原題再現(xiàn)

例1 在△ABC中，∠B = ∠C = α（0° < α < 45°），AM ⊥ BC于點(diǎn)M，D是線段MC上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段DM繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時，求證：D是MC的中點(diǎn)；

（2）如圖2，若在線段BM上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足DF = DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．

破解思路

第（1）問：根據(jù)“線段DM繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE”可知∠EDM = 2α. 因為∠B = ∠C = α，所以∠CED = ∠EDM - ∠C = 2α - α = α，從而得到DE = DC. 因為DE = DM，所以DC = DM，即D是MC的中點(diǎn). 具體過程請同學(xué)們自己完成.

第（2）問：要求∠AEF的大小，可以通過觀察、度量、猜想得到∠AEF為90°，面對“蝶型”，只要證明∠MAE = ∠MFE即可. 下面詳細(xì)介紹解題策略和解法.

策略1：看到“中點(diǎn)”，倍長中線或者構(gòu)造中位線.

解法1：如圖3，延長ED至點(diǎn)Q，使DQ = DE，連接CQ，MQ，ME.

易得△CDQ ≌ △FDE，

∴∠QCD = ∠EFD.

∵DE = DQ = DM，

∴∠EMQ = ∠AMC = 90°，∠DQM = ∠ACM = α，

∴△AMC ∽ △EMQ，

易得∠AME = ∠CMQ，

∴△AME ∽ △CMQ，

∴∠MAE = ∠MCQ，

∴∠MAE = ∠MFE，

∴∠AEF = ∠AMF = 90°.

解法2：設(shè)DM = DE = x，CD = DF = y，則MF = y - x，BM = CM = x + y，

∴BF = BM - FM = （x + y） - （y - x） = 2x，

如圖4，延長FE至點(diǎn)K，使EK = EF，連接AK，KC，AF.

∵DF = DC，

∴CK [?] DE，CK = 2DE = 2x = BF，

∴∠KCF = ∠EDF = 2α，∠ACK = ∠B = α，

∴△ABF ≌ △ACK，

∴AF = AK.

∵EF = EK，

∴AE ⊥ EK，∴∠AEF = 90°.

策略2：看到“二倍角”，構(gòu)造角平分線找等角.

解法3：如圖5，作∠EDF的平分線DQ交AM于點(diǎn)Q，連接EQ.

易得△DEQ ≌ △DMQ，∴∠QED = ∠QMD = 90°，MQ = EQ.

∵四邊形DEQM對角互補(bǔ)，∴∠AQE = ∠EDM = 2α.

∵∠MDQ = ∠C = α，

∴△AQE ∽ △FDE，

∴∠QAE = ∠DFE，

∴∠AEF = ∠AMF = 90°.

解法4：如圖6，連接AF，作∠EDF的平分線DN交AF于點(diǎn)N，連接MN，EN.

易得△DEN ≌ △DMN，

∴∠MDN = ∠EDN = α = ∠C，

∴DN [?] AC.

∵DF = DC，

∴FN = AN.

∵∠AMF = 90°，

∴AN = FN = MN = EN，

∴∠AEF = 90°.

總結(jié)積累

初中幾何的大部分問題均可以找到通性通法來破解，歸納固定的解決策略，就是“模型化”學(xué)習(xí). 同學(xué)們在學(xué)習(xí)中要積累總結(jié)常見模型，練就“火眼金睛”，解題時準(zhǔn)確識別出相關(guān)模型，這樣可以迅速找到解題思路.

拓展延伸

例2 如圖7，已知等腰直角三角形BAC和等腰直角三角形BED，∠BAC = 90°， ∠EBD = 90°，將等腰直角三角形BED以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E，D，C三點(diǎn)共線時停止.取EC的中點(diǎn)O，連接AO.請求出AO與CD之間的關(guān)系.

解法1：如圖8，延長CA至點(diǎn)Q，使得AQ = CA，連接BQ，EQ.

∵AB = AC = AQ，∠BAC = 90°，

∴BQ = BC，∠QBC = 90°.

易得∠1 = ∠2，

∴△BEQ ≌ △BDC，

∴EQ = CD，∠BEQ = ∠BDC = 135°，

∴∠QEC = 90°.

∵A為CQ的中點(diǎn)，O為CE的中點(diǎn)，

∴AO為△QEC的中位線，

∴QE = 2OA，QE [?] OA，

∴CD = 2OA且CD ⊥ OA.

解法2：如圖9，過點(diǎn)B作BF ⊥ ED于點(diǎn)F，連接AF，AE.

易得△BFD ∽ △BAC，∠1 = ∠2，

∴△BFA ∽ △BDC，∴∠BFA = ∠BDC = 135°，CD = [2]AF，

∴∠CFA = 45°，

∴∠AFE = ∠AFB = 135°.

易得△AFE ≌ △AFB，

∴AE = AB = AC.

∵點(diǎn)O是CE的中點(diǎn)，

∴OA ⊥ CE，

∴△OAF是等腰直角三角形，

∴CD = 2OA且CD ⊥ OA.

解法3：如圖10，過點(diǎn)B作BF ⊥ CE于點(diǎn)F，并延長至點(diǎn)G使得BG = OC，連接AF，AG.

易得∠1 = ∠3，

∴△BFA ∽ △BDC，

∴∠5 = ∠6 = 45°.

∵∠2 + ∠4 = 45°，∠3 + ∠4 = 45°，

∴∠1 = ∠3 = ∠2，

∴△AOC ≌ △AGB，

∴OA = GA，OC = GB = OE，

∴BG - BF = OE - EF，

∴FG = FO，

∴△FAG ≌ △FAO，

∴∠G = ∠FOA = ∠COA = 90°，

∴OA ⊥ CE，

∴CD = 2OA且CD ⊥ OA.

解法4：如圖11，過點(diǎn)C作CH ⊥ CD，且CH = CD，連接EH交BC于P，延長AO交EH于點(diǎn)G，連接DH.

易得∠EDH = ∠BDC，

∴△EDH ∽ △BDC，

根據(jù)“蝶形”可知∠BDE = ∠BPE，

∴∠BPE = 45°，

∴∠3 = 90°，

∴EH [?] AC，

∴△EGO ≌ △CAO，

∴EG = AC，∴EH = 2EG，

∴點(diǎn)G是EH的中點(diǎn)，∴OG是△ECH的中位線，

∴OG [?] CH，CH = 2OG = 2OA，

∴CD = 2OA且CD ⊥ OA.