摘 要：針對并聯(lián)機(jī)械手的運(yùn)動精度，以某三自由度主軸頭為例，提出一種基于最小誤差模型的運(yùn)動精度校準(zhǔn)方法。通過消除冗余幾何源誤差，建立包含最少幾何源誤差的最小誤差模型，采用蒙特卡羅法模擬進(jìn)行幾何源誤差靈敏度分析，研究各幾何源誤差對終端精度的相對影響。在此基礎(chǔ)上提出粗校準(zhǔn)和精校準(zhǔn)相結(jié)合的分層辨識策略，以實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)械手的精度校準(zhǔn)。通過校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)測試表明：所提出的校準(zhǔn)方法能夠大幅降低并聯(lián)機(jī)械手的終端誤差，驗(yàn)證了所提校準(zhǔn)方法的有效性。

關(guān)鍵詞：并聯(lián)機(jī)械手；運(yùn)動學(xué)校準(zhǔn)；誤差建模；敏感性分析；誤差校準(zhǔn)

中圖分類號：TP241 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號：1671-5276（2024）04-0241-04

Identification of Redundant Minimum Error of Parallel Manipulator and Experimental Verification

MA Guangjian

（Henan Institute of Artificial Intelligence， Zhengzhou 450046， China）

Abstract：Aimed at the motion accuracy of redundant driven parallel manipulator， and a three degree of freedom spindle head taken as an example， a motion accuracy calibration method based on minimum error model is proposed.The redundant geometric source error is eliminated to establish the minimum error model including the minimum geometric source error， and the sensitivity of geometric source error is analyzed by Monte Carlo simulation to study the relative impact of each geometric source error on terminal accuracy. On this basis， a hierarchical identification strategy combining coarse calibration and fine calibration is proposed to realize the accuracy calibration of redundant driven parallel manipulator. The calibration experiments show that the proposed calibration method can greatly reduce the terminal error of redundant driven parallel manipulator， and verify the effectiveness of the method.

Keywords：redundant driven parallel manipulator; sports school admission; error modeling; sensitivity analysis; error calibration

0 引言

數(shù)控混合五軸加工是解決復(fù)雜幾何曲面零件的重要途徑^[1]。并聯(lián)機(jī)器手作為主軸頭高質(zhì)量加工的重要部件，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜幾何零件加工精度的重要保障。與非冗余驅(qū)動形式相比，冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器手（redundant driven parallel manipulator， RAPM）通常具有更好的靈巧性、更高的剛度和更好的動態(tài)性能等相對優(yōu)勢^[2]。采用三自由度RAPM作為主軸頭進(jìn)行高質(zhì)量加工時(shí)，必須保證其運(yùn)動精度。

近年來，冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人引起了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的高度關(guān)注。機(jī)器人運(yùn)動精度的校準(zhǔn)是實(shí)現(xiàn)機(jī)器人高運(yùn)動精度的重要手段。YANG等^[3]根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動學(xué)誤差建模理論，提出了一種基于Matlab的數(shù)值仿真方法，并采用最小二乘法識別6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過仿真驗(yàn)證了該標(biāo)定算法的魯棒性和有效性。ROSYID等^[4]采用迭代法對混合運(yùn)動機(jī)床和3-P（Pa）S并聯(lián)主軸頭進(jìn)行了誤差識別，采用非線性最小二乘算法對機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。周星等^[5]針對6關(guān)節(jié)機(jī)器人的標(biāo)定方法，提出了5點(diǎn)優(yōu)選TCP標(biāo)定優(yōu)化改進(jìn)模型，通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該改進(jìn)算法標(biāo)定精度的有效性。王憲倫等^[6]在串聯(lián)機(jī)器人單孔標(biāo)定方法的基礎(chǔ)上，通過MDH誤差建模提出了多孔標(biāo)定優(yōu)化方法，該方法通過實(shí)驗(yàn)表明具有較高的定位精度。朱衡等^[7]采用粒子群算法對6自由度機(jī)械臂關(guān)節(jié)參數(shù)進(jìn)行了標(biāo)定，該方法具有較好的收斂性，同樣通過實(shí)驗(yàn)表明該方法在提升標(biāo)定精度上具有一定的優(yōu)勢。陳爽等^[8]采用PSO算法對工業(yè)機(jī)器人的定位精度進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)，通過建立D-H參數(shù)誤差模型標(biāo)定位姿平臺兩點(diǎn)之間的絕對距離，有效提升了標(biāo)定精度。王遠(yuǎn)東等^[9]針對3-R2U2S并聯(lián)機(jī)器人的參數(shù)標(biāo)定，分析了影響機(jī)構(gòu)參數(shù)變化的各種誤差源，在此基礎(chǔ)上建立了機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差模型，提出了自動協(xié)作原理的參數(shù)標(biāo)定方法，該方法通過實(shí)驗(yàn)得到了有效驗(yàn)證。

