摘 "要：求解復雜優(yōu)化問題時，灰狼優(yōu)化算法存在收斂速度慢、容易陷入局部極值的缺點。針對此問題，提出了一種融合多策略改進的灰狼優(yōu)化算法。首先采用混沌序列產(chǎn)生在解空間均勻分布的初始種群；然后結(jié)合精英反向?qū)W習機制進行最優(yōu)解的搜索，引入收斂停滯監(jiān)測策略，提升算法整體抗停滯能力，保持種群多樣性；最后提出一種收斂因子非線性動態(tài)調(diào)整策略，提高算法的全局收斂速度和穩(wěn)定性。對10個經(jīng)典高維測試函數(shù)進行仿真實驗，結(jié)果表明，改進算法能有效擺脫局部極值點，其全局優(yōu)化性能優(yōu)于標準灰狼優(yōu)化算法。

關(guān)鍵詞：灰狼優(yōu)化算法；單純形法；優(yōu)化；收斂因子

中圖分類號：TP391.9 " " " " " " " " " " " " " 文獻標識碼：A 文章編號：1008-5483（2024）02-0064-07

Grey Wolf Optimization Algorithm with Multiple Strategy Improvements

Zhang Rongxin， Li Xuetao

（School of Economics and Management， Hubei University of Automotive Technology， Shiyan 442002， China）

Abstract： When solving complex optimization problems， the grey wolf optimization algorithm has the disadvantages of slow convergence speed and easy falling into local extremes. To address these issues， a grey wolf optimization algorithm that integrated multiple strategy improvements was proposed. Firstly， a chaotic sequence was used to generate an initial population that was uniformly distributed in the solution space. Then， combined with the elite reverse learning mechanism， the optimal solution was searched， and a convergence stagnation monitoring strategy was introduced to improve the overall anti-stagnation ability of the algorithm and maintain population diversity. Finally， a non-linear dynamic adjustment strategy for convergence factors was proposed to improve the global convergence speed and stability of the algorithm， and simulation experiments were conducted on 10 classic high-dimensional test functions. The experimental results show that the improved algorithm can effectively eliminate local extreme points， and its global optimization performance is better than the standard grey wolf optimization algorithm.

Key words： grey wolf optimization algorithm; simplex method; optimization; convergence factor

GWO（grey wolf optimization）算法通過狼群跟蹤、包圍、追捕、攻擊獵物等過程實現(xiàn)優(yōu)化搜索目的［1］，具有原理簡單、易于實現(xiàn)、調(diào)整參數(shù)少等優(yōu)點，己成功應(yīng)用到車間調(diào)度、參數(shù)優(yōu)化、圖像分類、K-均值聚類優(yōu)化等領(lǐng)域中［2］。GWO算法和其他智能優(yōu)化算法一樣，求解高維和復雜的優(yōu)化問題時，存在著探索和開發(fā)能力難以協(xié)調(diào)、后期收斂速度慢、求解精度低等缺點。針對GWO算法存在的不足，文獻［3］引入佳點集方法初始化灰狼種群、設(shè)計基于正切三角函數(shù)描述的非線性控制參數(shù)策略和修改的位置更新方程，提出一種協(xié)調(diào)探索和開發(fā)能力的GWO算法；文獻［4］將動態(tài)進化種群技術(shù)嵌入到標準GWO算法中，以加強全局探索能力；龍文等人利用混沌方法產(chǎn)生初始個體，對當前最優(yōu)個體使用Powell算法進行局部搜索，提升了全局搜索能力［5］；周蓉等人利用反向?qū)W習來初始化種群，并結(jié)合變異算子對灰狼算法進行了改進［6］；Zhu等人利用DE算法的全局搜索能力，在一定程度上增強了灰狼算法的全局搜索能力；文獻［7］結(jié)合混沌初始化、精英反向?qū)W習和混沌擾動，提出了一種混合GWO算法，用于處理高維優(yōu)化問題；文獻［8］提出了一種用對數(shù)函數(shù)描述收斂因子的GWO算法，平衡了算法的局部開發(fā)和全局搜索能力。上述改進算法在求解函數(shù)優(yōu)化方面取得了一定的效果，但仍有改進空間。為進一步提升GWO算法求解能力，避免出現(xiàn)早熟收斂缺陷，文中通過協(xié)調(diào)全局探索和局部開發(fā)能力，設(shè)計了融合多種策略IGWO算法。

