第十章 分式

領(lǐng) "銜 "人：劉東升

組稿團隊：江海初數(shù)工作室

根據(jù)圖1（分?jǐn)?shù)知識結(jié)構(gòu)圖），我們先一起回顧小學(xué)階段對分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)。

進入初中后，從數(shù)到式，我們也可構(gòu)建出如圖2所示的“分式知識結(jié)構(gòu)圖”。

接下來，讓我們從不同的角度求一道分式方程的解，感受分式通分、約分、去分母等變形在解分式方程中的運用。

問題：解方程[1x-1]=[2（x-1）（x+1）]。

解法1：移項后對方程左邊通分，

[1x-1]-[2（x-1）（x+1）]=0，

[x+1-2（x-1）（x+1）]=0，

[x-1（x-1）（x+1）]=0。

這時，如果約分，則出現(xiàn)[1x+1]=0，顯然方程無解；

若不約分，則需滿足[x-1≠0，x-1=0]且x+1≠0，分式值才能等于0，顯然也無解。

綜上，原方程無解。

解法2：方程兩邊同乘以（x-1）（x+1），去分母后，得x+1=2，

∴x=1。

為什么會產(chǎn)生兩種結(jié)果？轉(zhuǎn)化成的整式方程的解與原方程的解難道不一定相同嗎？讓我們把“解法2”得到的x=1代入所去“分母”中，發(fā)現(xiàn)方程兩邊同乘（x-1）（x+1），其中x-1=0！原來x=1只是轉(zhuǎn)化后的整式方程——一元一次方程的解，并不一定是原分式方程的解。故原分式方程無解。像上面這樣，滿足整式方程的解，但不是原分式方程的解的情況，通常稱為“增根”，應(yīng)舍去。因此，解分式方程，在求得整式方程的解后，我們必須檢驗是不是原分式方程的解，這個過程叫作“檢驗”（驗根）。

“檢驗”方法：把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去。

最后，讓我們用圖3對分式全章知識做一次展望吧！