大，整體的教學(xué)質(zhì)量難以保證。其次，傳統(tǒng)的教學(xué)模式過于注重知識的傳授，忽視了學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)。最后，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容較為抽象，學(xué)生缺乏實踐操作的機(jī)會，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣和積極性不高。因此，如何提高初中數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的解決問題能力，已經(jīng)成為當(dāng)前教育工作者關(guān)注的焦點。文章探討分類討論思想在初中二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題教學(xué)中的應(yīng)用，以期提高學(xué)生解決問題的能力，提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。本研究能對初中數(shù)學(xué)教師隊伍建設(shè)、教育改革和課程發(fā)展等方面提供有益的借鑒和啟示。

一、 分類討論思想概述

（一）分類討論思想內(nèi)涵

分類討論思想是一種邏輯思維方法，它指的是在面對復(fù)雜問題時，根據(jù)問題特征將問題劃分為若干個相對簡單的子問題，并對這些子問題進(jìn)行逐一討論，從而找到問題解決的途徑。分類討論思想具有很強(qiáng)的邏輯性、條理性和針對性，能夠幫助學(xué)生提高分析問題和解決問題的能力。

（二）分類討論思想的重要性

1. 培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

分類討論思想有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致的邏輯思維習(xí)慣，使學(xué)生在解決問題時更有條理地分析問題，從而提高解決問題的效率。

2. 提高學(xué)生的分析問題能力

分類討論思想能夠幫助學(xué)生將復(fù)雜問題分解為若干個簡單的子問題，從而降低問題的難度，使學(xué)生更容易看清問題的本質(zhì)。

3. 增強(qiáng)學(xué)生的問題解決能力

分類討論思想有助于學(xué)生全面地、多角度地審視問題，從而找到更多問題解決方法，提高解決問題的靈活性。

4. 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識

分類討論思想鼓勵學(xué)生勇于嘗試新的解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新能力。

（三）分類討論在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用場景

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，如在解一元二次方程、二次函數(shù)圖像問題、幾何圖形的性質(zhì)討論等問題時，都可以運用分類討論思想。在解決二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題時，學(xué)生需要根據(jù)題目的條件，對問題進(jìn)行分類討論。如討論二次函數(shù)的圖像與等腰三角形的關(guān)系、討論二次函數(shù)的零點與等腰三角形的重心位置等。當(dāng)然，在初中數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，如代數(shù)、幾何、概率與統(tǒng)計等方面，分類討論思想也同樣具有重要作用。因而，教師應(yīng)在教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、 二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題分析

（一）二次函數(shù)的概念及性質(zhì)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它是指形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)。二次函數(shù)的性質(zhì)主要包括：對稱性、單調(diào)性、最值等。對稱性指的是二次函數(shù)的圖像關(guān)于其頂點對稱；單調(diào)性是指二次函數(shù)在頂點兩側(cè)的取值范圍不同，一側(cè)為增區(qū)間，另一側(cè)為減區(qū)間；最值是指二次函數(shù)在其定義域內(nèi)存在的最大值和最小值，其中頂點的縱坐標(biāo)即為最值。

（二）等腰三角形的定義及性質(zhì)

等腰三角形是指具有兩個相等邊的三角形，其性質(zhì)主要包括：頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線均相等。此外，等腰三角形還具有以下性質(zhì)：底邊上的高或中線等于腰長的一半；等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的頂角可以是銳角、直角或鈍角。

（三）二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題的類型及特點

二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題主要包括以下幾種類型：①二次函數(shù)圖像與等腰三角形相結(jié)合的問題，如求二次函數(shù)圖像上的點與等腰三角形的頂點、底邊中點等特殊位置的距離關(guān)系。②二次函數(shù)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)相結(jié)合的問題，如利用二次函數(shù)的頂點性質(zhì)求等腰三角形的高、中線等問題。③二次函數(shù)與等腰三角形的綜合應(yīng)用問題，如利用二次函數(shù)與等腰三角形的關(guān)系解決實際問題，如測量、建筑等領(lǐng)域的問題。

二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題的特點主要有：問題的綜合性強(qiáng)，需要靈活運用二次函數(shù)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答；問題往往涉及多種數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合、分類討論等；問題具有較強(qiáng)的實際應(yīng)用價值，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)充分關(guān)注二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題的類型及特點，引導(dǎo)學(xué)生識別問題，掌握問題的求解思路，培養(yǎng)學(xué)生運用分類討論思想解決問題的能力。

三、 分類討論思想在二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）教學(xué)目標(biāo)設(shè)定

在開展二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題的教學(xué)過程中，我們需要明確教學(xué)目標(biāo)，以便更好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。教學(xué)目標(biāo)應(yīng)包括以下幾個方面：①使學(xué)生掌握二次函數(shù)與等腰三角形的基本概念和性質(zhì)。②培養(yǎng)學(xué)生運用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題的能力。③提高學(xué)生分析問題、提煉問題的關(guān)鍵點的能力。④培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)、自主探究的精神。