1 GWO算法

GWO算法是模擬灰狼群體的等級行為和捕獵行為而設(shè)計的一種新型群體智能優(yōu)化算法。每個灰狼表示一個潛在解，狼群分4個等級：領(lǐng)導狼群的[α]是當前最好解，次優(yōu)解為[β]，第三解為[δ]，第四等級的灰狼用[ω]表示。按照上述等級的劃分，灰狼[α]對[β]、[δ]和[ω]有絕對的支配權(quán)，[δ]服從[α]和[β]，灰狼[ω]等級最低，灰狼群的獵食行為主要由灰狼[α]、[β]和[δ]進行引導和指示，灰狼狩獵主要分為追蹤、接近獵物、包圍獵物、攻擊獵物。

設(shè)灰狼種群大小為[N]，在[d]維空間，灰狼[i]當前位置為[Xi（xi，1，xi，2，…，xi，d）]，則灰狼[i]在灰狼[α]引導下的下一個位置[Xαi（xαi，1，xαi，2，…，xαi，d）]計算公式為

[xαi，k=xα，k-A1Dα，k， " A1=2ar1-αDα，k=C1xα，k-xi，k， " C1=2r2] （1）

式中：[Xαi，k]為[Xαi]的第[k]個分量；[a]為收斂因子，從2遞減至0；[r1]和[r2]均為（0，1）間的隨機數(shù)。

灰狼[i]在灰狼[β]或[δ]引導下的下一個位置計算公式同上。綜上所述，灰狼[i]在灰狼[α]、[β]、[δ]同時引導下的下一個位置計算公式為

[xi，k=xαi，k+xβi，k+xδi，k3] （2）

2 IGWO算法

GWO算法存在如下缺陷：1）種群多樣性差，這是因為隨機初始化生成初始種群的方式無法保證較好的種群多樣性；2）后期收斂速度慢，主要是由搜索機制造成；3）易陷入局部最優(yōu)，這是因為頭狼不一定是全局最優(yōu)點，在迭代中不斷逼近前3匹狼，導致陷入局部最優(yōu)解。當前對GWO算法的改進主要體現(xiàn)在全局和局部搜索性能的優(yōu)化上，如增加灰狼種群的多樣性、改進搜索機制、改進控制參數(shù)、開發(fā)高效的混合算法。

IGWO算法從3個方面進行改進：1）采用混沌映射的種群初始化方法，提升初始種群的質(zhì)量和多樣性，加快算法的全局收斂速度；2）為進一步使算法跳出局部最優(yōu)，引入收斂停滯監(jiān)測，對種群中較差個體執(zhí)行趨優(yōu)反向?qū)W習操作，擴大搜索區(qū)域，或者借助隨機擾動機制對全局最優(yōu)位置進行調(diào)整，以保持種群的多樣性；3）控制參數(shù)線性遞減策略很難適應(yīng)搜索實際情況，通過參數(shù)非線性動態(tài)調(diào)整策略，合理調(diào)控算法的全局搜索和局部開發(fā)能力。

2.1 混沌映射初始化種群

種群初始化方式對種群多樣性及算法穩(wěn)定性有一定影響，GWO算法的隨機初始化只能保證初始種群位置有一定的分散度，不能保證分布均勻。混沌序列具有較好的遍歷性和隨機性，混沌映射能夠產(chǎn)生［0，1］分布較均勻的隨機數(shù)，使初始種群盡可能地利用解空間的信息。采用Skew Tent映射產(chǎn)生混沌序列來進行種群初始化：

[xt+1=xt φ-1， " 0lt;xtlt;φ（1-xt）（1-φ）-1， " φlt;xtlt;10≤t≤tmax] （3）

式中：t為迭代次數(shù)。[φ∈（0，1）]且[x∈[0，1]]時，處于混沌狀態(tài)。具體步驟如下：1）令t為0，隨機初始化產(chǎn)生種群[（X1，X2，…，XN）]：

