摘要： 針對基于鄰域塊匹配的超維算法在重建過程中每次只能對1 個待重建塊進行重建，并且字典搜索過程十分耗時導(dǎo)致重建效率低的問題，本文提出了2 種方法來對基于鄰域塊匹配的超維算法進行計算速度的優(yōu)化. 首先，將分區(qū)域重建應(yīng)用到基于鄰域塊匹配的超維算法中，提出了分區(qū)域并行重建算法，實現(xiàn)了對多個待重建塊同時進行重建；其次，在對每次字典元素搜索的過程中，使用了字典并行搜索，實現(xiàn)了這一過程的加速；最后將這2 種方法進行結(jié)合，并且通過高中低3 種不同孔隙度的訓(xùn)練圖像生成的字典來對二維參考圖像進行多次重建.通過將本文提出的算法、基于鄰域塊匹配的超維算法以及一些傳統(tǒng)重建算法的重建結(jié)果和真實巖心三維結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計特征參數(shù)進行對比并且將不同重建算法的重建時間進行對比，來驗證本文改進的超維算法的有效性.

關(guān)鍵詞： 三維重建； 超維重建； 多孔介質(zhì)； 并行算法； 多線程

中圖分類號： TP391 文獻標志碼： A DOI： 10. 19907/j. 0490-6756. 2024. 043002

1 引言

在數(shù)字巖心重建領(lǐng)域中，利用二維圖像進行三維巖心重建是熱點研究方向. 重建算法主要分為傳統(tǒng)算法和基于學(xué)習(xí)的算法. 傳統(tǒng)算法有模擬退火［1］（ Simulated Annealing，SA）和多點地質(zhì)統(tǒng)計［2］（Multiple-point Geostatistics，MPS）以及相對應(yīng)的改進算法［3］. 在基于學(xué)習(xí)的算法的領(lǐng)域中，Mosser 等［6］使用了對抗網(wǎng)絡(luò)模型［7］對砂巖進行了重建，F(xiàn)eng 等［8］首次提出了BicycleGan［9］這一網(wǎng)絡(luò)模型的二維到三維的重建. He 等基于學(xué)習(xí)和模式匹配的概念，提出了超維［10］（Super-Dimension，SD）的重建算法. 該算法成功地將相似的三維結(jié)構(gòu)作為先驗信息來引導(dǎo)三維重建. SD 算法包括選擇訓(xùn)練圖像建立字典以及根據(jù)二維參考圖像進行三維重建. 之后Li 等將馬爾可夫過程塊匹配［11，12］應(yīng)用到字典建立過程中，使重建過程學(xué)習(xí)到了先驗信息，從而提高了匹配的精確度. Xia 等［13］提出了基于鄰域塊匹配的超維重建算法，優(yōu)化了字典的匹配方式，提高了重建精度.

本文基于分區(qū)域重建和多線程提出了分區(qū)域并行重建算法和字典并行搜索，進一步提高了超維重建算法的效率. 首先，將待重建區(qū)域分為多個區(qū)域，不同區(qū)域進行并行重建；其次，在字典搜索匹配的過程中，使用多線程來對字典元素進行并行搜索匹配. 實驗結(jié)果表明，基于不同的參考圖像，本文提出的算法可以在保證重建出較好的三維結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上減少重建時間，提高超維算法的重建效率.

2 算法理論介紹

2. 1 基于鄰域塊匹配的超維算法介紹

2. 1. 1 字典建立過程

在訓(xùn)練過程中，將對樣本空間的一些三維特征進行學(xué)習(xí)，比如模式信息等，并將這些三維特征信息建立二維塊到三維塊的映射關(guān)系，通過此映射關(guān)系建立超維字典. 在真實的巖心樣本中依次截取三維塊，基于塊和字典的概念，將這些三維塊保存為字典，用“Value”表示中心塊，“Key”表示鄰域塊，圖1 為匹配對模塊的結(jié)構(gòu)和其結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的位置.

鄰域塊分為左鄰域塊、前鄰域塊和下鄰域塊.考慮到巖心樣本的尺度和匹配過程的復(fù)雜度，若三維塊尺寸越小，字典建立過程越難以學(xué)習(xí)到真實巖心樣本的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系，若三維塊尺寸過大，則需要很大的空間來儲存字典，并且匹配時間也會很長. 基于此，我們將三維塊表示為5×5×5 的正方體. 字典完整的建立過程如圖2 所示. 圖2中，使用鄰域塊匹配對模板并采用光柵路徑的方式對真實巖心進行掃描，將每次掃描到的匹配對保存到字典集中作為1 個字典元素.

