摘 要： 對(duì)周期復(fù)合域的二次特征值問題（Quadratic Eigenvalue Problem，QEP），本文提出了一種二階雙尺度（Second-Order Two-Scale，SOTS）漸近分析和計(jì)算方法. 該方法考慮一種包含速度阻尼的典型QEP，對(duì)特征函數(shù)進(jìn)行漸近展開并設(shè)計(jì)了有限元算法，采用線性化方法求解均勻化二次特征值問題. 數(shù)值算例表明，該方法可以有效處理此類非線性特征值問題，且二階校正器在描述特征函數(shù)的局部行為和高效獲得特征值的逼近值等方面起著重要作用.

關(guān)鍵詞： 周期復(fù)合域； 二次特征值問題； 二階雙尺度分析

中圖分類號(hào)： O241. 82 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A DOI： 10. 19907/j. 0490-6756. 2024. 041007

1 引言

在許多結(jié)構(gòu)中，線性特征值足以表示結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)和頻率. 盡管如此，當(dāng)振動(dòng)模型含有阻尼效應(yīng)時(shí)，就需要考慮二次特征值問題（Quadratic EigenvalueProblem， QEP）［ 1］. 此外，二次特征值問題還在許多方面有其應(yīng)用，如聲學(xué)器件的線性振蕩［2， 3］、流體的線性穩(wěn)定性分析［4， 5］、信號(hào)自回歸過程［6］，等. Eisenfeld［7］證明二次特征值問題解的存在性并研究了解的特征. Tisseur 和Meerbergen［1］研究了二次特征值問題的一些應(yīng)用、數(shù)學(xué)性質(zhì)及數(shù)值分析. Walsh 等［8］提出了求解二次特征值問題的算法.Higham 等［9］則研究了二次特征值問題數(shù)值解的穩(wěn)定性.

隨著對(duì)于各種工業(yè)應(yīng)用復(fù)合材料需求的不斷涌現(xiàn)，對(duì)強(qiáng)異質(zhì)材料的光譜特性進(jìn)行研究顯得十分必要和迫切. 在求解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上成分組成的復(fù)合材料上的二次特征值問題時(shí)，為了提高計(jì)算效率人們引入了均勻化策略，用多尺度建模來描述其宏觀行為，并利用漸近展開方法來捕捉各種數(shù)學(xué)、物理和機(jī)械問題的局域振蕩細(xì)節(jié)［10］. Marchenko等［11］首次提出了多尺度漸近展開法，該方法在材料系數(shù)快速振蕩的周期結(jié)構(gòu)研究中發(fā)揮重要作用. 理論上，Nguetseng［12］和Allaire［13］引入并發(fā)展了雙尺度收斂的概念，驗(yàn)證了多尺度擴(kuò)展技術(shù)的有效性.這種漸近分析同樣適用于復(fù)合域中的特征值問題.Kesavan［14， 15］引入“修正方程”的思想，得到了效果很好的特征函數(shù)和特征值的漸近展開式. Cui 等［16］系統(tǒng)地導(dǎo)出了二階雙尺度（Second-Order Two-Scale，SOTS ）漸近展開式，以便在實(shí)際計(jì)算中準(zhǔn)確快速地捕捉原始解的強(qiáng)振蕩. 在此基礎(chǔ)上，我們還將SOTS 方法應(yīng)用于Steklov 彈性特征值問題以及曲線坐標(biāo)系中多孔材料模型特征值問題［17， 18］.

本文研究周期復(fù)合材料模型的二次特征值問題. 我們先進(jìn)行理論分析，然后給出數(shù)值算例驗(yàn)證二階雙尺度方法在復(fù)合材料上的二次特征值問題的有效性. 除非特別指出，本文中均使用Einstein 求和約定，即重復(fù)指標(biāo)表示求和.

2 二次特征值問題

考慮周期復(fù)合材料Ωε 由多種材料組成，如圖1a所示，對(duì)應(yīng)的單胞Q 如圖1b 所示.

在得到單胞域Q 上的一階單胞函數(shù)Np 后，可以計(jì)算出均勻系數(shù)m0、c0 和k 0ij 為k 0ij = k0 δij， k0 =0. 609 84， m0 = 0. 7612， c0 = 0. 3756. 由于原問題的精確解難以求出，這里將在原宏觀區(qū)域細(xì)網(wǎng)格下計(jì)算得到的解作為精確解與各階逼近解進(jìn)行比較.從圖3 中可以看出，均勻解u10比較光滑，足以描述原始解的宏觀特征. 添加一階校正器u11可以更好地描述域Ωε 內(nèi)的振蕩，但不夠顯著，因而有必要添加二階校正器u12 來捕捉更多的微觀特征. 因此，我們可以說均勻解也是特征函數(shù)的適當(dāng)近似. 此外，通過對(duì)比圖3（c～f）可以觀察到，隨著ε 的減小SOTS 近似解將更接近精確解.

根據(jù)式（13）和式（14）中λi1 和λi2 的積分表達(dá)式，表3 和表4 分別列出了當(dāng)ε = 1/8 和ε = 1/16 時(shí)前8個(gè)特征值的計(jì)算近似值. 可以看出，均勻解λi0 與λiε十分接近，加上一階校正器后兩者差別不大，通過添加二階校正器λiε，2 得到了顯著改進(jìn)結(jié)果. 隨著ε 的減小，特征值近似值和精確值之間的誤差減小，注意到eλ，i2 減小最快，這與理論結(jié)果相一致.

6 結(jié)論與展望

本文首先將SOTS 表達(dá)式應(yīng)用于具有周期復(fù)合域的二次特征值問題，定義了一系列單胞函數(shù)，得到了均勻均勻化QEP 問題. 在此基礎(chǔ)上，對(duì)漸近解進(jìn)行組裝，以捕獲更多的微觀特征. 同時(shí)，通過引入輔助函數(shù)，先后得到特征值的FOTS解和SOTS解，并建立特征值的誤差估計(jì). 進(jìn)一步， 我們建立了基于SOTS的有限元算法. 最后，數(shù)值算例表明，本文提出的方法能有效模擬原始二次特征值問題的特征函數(shù)和特征值.

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（責(zé)任編輯： 周興旺）

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