[Xi=（x1，x2，…，xd）， " i=1，2，…，N] （4）

2）產(chǎn)生隨機數(shù)[φ∈（0，1）]，按照式（3）更新種群中個體變量[xij]。3）如果[t小于tmax]，重復2）。4）如果[t等于tmax]，則

[xi， j=xmin， j+xk， j（xmax， j-xmin， j）] （5）

將個體變量映射到解空間，得到初始化種群，如圖1所示，可以看出，經(jīng)過一定迭代次數(shù)的混沌映射計算后，種群分布更加均勻，當?shù)螖?shù)為100左右時，種群分布最好。種群初始位置的分散程度決定種群的多樣性，在一定程度上影響算法的搜索速度和尋優(yōu)精度，好的初始種群能有效避免在進化初期就陷入局部解。

2.2 非線性收斂因子策略

GWO算法在進化過程中存在全局和局部搜索，較強的全局搜索能力能保證種群的多樣性，而較強的局部搜索能力可保證算法進行精確搜索，只有將二者協(xié)調(diào)好，才能降低算法陷入局部最優(yōu)的概率，提高收斂性能。由式（1）可知，當[A大于1]時，灰狼群體會擴大搜索范圍尋找獵物，對應(yīng)全局搜索；當[A小于1]時，灰狼群體傾向于收縮搜索范圍攻擊獵物，即進行局部搜索。因此[A]決定算法的全局和局部搜索能力，而[A]隨著[a]的變化而變化。在GWO算法中，[a]隨著迭代次數(shù)的增加從2線性遞減到0，但灰狼群體的變化在算法收斂過程中不是線性的，線性遞減的收斂因子不能完全體現(xiàn)實際的優(yōu)化搜索過程，[a]在迭代過程中以相同的速率減小，無法較好地兼顧全局搜索和局部搜索，因此設(shè)計一種非線性遞減的收斂因子。在迭代初期，[a]以較小速率減小，保持[A]有較大值，利于算法大范圍搜索；在后期[a]減小較快，使[A]有較長時間保持較小的值，保證算法進行更加精細的搜索，提升收斂精度。非線性遞減收斂因子的計算公式為

[a（t）=ainitial+（afinal-ainitial）×1-ttmaxk1k2] （6）

式中：[ainitial]和[afinal]為[a]初始值和最終值，[ainitial]取2，[afinal]取0。以[tmax]=500為例，[k1]和[k2]分別取不同值時，[a]的變化曲線如圖2所示，可以看出，迭代開始時，[a]下降緩慢，到進化中期[a]下降速度較快，然后在末期平緩下降。通過這種方式能更好地控制優(yōu)化搜索過程，在全局和局部搜索能力之間進行有力協(xié)調(diào)，調(diào)整[k1]和[k2]可以控制曲線變化趨勢。

2.3 反向?qū)W習策略

將混合最佳和最差個體的反向?qū)W習策略引入到GWO算法。為進一步降低變異策略中由于最佳個體的引導導致算法陷入局部最優(yōu)解的可能性，在每次迭代生成的新種群中選擇部分較差個體并執(zhí)行趨優(yōu)反向?qū)W習策略，提高種群質(zhì)量的同時擴大算法的搜索區(qū)域，彌補算法全局勘探能力的不足。

考慮到仍有部分個體在反向?qū)W習之后質(zhì)量有所降低，通過綜合評價當前解和反向解以選擇一個更優(yōu)解，反向解的計算公式為

[xi， j=（xlj+xuj）-xi， j] （7）

式中：[xlj]和[xuj]分別為第[j]維分量的下界和上界。文中只針對迭代過程中收斂停滯的個體進行反向?qū)W習，灰狼個體收斂停滯的判斷的方法如下：1）當個體極值連續(xù)若干代沒有改進，則認為個體已經(jīng)處于暫時停滯狀態(tài)；2）若狼群的全局極值連續(xù)若干代沒有變化，則認為算法已陷入局部最優(yōu)，出現(xiàn)了早熟。當個體進化停滯或種群陷入局部最優(yōu)后，通過反向?qū)W習的方式進行干擾，增加個體多樣性，跳出局部最優(yōu)解。為了使算法能繼續(xù)尋優(yōu)并且跳出局部極值的約束，提出的收斂停滯監(jiān)測方案。設(shè)[fc]為算法[t]次與（[t-3]）次迭代的適應(yīng)度差值：

