摘 要： 針對周期多孔區(qū)域壓電特征值問題，本文基于二階雙尺度（Second-Order Two-Scale，SOTS）分析方法提出了多尺度漸近有限元法. 該方法將壓電問題的特征函數(shù)和特征值展開為周期參數(shù)的二階級數(shù)，得到其均勻化特征值方程和均勻化系數(shù)，然后根據(jù)“校正方程”的思想計算了特征值的一階和二階校正. 本文對該方法進(jìn)行了算法實現(xiàn)，并在二維多孔結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了驗證. 結(jié)果表明，該方法能夠有效識別多孔區(qū)域的壓電特征值，而且通過將校正項添加到均勻化解中還可以再現(xiàn)位移和電勢的原始特征函數(shù).

關(guān)鍵詞： 壓電特征值問題； 多孔材料； 多尺度漸近展開方法； 二階漸近估計

中圖分類號： O241. 82 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A DOI： 10. 19907/j. 0490-6756. 2024. 041005

1 引言

復(fù)合壓電材料將壓電陶瓷和非壓電聚合物結(jié)合起來［1］，充分利用每種材料最有利的特性，且可被制成多種結(jié)構(gòu). 壓電材料在電場中受力會產(chǎn)生形變和極化，而非壓電材料則對電彈性的性能產(chǎn)生影響. 國內(nèi)外專家學(xué)者開發(fā)了多種方法來描述這些復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的物理和力學(xué)行為［2-4］，其中最常見的是多尺度方法. Nguetseng［5］介紹了雙尺度收斂方法，Allaire［6］隨后開發(fā)了該方法. Deng 等［7］研究了邊界層問題，并用雙尺度有限元方法求解耦合壓電作用下周期結(jié)構(gòu)中復(fù)合材料的電勢和位移. Vanninathan［8］研究了多孔區(qū)域中當(dāng)周期變小時特征值和特征向量的收斂性. Cao 等［9］研究了多尺度方法在多孔域中的二階橢圓方程Dirichlet 問題的譜性質(zhì)及其應(yīng)用. 研究表明，多尺度方法和均勻化可以獲得特征值問題的特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)的近似解.

本文使用多尺度方法［10-16］研究具有周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的多孔域中的壓電特征值問題，旨在獲得特征值和對應(yīng)特征函數(shù)的一階及二階漸近展開式.后文組織如下. 第2 節(jié)介紹周期復(fù)合域，并給出壓電特征值問題. 第3 節(jié)導(dǎo)出特征值和特征函數(shù)的一階與二階漸近展開式，并給出特征值的誤差估計. 第4 節(jié)為方法的算法實現(xiàn). 第5 節(jié)考慮了1 個二維周期結(jié)構(gòu)上的實例. 第6 節(jié)為結(jié)論.

本文采用了Einstein 求和約定的慣例，粗體字母表示矩陣或向量函數(shù).

2 壓電特征值問題

考慮如圖1 所示的二維平面結(jié)構(gòu)的周期多孔壓電結(jié)構(gòu)，區(qū)域Ωε 由許多周期排列的孔洞單胞Y *組成，其中單胞Y * （ y ）= Y - S，Y = [ 0，1]d且d表示維數(shù)，S 為孔洞. S 的邊界為ω，Y 的邊界為?Y，那么單胞Y * 的邊界?Y * 可表示為?Y * =ω ∪ ?Y，從而整個區(qū)域Ωε 可以表示成

其中Ω 是簡單的連通區(qū)域，I 為指標(biāo)集，

I = { z ∈ Zd |ε （Y * + z ）? Ω ? Ωε }.

整個多孔區(qū)域的邊界?Ωε 可表示為

表1 分別列出了ε = 1/8 和ε = 1/16 時的網(wǎng)格信息以及SOTS 方法下的單胞網(wǎng)格和均勻化網(wǎng)格. 很明顯，在宏觀網(wǎng)格下進(jìn)行有限元計算所需的網(wǎng)格的大小比單胞網(wǎng)格和均勻化網(wǎng)格的大小要小得多. 因此，進(jìn)行有限元計算的時間和空間將大大增加. 使用SOTS 有限元方法，單胞網(wǎng)格和均勻化網(wǎng)格的單元數(shù)與結(jié)點數(shù)保持不變，當(dāng)周期ε = 1/16時單胞個數(shù)增多，SOTS 有限元法更具計算優(yōu)勢.表2 給出了前10 個特征值及其估計值和對應(yīng)的相對誤差. 從表中可以看到，均勻化特征值都比參考特征值要大，但都幾乎接近參考值. 當(dāng)加入一階和二階校正后，其相對誤差都小了很多，并且二階校正的相對誤差更小得多，這說明SOTS 方法可以提供比均勻化特征值更好的近似值.

圖4 和圖5 展示了ε = 1/8 時第1 個特征值的特征函數(shù)，包括位移和電勢. 圖4b 的圖像顯示均勻化函數(shù)在區(qū)域上呈平滑線型，說明添加一階和二階的校正可以很好地捕捉到區(qū)域內(nèi)的振蕩. 此外，圖4d 中的二階解明顯近似于圖4a 中的精細(xì)解. 圖5 所示的電勢函數(shù)也觀察到類似的結(jié)果. 由于電勢的數(shù)值巨大，電勢的FOTS 和SOTS 漸進(jìn)解有顯著差異，盡管它們看起來幾乎相同. 因此，我們認(rèn)為二階校正器對于精確反映兩個物理場的局部振蕩行為是不可或缺的.

圖6 給出了ε = 1/16 時的第1 個特征值對應(yīng)的特征函數(shù)的有限元參考解和SOTS 漸進(jìn)解的圖像. 隨著周期ε 的減少，SOTS 解更接近于均勻化解，每個周期內(nèi)的振蕩幅度也變得更小. 更明顯的是，SOTS 解和參考計算之間也更加接近.

6 結(jié)論

本文提出了二階雙尺度漸近方法用于預(yù)測多孔區(qū)域中的壓電特征值模態(tài)問題，獲得了位移和電勢函數(shù)的漸近表達(dá)式. 通過求解一階和二階單胞問題，本文得到了均勻化材料系數(shù). 根據(jù)“校正方程”的思想，本文得到了特征值的一階和二階修正. 本文設(shè)計了相應(yīng)算法，并對具有二維周期多孔的典型復(fù)合材料進(jìn)行了數(shù)值計算. 結(jié)果表明，本方法在模擬周期配置下的彈性位移和電勢方面非常有效，且漸近均勻化有限元算法對于計算機(jī)內(nèi)存和計算時間有限的復(fù)雜壓電問題具有很強(qiáng)的靈活性.

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（責(zé)任編輯： 周興旺）

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