作者簡介：周欣（1978～），女，漢族，廣西柳州人，柳州高級中學(xué)，研究方向：物理教育。

摘 要：從分解力的方法入手，探討解決平衡問題的兩種解題方法：正交分解法和按效果分解的方法。并通過不同的例題去體會(huì)兩種方法的特點(diǎn)和區(qū)別，以及如何建立量的關(guān)系，從而形成解題思路，靈活、熟練地解決平衡問題。

關(guān)鍵詞：平衡問題；正交分解法；按效果分解法

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8918（2024）29-0105-05

平衡問題是高中物理最基本的力學(xué)問題，從初中二力的一維平衡過渡到多力的二維平衡、三維平衡，為后面合力恒定的勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題做鋪墊，是高考?？碱}型。由于平衡問題題型眾多、方法靈活巧妙，對力學(xué)知識和幾何知識的要求比較高，學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較困難?，F(xiàn)將平衡問題的典型題型和解題方法歸納總結(jié)，分類探討。

解平衡問題的步驟是：①確定研究對象；②對研究對象進(jìn)行受力分析；③處理（分解）力；④根據(jù)平衡關(guān)系列式子。根據(jù)處理（分解）力的方法分類，可以分為正交分解法和按效果分解法兩種方法。

一、 正交分解法

正交分解是將所受的力往兩個(gè)互相垂直的方向x、y分解，分別求出x、y方向的合力Fx合、Fy合，然后根據(jù)勾股定理求總的合力大小F合=F2x合+F2y合、方向tanα=Fy合Fx合，如圖1所示。正交分解是把雜亂的關(guān)系往統(tǒng)一的方向分解處理，用正弦、余弦等三角函數(shù)來表達(dá)潛在力學(xué)變量之間的關(guān)系，并把力學(xué)變量之間的關(guān)系和長度的幾何關(guān)系聯(lián)系在了一起，從而簡化了復(fù)雜問題。

正交分解的方法適用于高中階段所有運(yùn)動(dòng)學(xué)情景的力學(xué)處理，包括平衡、勻變速直線運(yùn)動(dòng)、勻變速曲線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、變加速直線運(yùn)動(dòng)。按正交分解求得兩個(gè)方向的合力，根據(jù)牛頓第二定律分別列出Fx合=max和Fy合=may，不同的情景只需要把加速度稍微變化一下即可，由平衡狀態(tài)向“非平衡狀態(tài)”拓展，自成一個(gè)體系，以不變應(yīng)萬變，而平衡只是其中的一個(gè)特例，分別列Fx合=0和Fy合=0即可。

不過這里要注意往哪兩個(gè)互相垂直的方向分解都是可以的，但要學(xué)會(huì)往便于求解的兩個(gè)互相垂直的方向分解，如果變量過多，又只能列兩個(gè)方向的關(guān)系，就不便于求解了。所以我們要很熟練地知道什么情況下選擇正交分解的方法，往哪兩個(gè)方向分解更好。

典型題型一：解析法和圖像法做動(dòng)態(tài)平衡題型

【例1】 如圖2所示，用細(xì)繩將光滑圓球掛在墻上，不考慮墻的摩擦，如果把細(xì)繩的長度增大一些，則球?qū)K的拉力F1的大小和球?qū)Φ膲毫2的大小變化情況是（ ）

A. F1增大，F(xiàn)2減小

B. F1減小，F(xiàn)2增大

C. F1減小，F(xiàn)2減小

D. F1增大，F(xiàn)2增大

解析：如圖3所示對小球進(jìn)行受力分析，重力mg和支持力F2分別在豎直、水平方向上，正交分解只需要往水平、豎直方向分解拉力F1即可。

根據(jù)平衡狀態(tài)的牛頓第二定律：

水平方向：F1sinθ=F2

豎直方向：F1cosθ=mg

又根據(jù)幾何關(guān)系：sinθ=rr+l，所以l變大，sinθ變小，則θ變小，cosθ變大，F(xiàn)1變小，F(xiàn)2變小，故答案選C。

也可以用圖像法定性分析，保持F1的豎直分量不變，如圖4所示可知，由F1、F2到F′1、F′2，都變小了。

典型題型二：“晾衣架”模型的動(dòng)態(tài)分析

【例2】 如圖5所示，一半圓環(huán)直徑為AB，圓心為O，半圓環(huán)放置于豎直平面內(nèi)，直徑AB與水平方向的夾角為θ，A、B兩端系著一根不可伸長的輕繩，繩長大于直徑AB，繩上套有一光滑小球，現(xiàn)將半圓環(huán)在豎直平面內(nèi)繞圓心O順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過2θ。在此過程中，下列說法正確的是（ ）