本研究在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了粗校準(zhǔn)和精校準(zhǔn)相結(jié)合的分層辨識策略，以實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)械手的精度校準(zhǔn)。最后通過校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提校準(zhǔn)方法的有效性。

1 并聯(lián)機(jī)械手最小誤差模型

1.1 并聯(lián)機(jī)械手模型

本研究的并聯(lián)機(jī)械手模型如圖1所示，其后面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為2UPRamp;2RPS的RAPM。其中，“U”、“R”、“S”、“P”分別代表萬向節(jié)、轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)、球形關(guān)節(jié)和驅(qū)動移動關(guān)節(jié)。它由一個(gè)固定底座、一個(gè)移動平臺、兩個(gè)相同的UPR肢腿和兩個(gè)相同的RPS肢腿組成，主軸頭具有3自由度。肢腿1和肢腿3為對稱分布的UPR肢腿，肢腿2和肢腿4是兩個(gè)對稱分布的RPS肢腿。各肢腿分別與固定基座和移動平臺在A_i點(diǎn)和B_i點(diǎn)相連。

1.2 冗余誤差的消除

為了便于誤差建模，圖2給出了UPR和RPS肢腿中的所有機(jī)身固定關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，O_j，i-x_j，iy_j，iz_j，i定義為第i肢腿第j個(gè)單自由度關(guān)節(jié)的機(jī)身固定坐標(biāo)系，其中z_j，i軸與關(guān)節(jié)軸重合，x_j，i軸與z_j，i軸和z_j+1，i軸的公法線重合，O_j，i是z_j，i軸和x_j，i軸的交點(diǎn)，y_j，i軸由右手定則確定。對于每個(gè)肢腿，全局坐標(biāo)系O-xyz被視為第0個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，機(jī)身固定坐標(biāo)系O′-uvw被視為最后一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，點(diǎn)A_i與O_1，i重合，B_i與點(diǎn)O_4，i（i=1，3）重合。

利用上述定義，得到了相鄰關(guān)節(jié)與固定坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系，O_j，i-x_j，iy_j，iz_j，i相對于O_j-1，i-x_j-1，iy_j-1，iz_j-1，i的幾何誤差可表示為

式中[Δx_j，iΔy_j，iΔz_j，i]^T和[Δα_j，iΔβ_j，iΔγ_j，i]^T分別表示位置誤差和方向誤差。如果一個(gè)幾何源誤差依賴于另一個(gè)幾何源誤差，則可以定義為冗余幾何源誤差。為了簡化誤差模型，消除幾何源誤差，本研究提出了消除冗余幾何源誤差的一般原則^[10]：

1）若第j個(gè)單自由度關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)，則Δz_j+1，i為冗余，可合并為0偏移；

2）如果j-1≠0，則第（j-1）個(gè)關(guān)節(jié)不是移動關(guān)節(jié)，由于Δy_j，i和Δβ_j，i沒有包含在變換中，其為冗余的，Δγ_j，i可合并為關(guān)節(jié)運(yùn)動誤差；

3）如果z_j，i軸平行于z_j-1，i軸，則Δx_j，i，Δα_j，i，Δz_j+1，i和Δγ_j+1，i是冗余的，它們可以合并為Δx_j-1，i，Δα_j-1，i，Δz_j，i和Δγ_j，i。

