摘 要： 針對(duì)周期復(fù)合結(jié)構(gòu)上的彈性二次特征值問(wèn)題，本文提出了一種基于二階雙尺度（Second-Order Two-Scale， SOTS）方法的多尺度分析方法. 該方法考慮速度阻尼效應(yīng)的二次特征值問(wèn)題，給出了特征值、特征函數(shù)的二階漸近展開，以及特征值的誤差估計(jì). 本文給出了方法的有限元實(shí)現(xiàn)，并通過(guò)近似值和參考解之間的定性和定量比較驗(yàn)證了方法的有效性. 數(shù)值算例結(jié)果表明，特征值與特征函數(shù)中的二階校正項(xiàng)對(duì)于重構(gòu)單胞內(nèi)特征函數(shù)的局部信息發(fā)揮著重要作用.

關(guān)鍵詞： 周期復(fù)合結(jié)構(gòu)； 二階雙尺度漸近分析； 二次特征值問(wèn)題； 線性化

中圖分類號(hào)： O241. 82 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A DOI： 10. 19907/j. 0490-6756. 2024. 041006

1 引言

特征值問(wèn)題在科學(xué)和工程中的許多領(lǐng)域有重要應(yīng)用. 然而，在許多結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，雖然線性特征值分析足以預(yù)測(cè)模態(tài)響應(yīng)，但當(dāng)考慮阻尼項(xiàng)時(shí)卻存在不足. 在系統(tǒng)振動(dòng)分析中經(jīng)常出現(xiàn)多項(xiàng)式特征值問(wèn)題［1］，二次特征值問(wèn)題是多項(xiàng)式特征值問(wèn)題的一種特例. 與廣義特征值問(wèn)題相比，這個(gè)問(wèn)題不太常見(jiàn)，也不太容易被解決，而在大量應(yīng)用中卻必段解決這個(gè)問(wèn)題，特別是在結(jié)構(gòu)力學(xué)、諧波系統(tǒng)、電路仿真及流體力學(xué)的動(dòng)態(tài)分析中.

隨著先進(jìn)材料和結(jié)構(gòu)的快速發(fā)展，具有精細(xì)微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料的性質(zhì)成為一個(gè)備受關(guān)注的研究領(lǐng)域，其中就存在一些重要的數(shù)學(xué)和計(jì)算問(wèn)題需要解決. 當(dāng)前，傳統(tǒng)計(jì)算方法并不能以合理的計(jì)算開銷解決精細(xì)尺度下的高精度計(jì)算問(wèn)題，且可能導(dǎo)致解的不一致穩(wěn)定，特別是當(dāng)我們考慮由非均質(zhì)材料組成的結(jié)構(gòu)時(shí)計(jì)算成本很高，因而通常使用材料的宏觀或均勻化信息來(lái)進(jìn)行建模.

在Marchenko 等［2］提出多尺度漸近展開法之后，Ngnetseng［3］和Allaire［4］提出了雙尺度收斂方法，提供了一種獲得均勻化模型的方法. 此外，對(duì)于復(fù)合材料，Liu 等［5］指出，幾乎所有復(fù)合材料都具有多尺度特征. 為了更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)復(fù)合材料的物理和力學(xué)性能，Cui 等［6］提出了一種考慮二階校正項(xiàng)的二階雙尺度（Second-Order Two-Scales，SOTS）方法. Cao 等［7］給出了多孔區(qū)域中具有混合邊界的橢圓特征值問(wèn)題的二階漸近級(jí)數(shù)收斂性的嚴(yán)格證明. Ma 等［8］還將SOTS 方法擴(kuò)展到坐標(biāo)變換下具有周期性構(gòu)型的復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)問(wèn)題.該方法的一些其他應(yīng)用還有Steklov 彈性特征問(wèn)題［9］以及擬周期孔洞結(jié)構(gòu)的橢圓特征值問(wèn)題［10］等.

本文將使用二階雙尺度漸近展開方法研究周期復(fù)合結(jié)構(gòu)下彈性二次特征值問(wèn)題. 我們首先進(jìn)行雙尺度漸近分析，然后給出數(shù)值算例驗(yàn)證了漸近模型的有效性.

除非特別指出，本文中均使用Einstein 求和約定.

