倍長中線的本質(zhì)是：通過延長某一線段并截取和這條線段相等的線段，與原來中線所分的兩相等線段構(gòu)成一組能用“SAS”證明的全等三角形，進(jìn)而得到線段相等或者角相等，來實(shí)現(xiàn)線段和角的代換．添加這種輔助線后的圖形，也可以看作是一種旋轉(zhuǎn)變換，一般來說，在幾何題中，如果出現(xiàn)了不易直接利用的中點(diǎn)，就可以考慮倍長中線這個(gè)思路．下面舉例說明．

原題再現(xiàn)

例 有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)Ⅳ，

【觀察猜想】

（1）線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是____，位置關(guān)系是____．

【探究證明】

（2）將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．

思路分析

（1）從正方形的性質(zhì)容易證得△DAE≌△BAF（SAS），所以ED=FB，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可以得出DE=BF=2AM，同時(shí)發(fā)現(xiàn)∠AFB=∠MAF，轉(zhuǎn)換后得到兩角互余關(guān)系：∠4DE+∠MAF=900，即DE⊥AM.

（2）關(guān)系仍然成立．因?yàn)镸為BF的中點(diǎn)，因此可以考慮倍長AM至H，連接FH，如圖3，得到△4MB≌△HMF（SAS），然后整體觀察圖形，結(jié)合問題“線段DE與AM之間的關(guān)系”，鎖定包含DE的三角形，通過觀察容易發(fā)現(xiàn)可證△EAD≌△AFH：易得AE =AF和FH=AB=AD，可猜想最后一個(gè)條件為夾角∠EAD=∠AFH，這可通過角的轉(zhuǎn)換得到，

過程精析

解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形，

∴AD=AB，AF=AE，∠DAE=∠BAF=900，

∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE=BF， ∠ADE=∠ABF.

∵∠ABF+∠AFB=90°，∴∠ADE+∠AFB=90°.

在Rt△BAF中，M是BF的中點(diǎn)，

∴AM=FM=BM，∴DE=2AM，∠AFB=∠MAF，

∴∠ADE+∠MAF=90°．

∴∠AND=180°-（∠ADE+∠MAF）=90°，

即AN⊥DN.

故答案為DE=2AM，DE⊥AM.

（2）仍然成立．

如圖3，延長AM至點(diǎn)H，使得AM=MH，連接FH.

∵M(jìn)是BF的中點(diǎn)，∴BM=FM.

又∵∠AMB=∠HMF，∴△AMB≌△HMF（SAS），

∴AB=HF，∠4BM=∠HFM，

∴AB∥HF，∴∠HFG=∠AGF.

∵四邊形ABCD和四邊形AEGF是正方形，

∴∠DAB =∠AFG = 90°，AE = AF，AD = AB = FH，∠EAG =∠AGF，

∴∠EAD=∠EAG+∠DAB=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH，

∴△EAD≌△AFH（SAS），∴DE=AH.

又∵AM=MH，∴DE=AH= AM+MH=2AM.

∵△EAD≌△AFH，∴∠ADE=∠FHA.

∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA=∠BAM，∴∠ADE=∠BAM.

又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°，∴∠ADE+∠DAM=90°，

∴∠AND=180° -（∠ADE∠+LDAM）=900，即AN⊥DN.

故線段DE與AM之間的關(guān)系仍然成立．

總結(jié)提升

本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形和正方形的性質(zhì)，在掌握全等三角形的性質(zhì)與判定的基礎(chǔ)上，注意條件“中點(diǎn)”，通過“倍長中線”構(gòu)造全等三角形，利用圖形變換來實(shí)現(xiàn)線段和角的代換是解題的關(guān)鍵．

中點(diǎn)條件可以使用的輔助線比較多，如中位線、斜邊中線等，解題時(shí)不要慌，要仔細(xì)回憶曾經(jīng)見過的使用中點(diǎn)條件的方法，敢想敢畫，合理嘗試，通過輔助線變換圖形來打開解題思路，靈活運(yùn)用．

拓展訓(xùn)練

1．在△ABC中，∠B=∠C=a（0°＜a＜ 45°），AM⊥BC于點(diǎn)M，D是線段MC上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段DM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

（1）如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，求證：D是MC的中點(diǎn)．

（2）如圖5，若在線段BM上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足DF=DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．

2．已知△ABC中：

（1）如圖6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長到點(diǎn)F，使FE=EA，則BF與AC的數(shù)量關(guān)系是____．

（2）如圖7，若AB=AC，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作BC的垂線交BE的延長線于點(diǎn)D，連接AD，若∠DAC=∠ABD，求證：AE=EC.

（3）如圖8，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，且滿足AD=BC，∠BAD=∠DCB，點(diǎn)M在DC的延長線上，連接AM交BD的延長線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為AM的中點(diǎn)，求證：DM=AB.

3．【閱讀】婆羅摩笈多是7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點(diǎn)的直線平分對邊．

證明：如圖9，內(nèi)接于圓的四邊形ABCD的對角線AC，BD互相垂直，垂足為點(diǎn)G，過點(diǎn)G的直線垂直于AD，垂足為點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，由垂直關(guān)系得∠EGD+∠FGC=90°，∠EGD+∠EDG=90°，所以∠EDG=∠FGC，由同弧所對的圓周角相等得∠4DB=∠ACB，所以∠FGC=∠FCG，則FG=FC，同理，F(xiàn)G=FB，故BF=FC.

【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為____（填“真命題”或“假命題”）．

【探究】（1）如圖10，△AGB和△DGC為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠AGB=∠DGC=90°，過點(diǎn)G的直線垂直于AD，垂足為點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F．證明：點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)；

（2）如圖11，△AGB和△DGC為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠AGB=∠DGC=90°，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，連接FG交AD于點(diǎn)E，若GF=2，求AD的長．

答案：1．（1）略；（2）900，證明略

2．（1）BF =AC；（2）略；（3）略

3．（1）真命題；（2）略；（3）AD=4

（作者單位：沈陽市廣全學(xué)校）