2. 1. 2 三維重建過程

在重建初期，先建立全空的三維結(jié)構(gòu)，將二維參考圖像作為待重建三維結(jié)構(gòu)的第1 層，然后利用光柵路徑掃描的方式對待重建的三維結(jié)構(gòu)進行掃描，對于每個待重建塊，基于其所有的鄰域塊在字典中進行搜索匹配，將匹配字典元素的中心塊的數(shù)值賦予給待重建塊. 在全空的三維結(jié)構(gòu)中，底部第1 層和邊界區(qū)域沒有完整的鄰域塊對字典進行匹配，那么對于這些待重建塊只利用那些有限的鄰域條件進行匹配. 待重建塊和字典元素之間的匹配標準主要參考了鄰域塊匹配機制和孔隙度控制機制，定義如下.

字典匹配時，會對待重建塊的鄰域塊和字典元素計算匹配因數(shù)，如式（1）所示. 同時利用高斯權(quán)重分布對不同體素進行加權(quán)，高斯權(quán)重公式如式（2）所示.

其中M 為匹配因數(shù)，DicBlock 為字典元素的鄰域塊，RecBlock 為重建鄰域塊，i 為字典元素鄰域塊和重建鄰域塊的體素，| DicBlock （ i ）- RecBlock （ i ） |為匹配差的絕對值，Z 為每次匹配時體素的總數(shù).ω （ d ） 為高斯權(quán)重分布，d 為不同體素相對于中心塊的距離，通常將參數(shù)σ 設(shè)為1. 5，體素距離中心塊越近時，權(quán)重越大，體素距離中心塊越小時，權(quán)重越小.

孔隙度是巖心三維結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)之一，可以在一定程度上反映巖心三維結(jié)構(gòu)的相似性［13］.因此超維重建要使用孔隙度控制機制來對重建過程進行控制.

在開始重建之前，首先使用式（3）計算參考圖像的孔隙度，其中Φref 為參考圖像的面孔率，Srefpore為參考圖像孔隙相的總面積，Sref 為參考圖像的面積. 之后利用式（4）對于每次的重建都計算當前已經(jīng)重建好的結(jié)構(gòu)的孔隙度，其中Φrec 為當前完成重建的三維結(jié)構(gòu)的孔隙度，Vrecpore 為完成重建的三維結(jié)構(gòu)中孔隙相的體積，Vrec 為完成重建的三維結(jié)構(gòu)的體積.

之后我們使用式（5）對當前的孔隙度進行分類，并且標記孔隙度的狀態(tài)，我們提出了閾值參數(shù)β，β 的定義如式（6）所示. 在重建的過程中，β 的值也隨之發(fā)生改變，這個改變會使孔隙度的控制機制隨重建的進行而逐漸嚴格. 根據(jù)重建經(jīng)驗，將λ的值設(shè)為0. 05，ρ 為已完成重建的體積比.

在對每個待重建塊進行重建時，我們從字典中對當前的待重建塊選擇3 個匹配因數(shù)最高的候選塊，然后從這3 個候選塊中計算出孔隙度最大的候選塊ElementMax 和孔隙度最小的候選塊ElementMin，若當前孔隙度的狀態(tài)為Low 時，則選擇候選塊ElementMax，若當前孔隙度的狀態(tài)為High 時，則選擇候選塊ElementMin. 若孔隙度的狀態(tài)處于Normal，則隨機從3 個候選塊中選擇一個.

3 引入多線程的超維重建算法

3. 1 算法設(shè)計以及加速方法

基于鄰域塊匹配的超維算法的重建方向為固定的光柵路徑方向，因此在重建過程中，必須待前1 個重建塊重建完成后，才可以進行下1 個重建塊的重建. 這導(dǎo)致每個時間點都只對1 個待重建塊進行重建，從而使整個重建過程效率低. 因此可以將分區(qū)域重建引入到超維算法中，在重建過程中，將整個巖心的待重建區(qū)域分成多個區(qū)域，每個區(qū)域使用不同線程進行并行重建，從而實現(xiàn)對多個待重建塊同時進行重建. 同時超維算法所建立的字典集含有數(shù)萬個字典元素，在對三維結(jié)構(gòu)進行重建時，待重建塊的鄰域塊需要和字典的每個元素進行匹配，這導(dǎo)致每個待重建塊都要進行上萬次的匹配，這也是超維算法十分耗時的原因. 因此可以使用多線程來對字典進行并行搜索匹配，從而實現(xiàn)對該過程的加速. 基于上述的2 個問題，本文設(shè)計了分區(qū)域并行重建算法和字典并行搜索，并將2 種方法進行結(jié)合，具體實現(xiàn)方法如下.