A. 輕繩的拉力先增大后減小

B. 輕繩的拉力先減小后增大

C. 小球受到的合力先減小后增大

D. 小球受到的合力先增大后減小

解析：這是一道動(dòng)態(tài)平衡的題目，題中小球是套在一根繩子上的，這是“活結(jié)”，所以兩邊繩子給球的拉力是等大的，由于對稱性，用正交分解的方法比較全面。受力分析如圖6所示，并將拉力向水平、豎直方向分解，根據(jù)平衡狀態(tài)的牛頓第二定律：

水平方向：FTcosα1=FTcosα2，得α1=α2=α

則豎直方向：2FTsinα=mg

突破點(diǎn)是長度的幾何關(guān)系，如圖7所示分別過A點(diǎn)作豎直輔助線、B點(diǎn)作水平輔助線，兩輔助線相交于N點(diǎn)。由對稱性有AM=A′M，所以A′M+MB=l，則cosα=xl，其中x是繩子兩端點(diǎn)的水平距離，l為繩子的總長度。

將半圓環(huán)在豎直平面內(nèi)繞圓心O順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過2θ，如圖8所示。繩子兩端點(diǎn)位置分別由A、B轉(zhuǎn)至A1、B1，再轉(zhuǎn)至A2、B2，x先變大再變小，而l是不變的，所以cosα先變大再變小，sinα先變小再變大，F(xiàn)T就先變大再變小，而小球因?yàn)槭冀K平衡，所以所受合力為0，即合力不變。故答案選A。

典型題型三：可以往任意兩個(gè)方向正交分解，應(yīng)選便于計(jì)算的。

【例3】 如圖9所示，一光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，環(huán)上套有兩個(gè)小球A、B（中央有小孔），A、B間由細(xì)線連接著，它們處于如圖所示的位置時(shí)恰好都保持靜止?fàn)顟B(tài)。此情況下，B球與環(huán)中心O處于同一水平面上，A、B間細(xì)繩呈伸直狀態(tài)，與水平方向成30°的夾角，則兩小球的質(zhì)量比mA∶mB 為 （ ）

A. 12B. 2C. 3D. 33

解析：這道題是連接體題型，如圖10所示對B小球進(jìn)行受力分析、正交分解。

根據(jù)平衡狀態(tài)的牛頓第二定律：

豎直方向：FTsin30°=mBg，解得：FT=2mBg

如圖11所示對A小球進(jìn)行受力分析，同樣采取正交分解的方法往水平、豎直方向分解拉力FT和支持力FN，根據(jù)平衡狀態(tài)的牛頓第二定律：

水平方向：FTcos30°=FNcos60°

則豎直方向：FTsin30°+mAg=FNsin60°

解得：FT=mAg，所以mA∶mB=2∶1，故答案選B。

對A小球的受力進(jìn)行正交分解還可以往FN方向和垂直于FN方向分解，如圖12所示。根據(jù)平衡狀態(tài)的牛頓第二定律：

垂直FN方向：FTsin30°=mAgsin30°，則FT=mAg，進(jìn)而mA∶mB=2∶1

第二種方法更便于求解。

二、 按效果分解法

按效果分解是將所受的力往實(shí)際作用效果方向分解，往往適用于三力平衡的題目，也可以逆向把另外兩個(gè)力合成，與第三個(gè)力等大反向。然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例把力的關(guān)系和長度幾何關(guān)系聯(lián)系起來，也可以利用正弦定理、余弦定理找力和角度的關(guān)系，還可以用圖解法找力的定性關(guān)系。

典型題型一：利用相似三角形求解

【例4】 如圖13所示，將一帶電小球A用絕緣棒固定，在它的正上方L處有一懸點(diǎn)O，通過長也為L的絕緣細(xì)線懸吊一個(gè)與A球帶同種電荷的小球B，B球靜止時(shí)，懸線與豎直方向成某一夾角θ?，F(xiàn)設(shè)法增大A球的電荷量，則重新平衡后懸線OB對B球的拉力FT的大小將（ ）