（二）教學(xué)內(nèi)容安排

為了更好地將分類討論思想融入二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題的教學(xué)中，我們需要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理安排。首先，教師應(yīng)簡要回顧二次函數(shù)和等腰三角形的知識點，為學(xué)生解決結(jié)合問題打下基礎(chǔ)。其次，教師要重點講解分類討論的思想和方法，讓學(xué)生了解如何在解決數(shù)學(xué)問題時運用分類討論。最后，教師應(yīng)設(shè)計一系列有針對性的練習(xí)題，讓學(xué)生在實踐中掌握分類討論的方法和技巧。

（三）教學(xué)方法選擇

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實際情況，靈活選擇教學(xué)方法。建議采用以下教學(xué)方法：①案例分析法：通過設(shè)計典型的二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題案例，引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論思想進(jìn)行分析。教師可先給出案例，讓學(xué)生自主思考、討論，然后總結(jié)分類討論的方法和技巧。②問題驅(qū)動法：教師提出具有挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心。學(xué)生可以小組合作的形式，運用分類討論思想探討問題，教師適時給予指導(dǎo)和建議。③合作學(xué)習(xí)法：組織學(xué)生進(jìn)行分組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在解決實際問題的過程中相互討論、分享心得。同時，教師要關(guān)注學(xué)生的討論過程，及時發(fā)現(xiàn)和糾正問題，提高學(xué)生的分類討論能力。

（四）教學(xué)評價設(shè)計

教學(xué)評價是檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計多樣化的評價方式，以全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。建議采用以下教學(xué)評價設(shè)計：①課堂表現(xiàn)評價：評價學(xué)生在課堂上的積極參與程度、提問質(zhì)量、合作學(xué)習(xí)效果等。②課后作業(yè)評價：設(shè)計具有層次性、多樣性的課后作業(yè)，考查學(xué)生對二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題的掌握程度以及分類討論能力情況。③小組討論評價：對學(xué)生在小組合作學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)給予評價，包括討論的積極性、思考的深入性、解決問題的能力等。④期末考試評價：在期末考試中設(shè)置有關(guān)二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題的試題，檢驗學(xué)生對分類討論思想的掌握和運用。

通過以上教學(xué)策略的實施，教師可以有效地將分類討論思想融入二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題的教學(xué)中。在教學(xué)過程中，教師也要關(guān)注學(xué)生的個體差異，因材施教，及時調(diào)整教學(xué)方法和評價方式。同時，教師還需不斷提高自身的教學(xué)水平和專業(yè)素養(yǎng)，以更好地引導(dǎo)學(xué)生掌握分類討論思想，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

四、 分類討論思想的教學(xué)模式實踐與反思

（一）實踐過程概述

在實踐過程中，我們以滬科版初中數(shù)學(xué)教材為基本教學(xué)依據(jù)，結(jié)合國家義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)，選取了二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題作為教學(xué)內(nèi)容。通過問題驅(qū)動、案例分析、合作學(xué)習(xí)等教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論思想解決問題。實踐過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考、分析問題、解決問題的能力，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（二）學(xué)生分類討論能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練

在教學(xué)過程中，我們注重學(xué)生分類討論能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練。首先，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識分類討論的思想和方法，讓他們了解在解決某些數(shù)學(xué)問題時，需要對問題進(jìn)行分類，并對每類情況進(jìn)行討論。其次，通過具體案例分析，讓學(xué)生體會分類討論的思維過程，學(xué)會如何運用分類討論思想解決問題。最后，在合作學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生分組討論，相互啟發(fā)、借鑒，提高分類討論能力。

（三）教學(xué)過程中的難點與問題解決策略

在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)一些難點問題，如學(xué)生對二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題的理解程度、分類討論的邏輯性等。為解決這些問題，我們采取了以下策略：①采用問題驅(qū)動法，設(shè)計具有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲。②案例分析法，通過具體案例讓學(xué)生深入了解二次函數(shù)與等腰三角形的性質(zhì)及結(jié)合問題。③合作學(xué)習(xí)法，讓學(xué)生在小組討論中互相學(xué)習(xí)、共同進(jìn)步。④教師及時給予指導(dǎo)和反饋，強(qiáng)化學(xué)生的分類討論思維。

（四）教學(xué)效果評價與反思

通過對學(xué)生的課堂表現(xiàn)、作業(yè)完成情況、測試成績等方面的評價，我們發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果較好，學(xué)生能夠掌握二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題的解決方法，分類討論能力得到提高。但同時，我們也發(fā)現(xiàn)一些不足之處，如學(xué)生在分類討論過程中仍存在邏輯性不強(qiáng)、思維不嚴(yán)密等問題。針對這些問題，我們在今后的教學(xué)中將進(jìn)一步改進(jìn)教學(xué)方法，提高學(xué)生的分類討論能力。