3. 2 分區(qū)域并行重建算法

基于本文3. 1 節(jié)所述，若要同時對M 個塊進行重建，則需要將整個待重建區(qū)域分成M 個區(qū)域，同時為了保證分區(qū)域后超維算法重建出的三維結(jié)構(gòu)和文獻［13］中的超維算法重建出的三維結(jié)構(gòu)相似以及考慮到計算機本身的線程數(shù)量，本文中取M為2，即將整個待重建區(qū)域分為2 個區(qū)域，但如果區(qū)域劃分過多，最終重建出的三維結(jié)構(gòu)會出現(xiàn)一定的不連續(xù)性，為了保證分區(qū)域后超維算法重建出的三維結(jié)構(gòu)和文獻［13］中的超維算法重建出的三維結(jié)構(gòu)相似，本文中取M 為2，即將整個待重建區(qū)域分為2 個區(qū)域，具體方法流程如圖3 所示. 在圖3中，將整個待重建區(qū)域分為2 個區(qū)域進行重建，對于每個掃描到的待重建塊，其數(shù)值為最終通過匹配的字典元素中心塊的值. 當待重建結(jié)構(gòu)中的所有待重建塊都完成重建時，整個重建過程就結(jié)束.

重建過程中具體的線程選擇如式（7）. Thread為所選線程，sl = 5 為重建步長，YRefImage 為參考圖像的長，XRefImage 為參考圖像的寬. 重建剛開始時，先對0～4 層進重建，. 此時重建路徑基于輸入的參考圖像，從左上角x = 0，y = 0 開啟線程Thread1，開始對第1 行進行重建，每次重建完1 個三維塊時，x + sl.

當?shù)? 行的待重建塊重建完成一半時，既當完成對x = （XRefImage /2） + （sl - （XRefImage /2）% sl ）- sl處重建時，開啟線程Thread2，線程Thread2 從x =（XRefImage / 2） + （sl - （XRefImage / 2） % sl ） 處進行重建，并重建至所需寬度.

當開啟線程Thread2 時，當前層的右半部分由線程Thread2 負責(zé)，不再由線程Thread1 負責(zé). 線程Thread1 負責(zé)整個重建區(qū)域的左半部分，并按照光柵路徑進行重建. 線程Thread2 負責(zé)整個重建區(qū)域的右半部分，并按照光柵路徑進行重建，直至完成對整個三維結(jié)構(gòu)的重建.

由于整個重建過程基于鄰域塊匹配機制，因此對于每行的重建，只有當線程Thread1 重建完左半部分時，線程Thread2 才可以開啟. 而對于整個三維結(jié)構(gòu)的重建，每層的重建要基于之前層進行，即當?shù)趌 層至l + 4 層全部重建完成時，才可以對第l + sl 層至l + 4 + sl 層進行重建.

由于整個重建過程基于孔隙度控制機制，為了保證分區(qū)域重建的三維結(jié)構(gòu)整體的孔隙度和基于鄰域塊匹配的超維算法接近，在進行分區(qū)域重建時，仍計算整體的孔隙度來對重建進行約束，仍然使用式（4）中的Φrec 代表當前完成重建的三維結(jié)構(gòu)的孔隙度，Vrecpore 此時為圖3 中所有已重建塊和鄰域塊中孔隙相的體積，Vrec 此時代表圖3 中所有已重建塊和鄰域塊的體積.

3. 3 字典并行搜索

在本文中，對字典進行多線程并行搜索匹配的策略使用了OpenMP［14，15］. 在字典搜索匹配過程中，將字典集分成K 個區(qū)域，每個區(qū)域都開啟1 個獨立的線程來進行搜索匹配，并且每個線程都選擇1 個匹配因數(shù)最高的字典做為候選塊，之后利用孔隙度控制機制在K 個候選塊中選出最佳候選塊.

考慮到2. 1 節(jié)中整個字典搜索匹配過程中所選擇的候選塊的個數(shù)以及計算機本身的線程數(shù)量，同時OpenMP 中線程的開啟和關(guān)閉也需要一定的時間，因此本文中將取K 為3. 即開啟3 個線程對字典進行并行搜索. 假設(shè)字典集的元素個數(shù)為N，此時我們令Q = N/K，R = N%K. 字典并行搜索的示意圖如圖4 所示.