A. 增大

B. 不變

C. 減小

D. 可能增大，可能減小，也可能不變

解析：這道題是典型的按效果分解的題型，用正交分解的方法變量太多，不利于列式求解/LcE6zmNZqXmF/kNA87iLfA/HMU7CV4sCVm3arkiuII=。如圖14所示，帶電小球B受重力mg、庫侖力F庫、拉力FT，處于三力平衡狀態(tài)，庫侖力F庫和拉力FT的合力與重力mg等大反向。由圖可以看出力的三角形和長度的三角形相似，則對應(yīng)邊成比例：

mgL=FTL=F庫x=kQAqBx3

因?yàn)閙g、L不變，所以mgL=定值，則當(dāng)A球的電荷量QA增加，則x增加，但FT是不變的，故答案選B。

典型題型二：利用正弦定理求解

【例5】 如圖15所示，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時(shí)，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α>π2）?，F(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中（ ）

A. MN上的張力逐漸增大

B. MN上的張力先增大后減小

C. OM上的張力逐漸增大

D. OM上的張力先增大后減小

解析：這是2017年全國Ⅰ卷的一道選擇題，如圖16所示，對重物被拉起后的某個(gè)狀態(tài)進(jìn)行受力分析，F(xiàn)MN和FMO的合力與重力等大反向，并在力的三角形里標(biāo)注三個(gè)夾角，根據(jù)正弦定理可得力和角度的關(guān)系：

mgsinφ=FMNsinθ=FMOsinβ

因?yàn)橹匚锉幌蛴疑戏骄徛鸬倪^程中，輕繩MN與MO的夾角α保持不變，則φ=180°-α也保持不變。又因?yàn)閙g、φ保持不變，所以mgsinφ=定值。在OM由豎直被拉到水平的過程中，MN與豎直方向的夾角β由β=α鈍角開始逐漸減小至銳角，所以sinβ先增加再減小，則FMO先增加再減??；而MO與豎直方向的夾角θ由θ=0°開始逐漸增加至90°，所以sinθ一直增加，則FMN一直增加。所以答案選AD。

典型題型三：圖像法

上題還可以用三角形內(nèi)接圓的方法作圖定性分析。如圖17所示，表示輕繩MN的拉力由初始方向轉(zhuǎn)過90°，分別經(jīng)過FMN1、FMN2、FMN3，直到與直徑2重合的FMN4，F(xiàn)MN由0一直在變大至最大；表示輕繩MO的拉力由豎直方向開始轉(zhuǎn)過90°，分別經(jīng)過FMO1、FMO2、FMO3，直到水平方向的FMO4，F(xiàn)MO由與重力等大反向開始先變大再變小的，與直徑1重合時(shí)最大。

【例6】 如圖18所示，一個(gè)重為5N的大砝碼，用細(xì)線懸掛在O點(diǎn)，現(xiàn)在用力F拉砝碼，使懸線偏離豎直方向30°時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)所用拉力F的最小值為（ ）

A. 8.65NB. 5.0NC. 4.3ND. 2.5N

解析：這是一道典型的動(dòng)態(tài)分析求極值的圖解題型。如圖19所示，對大砝碼進(jìn)行受力分析，兩拉力F、F1的合力與重力等大反向。其中重力的大小方向都不變，F(xiàn)1的方向不變，所以當(dāng)F與F1垂直時(shí)，F(xiàn)有最小值。Fmin=mgsin30°=2.5N，故D正確。

典型題型四：利用余弦定理求解

【例7】 如圖20所示，有兩個(gè)電荷量相同的光滑小球，質(zhì)量都是m，其中一個(gè)固定于絕緣半球形容器的底部A點(diǎn)，另一個(gè)小球置于容器右側(cè)B點(diǎn)（未固定），右側(cè)小球恰處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知∠AOB=θ，容器的半徑為r，靜電力常量為k，重力加速度為g，兩帶電小球均可視為點(diǎn)電荷，下列說法正確的是（ ）

A. 兩個(gè)小球間的庫侖力大小為mg2（1-cosθ）

B. 小球B受到的支持力大小為mg

C. A、B兩點(diǎn)間距離為r1-cosθ

D. 小球的電荷量的平方為q2=2r2（1-cosθ）mg2（1-cosθ）k

解析：如圖21所示，對小球B進(jìn)行受力分析，庫侖力F庫和支持力FN的合力與重力mg等大反向。和例4一樣根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的關(guān)系：mgr=FNr，求得FN=mg。再根據(jù)余弦定理分別對長度三角形和力的三角形列式：

