原題再現(xiàn)

例 【思維探究】

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD = 60°，∠BCD = 120°，AB = AD，連接AC.

求證：BC + CD = AC.

小明的思路是：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE = BC，連接AE. 根據(jù)∠BAD + ∠BCD = 180°，推得∠ABC + ∠ADC = 180°，從而得到∠ABC = ∠ADE，然后證明△ADE ≌ △ABC，從而可證BC + CD = AC，請(qǐng)你幫助小明寫出完整的證明過(guò)程.

【思維延伸】

（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD = ∠BCD = 90°，AB = AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【思維拓展】

破解策略

本文僅就問(wèn)題（2）和問(wèn)題（3）進(jìn)行探究.

解法1：如圖3，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE = BC，連接AE.

解法3：如圖5，過(guò)點(diǎn)A作AM ⊥ CD于點(diǎn)M，AN ⊥ CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

解法4：如圖6，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE.

a. 當(dāng)∠CDA = 75°時(shí).

解法1：如圖7，過(guò)點(diǎn)O作OM ⊥ CD于點(diǎn)M.

b. 當(dāng)∠CBA = 75°時(shí).

解法1：如圖9，過(guò)點(diǎn)O作OM ⊥ CD于點(diǎn)M.

解法2：如圖10，過(guò)點(diǎn)O作OM ⊥ CD于點(diǎn)M，ON ⊥ CB于點(diǎn)N.

勤于積累

“旋轉(zhuǎn)出等腰，等腰可旋轉(zhuǎn)”，當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)“共頂點(diǎn)，等線段”結(jié)構(gòu)時(shí)，可考慮利用“造旋轉(zhuǎn)，出全等”這一解題策略，化分散為集中，化不規(guī)則為規(guī)則. 若用旋轉(zhuǎn)作輔助線，則需證明三點(diǎn)共線，如問(wèn)題（2）的解法4；若采用截長(zhǎng)補(bǔ)短、作雙垂線等方法，則需證明全等，如問(wèn)題（2）的解法1、解法2、解法3. 不同解法殊途同歸，各具優(yōu)點(diǎn).

拓展訓(xùn)練

1. 如圖11，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，AC = BC = 6 cm，∠ACB = ∠ADB = 90°. 若BE = 2AD，則△ABE的面積是 cm2，∠AEB = °.

2. 【感知】如圖12，點(diǎn)A，B，P均在⊙O上，∠AOB = 90°，則銳角∠APB的大小為 度.

證明：延長(zhǎng)PA至點(diǎn)E，使AE = PC，連接BE.

∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠BAP + ∠BCP = 180°.

∵∠BAP + ∠BAE = 180°，

∴∠BCP = ∠BAE.

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA = BC.

∴△PBC ≌ △EBA（SAS）.

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程.

答案：1. （36 - 18[2]），112.5 2. 45，證明略，[223]