如圖4 所示，若N 個字典可以平均分為3 個區(qū)域，即R = 0，則每個線程對Q 個字典元素進行搜索匹配，若N 個字典不可以均分，則將最后剩余的R 個字典使用最后1 個線程進行搜索匹配.

4 實驗及結(jié)果分析

利用計算機的斷層掃描（Computed Tomography）可以獲得巖心真實的三維微觀結(jié)構(gòu)，在真實的巖心三維結(jié)構(gòu)序列圖中抽取1 張作為二維參考圖像，并通過本文提出的方法進行重建. 本章實驗采用 128 GB RAM、Inte（l R） Core（TM） I912900K3. 19 GHz 的64 位處理器的計算機. 將重建結(jié)果和文獻［13］提出的基于鄰域塊匹配的超維重建算法、模擬退火算法［1］、MPS 算法［2］重建出的結(jié)果進行對比，來驗證本文提出的算法的有效性.

4. 1 算法有效性分析實驗

分別對高孔隙度、中孔隙度、低孔隙度3 種不同孔隙度的巖心進行重建實驗，實驗中的每組字典分別是該組巖心的CT 序列圖. 我們從3 種CT序列圖中抽取的二維參考圖像如圖5 所示. 它們的面孔率分別為18. 75%、11. 27%、6. 77%，點尺寸長度為15. 0 μm，圖片尺寸大小為128×128. 圖片中的白色區(qū)域為孔隙相，黑色區(qū)域為巖石相.

在實驗中，將3. 2 節(jié)和3. 3 節(jié)中的2 種方法進行結(jié)合來對3 張參考圖像進行10 次重復(fù)實驗，同時分別使用文獻［13］的超維算法、SA 算法、MPS算法進行5 次重復(fù)實驗來和本文方法進行對比.

4. 1. 1 三維結(jié)構(gòu)對比

從不同算法的重復(fù)實驗中隨機抽取1 組，生成三維結(jié)構(gòu)進行對比，如圖6所示. 在圖6 中，（a）三維結(jié)構(gòu)A、（f）三維結(jié)構(gòu)B、（k）三維結(jié)構(gòu)C，分別代表了a、b、c 3 張參考圖像所對應(yīng)的真實巖心三維結(jié)構(gòu)，（b）～（e）分別代表了參考圖像a 基于不同算法所重建出的三維結(jié)構(gòu)，（g）～（j）分別代表了參考圖像b 基于不同算法所重建出的三維結(jié)構(gòu)，（l）～（o）分別代表了參考圖像c基于不同算法所重建出的三維結(jié)構(gòu). 從重建出的三維結(jié)構(gòu)看，本文所改進的超維算法和文獻［13］所提出的超維算法在視覺上基本一致，并且和真實巖心的三維結(jié)構(gòu)相似，但SA 算法和MPS 算法所重建的結(jié)果和真實的巖心三維結(jié)構(gòu)有一定的差異，從整體結(jié)果來看，本文改進的超維算法和文獻［13］所提出的超維算法在重建出的三維結(jié)構(gòu)上基本保持一致，并且和真實巖心的三維結(jié)構(gòu)基本保持一致.

4. 1. 2 統(tǒng)計特征參數(shù)對比

對于數(shù)字巖心，統(tǒng)計特征參數(shù)可以反映重建結(jié)構(gòu)的微觀信息，常用的統(tǒng)計特征參數(shù)有兩點相關(guān)函數(shù)［16］、線性路徑函數(shù)［17］、兩點簇函數(shù)等［18］. 而對于三維巖心孔隙相的空間分布，局部孔隙度［19］這一參數(shù)可以很好地對其進行反映. 在本節(jié)中使用兩點相關(guān)函數(shù)、線性路徑函數(shù)、兩點簇函數(shù)、局部孔隙度來對不同算法重建出的三維結(jié)構(gòu)和真實巖心進行分析對比. 對比結(jié)果如圖7～圖9 所示. 圖7～圖9 分別表示了3 張參考圖像基于不同算法重建出的三維結(jié)構(gòu)和真實巖心統(tǒng)計特征參數(shù)的對比.