長度三角形：xAB=r2+r2-2r·rcosθ=r2（1-cosθ）

力的三角形：F庫=（mg）2+（mg）2-2mg·mgcosθ=mg2（1-cosθ）

再根據(jù)F庫=kq·qx2AB，解得q2=2r2（1-cosθ）mg2（1-cosθ）k

故答案選ABD。

三、 多種方法綜合應(yīng)用

【例8】 如圖22所示，四分之一圓柱體P放在水平地面上，圓心O的正上方有一個(gè)大小可忽略的定滑輪A，一根輕繩跨過定滑輪，一端和置于圓柱體P上質(zhì)量為m的小球連接，另一端系在固定豎直桿上的B點(diǎn)，一質(zhì)量為m0鉤碼掛在AB間的輕繩上，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。除圓柱體與地面之間的摩擦以外，其他摩擦不計(jì)。若在鉤碼下方再加掛一個(gè)鉤碼，整個(gè)裝置再次處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，小球依然處于圓柱體P上，則此時(shí)與先前整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)相比（ ）

A. 地面對P的摩擦力減小

B. P對小球的彈力增大

C. 輕繩的張力增大

D. P對地面的壓力減小

解析：這是一道連接體的題目，對不同的對象進(jìn)行受力分析，根據(jù)受力特點(diǎn)，可以采取不同的分解辦法，并且要靈活轉(zhuǎn)換，考核熟練度。如圖23所示，先對小球m進(jìn)行受力分析，拉力FT和支持力FN的合力與重力mg等大反向，用的是力的三角形和長度的三角形相似，對應(yīng)邊成比例的方法：mghAO=FTL=FNR，因?yàn)閙g、hAO、R不變，所以mghAO=定值，則FN不變。而再掛一個(gè)鉤碼，滑輪右邊的繩子變長，滑輪左邊的繩子L變短，所以FT變小。

再對鉤碼進(jìn)行研究，可以用按效果分解（或者逆向合成）的方法。如圖24所示，兩個(gè)拉力的合力與重力等大反向。當(dāng)重力變大，這兩個(gè)拉力的合力變大的情況下，拉力FT變小，兩繩子之間的夾角2θ變小。

求P和地面之間的相互作用力可研究圓柱體P，也可以把小球和圓柱體P作為整體來研究。因?yàn)镕N大小不變，而FT大小、方向都在變化，研究圓柱體P更方便。如圖25所示為圓柱體P的受力分析，用正交分解的方法，根據(jù)牛頓第二定律：

水平方向：FNsinα=Ff

豎直方向：FNcosα+Mg=F支

滑輪左邊的繩子L變短，小球上移，F(xiàn)N與豎直方向的夾角α變小，sinα變小，cosα變大，而FN不變，所以Ff變小，F(xiàn)支變大。故選A。

四、 結(jié)論

解決平衡問題的兩種解題方法：正交分解的方法和按效果分解的方法。這兩種方法本質(zhì)上是一樣的，都是將力往兩個(gè)已知方向分解，待分解的力只有一個(gè)，或者不止一個(gè)的情況下這些力如果與x、y方向的夾角已知或有內(nèi)在簡單的關(guān)系，比如相等或者互余，一般選正交分解的方法，“量”的關(guān)系就一個(gè)：Fx合=0和Fy合=0，簡單、方便、全面。而如果是三力平衡的情況，正交分解中角度關(guān)系又很復(fù)雜的，用正交分解不易求解，就選按效果分解，如上面例4～例7的受力結(jié)構(gòu)都是一樣的，是典型的按效果分解的題目。并且根據(jù)不同的已知條件，可以利用不同的規(guī)律建立“量”的關(guān)系。相似三角形對應(yīng)邊成比例是“力和長度”的關(guān)系，正弦定理是“兩個(gè)力和兩個(gè)角”的關(guān)系，余弦定理是“三個(gè)力和一個(gè)角”的關(guān)系，圖像法是“力的定性”關(guān)系。實(shí)際上有些較難的連接體平衡類的題目兩種方法都會(huì)用上，甚至同一個(gè)研究對象會(huì)從不同的角度用不同的方法進(jìn)行分析，所以這兩種方法大家要熟練掌握，靈活應(yīng)用。

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