[fc（t）=fxt-fxt-3t=4，5，…，tmax] （8）

然后設(shè)置適應(yīng)度監(jiān)測因子[gmin]：

[gmin（t）=0.05exp-10（t-3）tmax] （9）

最后比較[fc（t）]與[gmin（t）]的大小，如果[fct]小于[gmin（t）]，視為算法收斂停滯，利用式（7）對停滯個體進行反向?qū)W習。

2.4 IGWO算法及復雜度分析

IGWO算法流程如圖3所示。1）設(shè)置算法的主要參數(shù)[N]、[d]、[tmax]、[ainitial]、[afinal]、[k1]、[k2]，確定決策變量的上限和下限：

[u=（u1，u2，…，ud）， " l=（l1，l2，…，ld）] （10）

隨機生成初始[a]、[A]和[C]等參數(shù)。2）在搜索空間中按照混沌映射方法初始化種群，令[t為0]。3）計算種群[Pt]中所有灰狼個體適應(yīng)度并排序，選擇前3個適應(yīng)度最高的灰狼個體[Xα]，[Xβ]，[Xδ]，利用式（1）和式（5）更新其他灰狼個體的位置。4）根據(jù)式（6）計算[a]，再利用式（1）更新A和C。5）計算所有灰狼個體適應(yīng)度并排序，按照反向?qū)W習策略進行個體更新和搜索，若新解更優(yōu)，將更優(yōu)解保存到種群中，以一定概率排除原種群中較差的解，保持[N]不變。6）判斷算法終止條件，若[t小于tmax]，令[t等于（t+1）]，返回3），否則算法終止，輸出最優(yōu)個體[Xα]，即最優(yōu)解。

初始化種群的時間復雜度為[O（N·d）]，算法的時間復雜度為[O（N·d·tmax）]。進化過程中需要2次計算適應(yīng)度，計算的時間復雜度為[O（2N·lgN·tmax）]，考慮到最差情況，所有個體均需反向?qū)W習，總時間復雜度為［[O（N·d·（2tmax+1））+O（2N·lgN·tmax）]］，和其他智能優(yōu)化算法相比，計算開銷有所增加。

3 實驗仿真

3.1 測試函數(shù)與參數(shù)設(shè)置

選取10個標準測試函數(shù)，分別是Sphere（f1）、Schwefel2.22（f2）、Schwefel2.21（f3）、Penalized1（f4）、Rosenbrock（f5）、Step（f6）、Quartic（f7）、Rastrigin（f8）、Ackley（f9）、Griewank（f10），理論最優(yōu)解均為0，這些函數(shù)既有單峰函數(shù)也有多峰函數(shù)，在不同搜索空間有不同特性，能充分測試算法性能。將IGWO算法與CS算法、PSO算法、DE算法、基本GWO算法進行性能對比，設(shè)置函數(shù)的變量維度為30，取值范圍為［-100，100］，N為40，[tmax]為500，[a]初始值為2，[k1]和[k2]分別取0.5和1.5，其他參數(shù)設(shè)置見表1。