2 周期復(fù)合結(jié)構(gòu)下的彈性二次特征值問(wèn)題

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們考慮二維問(wèn)題. 周期復(fù)合結(jié)構(gòu)如圖1a 所示，記為Ωε，其代表單胞Q 由圖1b 所示，其關(guān)系表示為

設(shè)x 和y 分別為宏觀坐標(biāo)和微觀坐標(biāo)，相互關(guān)系用一個(gè)小參數(shù)ε表示為y= x/ε-?x/ε?，其中???代表向下取整運(yùn)算.

考慮具有速度阻尼項(xiàng)的彈性二次特征值問(wèn)題

假設(shè)Ωε =[ 0，1 ]2. 在圖2a 所示的二維周期復(fù)合結(jié)構(gòu)Ωε 中，單胞結(jié)構(gòu)域如圖2b，單胞由2 種材料組成，中心為半徑為0. 3 的圓，材料信息列在表1 中.

為了執(zhí)行有限元計(jì)算并驗(yàn)證SOTS 漸近算法的收斂性，表2 中給出了具有不同ε 的計(jì)算網(wǎng)格的信息. 可以清楚地看到，SOTS 計(jì)算的網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)遠(yuǎn)大于FE 精細(xì)計(jì)算的網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)，并且由于其獨(dú)立于ε，漸近計(jì)算只執(zhí)行1 次，大大節(jié)省了內(nèi)存以及計(jì)算時(shí)間. 在經(jīng)過(guò)一階單胞函數(shù)的有限元計(jì)算之后，我們可以根據(jù)等式（8）得到均勻化系數(shù)

ρ0 = 3.767，c0 = 0.354，

對(duì)于振動(dòng)分析，只有前幾個(gè)最小的特征模是有意義的. 因此我們只計(jì)算前10 個(gè)特征值并在表3 中列出了ε = 1/8 時(shí)的特征值和相對(duì)誤差. 可以看出，均勻化和一階校正后的相對(duì)誤差結(jié)果之間相差不大，與精確的特征值之間差距較大，而通過(guò)二階校正后所得到的結(jié)果明顯好于一階，因而進(jìn)行二階校正很有必要.

下面對(duì)特征函數(shù)進(jìn)行分析，在圖3 中給出當(dāng)ε = 1/8 時(shí)第1 個(gè)特征函數(shù)第2 個(gè)分量的實(shí)部Re （ uε2，1 ） 的估計(jì)，精細(xì)解如圖3a 所示，均勻化解如圖3b. 可以看出曲線是足夠光滑的，足以描繪精細(xì)解的宏觀行為，當(dāng)增加一階（圖3c）或者二階校正項(xiàng)（圖3d）后，雖然都能夠捕捉精細(xì)解的局部振蕩行為，但是經(jīng)過(guò)二階校正后的圖像明顯更加逼近精細(xì)解.

為了進(jìn)一步證明特征函數(shù)漸近計(jì)算的效果，在圖4 中我們給出了當(dāng)ε = 1/8 和ε = 1/16 時(shí)第6個(gè)特征值（單特征值）對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)的第2 個(gè)分量的虛部Im （ uε2，6 ） 在x1 = x2 軸上的比較. 從圖4b中可以看出，當(dāng)ε 變小時(shí)，雖然特征函數(shù)的振蕩頻率變高了，但是從細(xì)節(jié)圖中仍然可以看出二階校正項(xiàng)在逼近精細(xì)解中發(fā)揮著重要作用.

6 結(jié)論

在本文中，我們應(yīng)用二階多尺度漸近分析方法來(lái)解決周期復(fù)合域中的彈性二次特征值問(wèn)題.通過(guò)對(duì)特征函數(shù)和特征值的漸近展開定義一階和二階單胞函數(shù)，并通過(guò)引入適當(dāng)?shù)妮o助彈性函數(shù)，得到了特征值和特征函數(shù)校正器的非線性表達(dá)式. 接著我們建立了有限元，通過(guò)數(shù)值算例證明漸近模型的有效性. 本文得出結(jié)論：對(duì)于較小的ε，漸近模型的表現(xiàn)效果更好，而且添加二階校正對(duì)于捕捉特征函數(shù)局部微觀信息是有必要的.

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（責(zé)任編輯： 周興旺）

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