五、 案例分析

本部分將結(jié)合兩個具體案例，詳細(xì)闡述分類討論思想在二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題教學(xué)中的應(yīng)用。通過對這兩個案例的深入分析，我們可以更好地理解分類討論思想在解決問題過程中的重要作用。

案例一：

問題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像上存在一個等腰三角形，求該等腰三角形的面積。

解決過程：

1. 分析題目，確定二次函數(shù)與等腰三角形的結(jié)合點：等腰三角形的底邊與二次函數(shù)的對稱軸有關(guān)，高等于二次函數(shù)的頂點到對稱軸的距離。

2. 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出對稱軸方程：x=-b/2a。

3. 分類討論：

a）當(dāng)?shù)妊切蔚牡走吪c對稱軸平行時，底邊長度為2｜c/a｜，高為｜c/a｜。根據(jù)等腰三角形面積公式，求得面積為｜c2/2a｜。

b）當(dāng)?shù)妊切蔚牡走吪c對稱軸不平行時，底邊長度為｜x1-x2｜，其中x1、x2為二次函數(shù)的兩根。根據(jù)韋達(dá)定理，有x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。由此可求得底邊長度。高為二次函數(shù)的頂點到對稱軸的距離，即｜c/a｜。根據(jù)等腰三角形面積公式，求得面積為｜（b2-c2）/4a｜。

案例二：

問題：已知等腰三角形ABC的底邊AB=10，高CD=8，求該等腰三角形的面積。

解決過程：

1. 分析題目，確定等腰三角形的底邊和高與二次函數(shù)的關(guān)系：底邊長度為10，高為8，可以看作二次函數(shù)的頂點到底邊中點的距離。

2. 設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-h）2+k，其中頂點坐標(biāo)為（h，k）。

3. 分類討論：

a）當(dāng)二次函數(shù)的頂點在等腰三角形內(nèi)部時，底邊中點到頂點的距離小于等于8。此時，可以求得二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)頂點坐標(biāo)和底邊長度求得等腰三角形的面積。

b）當(dāng)二次函數(shù)的頂點在等腰三角形的外部時，底邊中點到頂點的距離大于8。此時，可以求得二次函數(shù)與等腰三角形的交點坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)交點坐標(biāo)和底邊長度求得等腰三角形的面積。

案例分析：

通過對案例一和案例二的分析，我們可以看出分類討論思想在解決問題過程中具有重要作用。在案例一中，我們根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論了等腰三角形底邊與對稱軸的關(guān)系，得到了兩種情況的面積公式。在案例二中，我們根據(jù)等腰三角形底邊和高與二次函數(shù)的關(guān)系，分類討論了二次函數(shù)的頂點在等腰三角形內(nèi)部和外部兩種情況，求得了相應(yīng)的面積。

通過這兩個案例，我們可以發(fā)現(xiàn)，運用分類討論思想有助于解決二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題。這種教學(xué)ed88f4b04dad7e93060471643373f83d7c53b19a2371a7b77dcc32ee08765355方法可以幫助學(xué)生更好地理解問題，提高他們分析問題和解決問題的能力。同時，教師在教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生掌握分類討論的方法和技巧，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和邏輯思維。

六、 結(jié)論

分類討論思想是一種重要的思維方法，在解決二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題中具有顯著的優(yōu)勢，它有助于學(xué)生深入理解問題，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)規(guī)律，提高解決問題的效率。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力，通過案例分析、問題驅(qū)動、合作學(xué)習(xí)等教學(xué)方法，使他們在面對復(fù)雜問題時迅速找到解決思路。總之，分類討論思想在二次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合問題教學(xué)中的應(yīng)用具有重要的實踐價值。教師應(yīng)不斷創(chuàng)新教學(xué)模式，提高學(xué)生的分類討論能力，為培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和綜合素質(zhì)的數(shù)學(xué)人才做出貢獻(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］崔佳佳，王亞婷，范興亞.基于函數(shù)關(guān)系研究函數(shù)圖象，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2023（Z3）：52-57.

［2］徐茜敏.分類討論：建構(gòu)初中數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（21）：56-58.

［3］陳芳香.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2023（26）：8-10.

［4］吳文卉.初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”課程設(shè)計與實施的研究［D］.沈陽：沈陽師范大學(xué)，2023.

［5］玄甲峰.淺析師生互動在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略［J］.天天愛科學(xué)（教育前沿），2023（10）：165-167.

［6］盧洪喜.基于分類討論思想，探究存在性問題——等腰三角形存在性問題解決策略的探究與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（18）：31-32.

［7］胡順玲.新課標(biāo)背景下初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方法探究［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（23）：78-80.