3.2 實驗結(jié)果與分析

采用Python進行仿真實驗，對同一測試函數(shù)，每種算法獨立運行20次，對比結(jié)果如表2所示。從表2可以看出：IGWO算法表現(xiàn)良好，具有更高的收斂精度，其中對函數(shù)f1和f5均收斂到了0，對其他函數(shù)的求解結(jié)果也接近于0，證明了IGWO算法良好的優(yōu)化求解能力；而且標準差也非常小，說明具有較強的魯棒性。CS算法與PSO算法在求解高維函數(shù)優(yōu)化時的尋優(yōu)成功率較低，且求解精度也差一些，DE算法和GWO算法相對較高，但和IGWO算法總體比較起來，成功率和穩(wěn)定性略差一些。函數(shù)f1～f4仿真結(jié)果的收斂曲線如圖4所示，可以看出，CS算法與PSO算法進化后期收斂曲線不再下降，很快陷入局部解，而IGWO算法的收斂速度更快，能較好地跳出局部最優(yōu)值，收斂精度也明顯提高。從上述仿真結(jié)果可以看出：IGWO算法能快速收斂于全局最優(yōu)解或近似最優(yōu)解，收斂也比較穩(wěn)定，能很好地跳出局部最優(yōu)，說明了真有效性。

3.3 Wilcoxon秩和檢驗

使用Wilcoxon秩和檢驗方法來檢驗IGWO算法和其他算法的運行結(jié)果是否有顯著性差別，結(jié)果如表3所示。設(shè)顯著性水平[為0.05]，當[p大于0.05]時，算法的運行結(jié)果沒有顯著差異，否則認為差異顯著。檢驗結(jié)果表明，IGWO算法在收斂速度、求解精度和魯棒性上都有明顯提升。

3.4 工程實際應(yīng)用

工程實際問題為壓力容器設(shè)計，優(yōu)化目的是使生產(chǎn)成本最小化，涉及4個需要優(yōu)化的變量，分別具有線性或非線性不等式約束，數(shù)學模型如下：

[minf（x）=0.6624x1x3x4+1.7781x1x23+ " " " " " " " " " " "3.1661x21x4+19.84x21x3s.t. g1（x）=0.0193x2-x1≤0 " " " g2（x）=0.00954x3-x2≤0 " " " g3（x）=-πx23x4-4πx33 "3+1 296 000≤0 " " " g4（x）=x4-240≤0 " " " x1， x2∈0，100; x3， x4∈10，200] （11）

式中：[x1]為殼體厚度；[x2]為半球形部分的厚度；[x3]和[x4]分別為內(nèi)半徑和圓柱零件的長度。

參考實驗仿真參數(shù)設(shè)置，與其他算法的求解結(jié)果進行對比。種群規(guī)模為40，進化代數(shù)設(shè)為80，每種算法獨立運行30次后，記錄相應(yīng)的最優(yōu)解，結(jié)果如表4所示。由表4可知，針對低維度優(yōu)化問題，各算法在尋優(yōu)結(jié)果上較相似，但IGWO算法能在尋優(yōu)精度上更進一步。從圖5也可以看出，在其他算法接近收斂的時候，IGWO算法曲線仍然在下降，表現(xiàn)出局部搜索的優(yōu)勢。

3.5 消融實驗

對上述10個標準測試函數(shù)進行消融實驗，設(shè)計了6種不同的組合方式。組合1～3采用單獨的改進策略，分別為混沌映射、非線性收斂因子、反向?qū)W習；組合4～5采用2種改進策略，分別是混沌映射+非線性收斂因子、混沌映射+反向?qū)W習；組合6采用3種改進策略，即文中算法。實驗結(jié)果如表5所示，大多數(shù)情況下算法的求解精度保持不變或略有提升，組合3的效果較好，求解精度有顯著提升，證明了IGWO算法的有效性。

4 結(jié)論

GWO算法在求解復雜優(yōu)化問題時，會陷入局部最優(yōu)，算法收斂性降低。文中IGWO算法在迭代進化計算的過程中引入收斂停滯的監(jiān)測機制，檢測到陷入局部最優(yōu)時，對陷入停滯的個體進行位置重新更新，采用反向?qū)W習策略替代傳統(tǒng)變異方式，同時設(shè)置了鄰域大小和縮放因子的動態(tài)更新機制，合理調(diào)控算法的全局搜索和局部開發(fā)能力，增加了種群多樣性，有利于種群跳出局部最優(yōu)解，提高了算法的收斂精度。在種群初始化時引入混沌映射，使個體分布更加均勻，利于進化過程的進行，在計算代價增加不大的情況下，較大程度提升了算法全局優(yōu)化能力，仿真對比實驗也表明IGWO算法的求解質(zhì)量更好。

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