從統(tǒng)計特征參數(shù)來看，本文所改進的算法的統(tǒng)計特征參數(shù)和文獻［13］中的超維算法的統(tǒng)計特征參數(shù)十分接近，并且和真實巖心的統(tǒng)計特征參數(shù)較吻合，SA 算法和MPS 算法的統(tǒng)計特征參數(shù)和真實巖心的統(tǒng)計特征參數(shù)的差異要大于本文所改進的算法的統(tǒng)計特征參數(shù). 從曲線走勢和達到平穩(wěn)時的參數(shù)來看，本文所改進的算法的重建結(jié)果也十分接近于真實巖心.

從局部孔隙度來看，本文所改進的算法和文獻［13］中的超維算法相對于真實巖心，局部孔隙度峰值具有一定的差異，但是局部孔隙度分布的展寬基本保持一致. 這表明2 種算法重建出的三維結(jié)構(gòu)和真實巖心孔隙分布情況基本保持一致，但均質(zhì)性方面有一定的差異. 從整體結(jié)果來看，本文所改進的算法重建出的三維結(jié)構(gòu)參數(shù)和文獻［13］中的超維算法基本保持一致，并且接近于真實的巖心.

4. 1. 3 孔隙度對比

對重建的三維結(jié)構(gòu)進行孔隙度計算，其中對本算法重建10 次的結(jié)果計算平均值，對文獻［13］中的超維算法、SA 算法、MPS 算法重建5 次的結(jié)果計算平均值，計算結(jié)果如表1 所示. 從表中可以看出，本文改進的算法和文獻［13］中的超維算法的計算結(jié)果基本一致.

4. 1. 4 時間對比

為說明引入多線程后超維算法的效率，我們對3 張參考圖像的重建時間進行平均對比，其中本文算法進行10 次重建求平均，文獻［13］中的超維算法、SA 算法、MPS 算法進行5 次重建求平均，時間對比如表2 所示. 從實驗結(jié)果可以看出，本文改進的算法相比于文獻［13］中的超維算法在速度上有明顯提升，提升效率約為75％.同時，本文改進的算法相比于MPS 算法、SA 算法也有時間上的優(yōu)勢. 在保證重建結(jié)果的同時，本文改進的算法在重建效率上有明顯提升.

表3 為分別單獨使用分區(qū)域并行重建算法和字典并行搜索對參考圖像a 進行5 次重建的平均時間對比. 從表 3 可以看出，分區(qū)域并行重建算法相比于文獻［13］中的超維算法在時間上的提升約為49％，而字典并行搜索的提升約為60％.

4. 2 泛化性實驗

為了證明本文提出的方法具有泛化性，選用不同于3 組參考圖像孔隙度的巖心CT 序列圖生成字典，再對3 張參考圖像分別進行5 次重建. 本組實驗采用孔隙度為20. 47% 的巖心建立字典. 圖5中的3 張參考圖像基于本文算法、文獻［13］中的超維算法、SA 算法、MPS 算法所重建出的三維結(jié)構(gòu)如圖10 所示，（c）（h）（m）分別代表了3 張參考圖像按照新字典所建出的三維結(jié)構(gòu). 從結(jié)果來看，使用不同于參考圖像孔隙度的巖心生成的字典來進行重建出的三維結(jié)構(gòu)和文獻［13］中的超維算法在視覺上基本一致，并且和真實巖心的三維結(jié)構(gòu)相似.

圖11～圖13 為重建結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計特征參數(shù)和局部孔隙度對比結(jié)果，從對比結(jié)果可以看出本文所改進的算法在使用新的字典所生成的三維結(jié)構(gòu)和真實巖心三維結(jié)構(gòu)相似，參數(shù)曲線都較為吻合. 從視覺以及參數(shù)分析來看，本文所改進的超維算法具有泛化性.

5 結(jié)論

本文在基于鄰域塊匹配的超維算法的基礎(chǔ)上提出了分區(qū)域并行重建算法和字典并行搜索. 在重建階段，將待重建區(qū)域分成為個區(qū)域，每個區(qū)域使用不同線程進行并行重建，實現(xiàn)了多個待重建塊同時重建. 在字典匹配階段，使用OpenMP 開啟多個線程來對字典元素進行并行搜索匹配. 在后續(xù)的實驗中，使用了不同字典來對參考圖像進行重建. 從重建結(jié)果來看，本文所改進的超維算法可以在保證重建效果的前提下，有效地減少重建所需時間，并且本文所改進的超維算法具有泛化性.

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（責(zé)任編輯： 白林含）

基金項目： 國家自然科學(xué)基金（62071315）