根據(jù)上述原理消除冗余幾何源誤差后，可得UPR肢腿的幾何源誤差為：

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖3所示為粗識別和精識別的實(shí)驗(yàn)裝置，3自由度主軸頭由4個(gè)伺服電機(jī)驅(qū)動，由數(shù)控系統(tǒng)控制。通過將運(yùn)動數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)控系統(tǒng)，可將移動平臺調(diào)整到目標(biāo)姿態(tài)。在此基礎(chǔ)上，利用AT960激光跟蹤儀進(jìn)行校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)，跟蹤激光反射點(diǎn)的位置。在測量規(guī)劃過程中，測量裝置應(yīng)遍歷主軸頭的所有自由度，且測量的構(gòu)型應(yīng)包括易發(fā)生最大位置誤差的工作空間邊界。

測量的結(jié)構(gòu)被規(guī)劃為在3個(gè)等距平面上等間距的點(diǎn)，在z=200mm平面上，ψ的范圍為-25°～25°，θ的范圍為-15°～15°；在z=220mm平面上，ψ的范圍為-25°～25°，θ的范圍為-20°～20°；在z=240mm平面上，ψ的范圍為-25°～25°，θ的范圍為-20°～20°。旋轉(zhuǎn)角度的增量步長設(shè)為5°。

按照平面z=200mm、z=220mm、z=240mm的先后順序進(jìn)行測量。以平面z=200mm為例，測量的順序如圖4所示，可以看出各坐標(biāo)軸的位置誤差，當(dāng)θ從-15°增大到15°時(shí)，ψ從-25°增大到25°。

由此得到粗校準(zhǔn)前后3個(gè)坐標(biāo)軸的位置誤差如圖5所示，其中e_mx、e_my和e_mz分別表示e_m沿x、y和z軸的誤差分量。從圖中可以看出，在每個(gè)測量平面上，沿各坐標(biāo)軸的終端位置誤差相對于軸θ=0°是對稱的。同時(shí)，在每個(gè)測量平面上，各坐標(biāo)軸上的位置誤差相對于軸ψ=0°是對稱的。這與2UPRamp;2RPS平行主軸頭的對稱結(jié)構(gòu)類似。

在粗定標(biāo)前，位置誤差的絕對值是沿每個(gè)軸的相鄰測量平面之間的步進(jìn)增量。對于沿x軸位置誤差e_mx，在3個(gè)測量平面的誤差范圍分別為-100～100 μm、0～200 μm、100～300 μm。對于沿y軸位置誤差e_my，在3個(gè)測量平面的誤差范圍分別為-25～25 μm、50～100 μm、100～150 μm；對于沿z軸位置誤差e_mz，在3個(gè)測量平面的誤差范圍分別為-50～50 μm、-100～0 μm、-150～-50 μm。3個(gè)測量平面上各軸的位置誤差分布是相似的，說明z值的增加導(dǎo)致位置誤差幅值的增加，但不影響θ和ψ軸向角構(gòu)成平面上的位置誤差分布，這表明存在初始位置誤差，即主軸頭中的零偏移。

粗校準(zhǔn)后，沿各軸消除了步進(jìn)增量，即消除0偏移。沿x軸上的e_cx在3個(gè)測量平面上的測量范圍為-100～100 μm，沿y軸上的e_cy在3個(gè)測量平面上的測量范圍為-25～25 μm，沿z軸上的e_cz在3個(gè)測量平面上的測量范圍為-50～50 μm。這也表明該方法是有效的。

校準(zhǔn)前后各測量平面誤差指標(biāo)最大值和平均值如表1所示。可以看出在各測量平面，經(jīng)過兩步校準(zhǔn)，誤差指數(shù)最大值和平均值都得到了大幅降低，這也證明了所提出的兩步校準(zhǔn)方法的有效性。

3 結(jié)語

本研究提出了一種基于最小誤差模型的并聯(lián)機(jī)械手運(yùn)動學(xué)校準(zhǔn)方法。首先基于并聯(lián)機(jī)械手肢腿結(jié)構(gòu)特性和各關(guān)節(jié)相應(yīng)的坐標(biāo)系，提出了一種由0偏移量粗識別和幾何源誤差精識別組成的分層識別策略，從而實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)械手的精度校準(zhǔn)。最后通過校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)測試表明，所提出的校準(zhǔn)方法能夠大幅降低并聯(lián)機(jī)械手的終端誤差，驗(yàn)證了所提校準(zhǔn)方法的有效性。該校準(zhǔn)方法也適用于其他類型并聯(lián)機(jī)械手的精度校準(zhǔn)，具有一定的普適性。

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收稿日期：2023-01-31