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遇斜直角找“一線三垂直”

2024-09-03 00:00:00蘇玉
初中生學習指導·中考版 2024年7期

原題再現(xiàn)

例 (2023·新疆)

【建立模型】

(1)如圖1,點B是線段CD上的一點,AC ⊥ BC,AB ⊥ BE,ED ⊥ BD,垂足分別為C,B,D,AB = BE. 求證:△ACB ≌ △BDE.

【類比遷移】

(2)如圖2,一次函數(shù)y = 3x + 3的圖象與y軸交于點A,與x軸交于點B,將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC,直線AC交x軸于點D.

①求點C的坐標;

②求直線AC的解析式.

【拓展延伸】

破解策略

第(1)問較為簡單,下面主要介紹后兩問的解題思路.

第(2)問破解策略:由第(1)問的求解過程可知,當出現(xiàn)“斜直角”且兩邊相等時,可構造“一線三垂直”全等三角形解決問題.具體構造方法是過直角頂點任意作一條直線,再過角的兩邊向這條直線作垂線段,即可出現(xiàn)全等三角形.

解:①∵一次函數(shù)y = 3x + 3的圖象與y軸交于點A,與x軸交于點B,

∴A(0,3),B(-1,0),

∴OA = 3,OB = 1.

過點C作CG ⊥ x軸于點G,如圖4,

則∠BGC = 90° = ∠AOB,

∴∠CBG + ∠BCG = 90°.

∵線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC,

∴BC = AB,∠ABC = 90°,

∴∠ABO + ∠CBG = 90°,∴∠BCG = ∠ABO,

∴△BCG ≌ △ABO(AAS),∴BG = OA = 3,CG = OB = 1,

∴OG = OB + BG = 1 + 3 = 4,∴C(-4,1).

第(3)問破解策略:分點M在射線BQ的上方和下方兩種情況討論. 為看得清晰,圖5~9比例有所調(diào)整.

∵拋物線y = x2 - 3x - 4與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),

當y = 0時,x2 - 3x - 4 = 0,解得x1 = -1,x2 = 4,

∴A(-1,0),B(4,0).

第一種情況:當點M在射線BQ的上方時.

解法1:已知△KBQ的兩個角的三角函數(shù)和一條邊長,通過作垂直,解兩個三角形求出邊長.

如圖5,設BM交y軸于點K,過點K作KH ⊥ BQ于點H,

則∠KHQ = ∠KHB = 90°.

解法2:由給出∠MBQ的正切值,可知需要作垂直構造直角三角形,垂足可以落在∠MBQ的兩邊.當出現(xiàn)“斜直角”時,構造“一線三垂直”相似三角形解題是通法.

當垂足落在BQ邊上的Q點時.

如圖6,過點Q作QK ⊥ QB交射線BM于點K,過點Q作直線GH [?] x軸,過點K作KG ⊥ GH,垂足為G,過點B作BH ⊥ GH,垂足為H.

則△KGQ ∽ △QHB,

解法3:當垂足落在BM邊上時,應過∠MBQ的另一邊BQ上的已知點Q向BM邊作垂直.

如圖7,過點Q作QK ⊥ BM. 交射線BM于點K,過點K作直線GH [?] x軸,交y軸于點G,過點B作BH ⊥ GH,垂足為H ,則△KGQ ∽ △BHK,

第二種情況:當點M在射線BQ的下方時.

解法1:如圖8,過點Q作QK ⊥ BM交射線BM于點K,過點K作直線GH [?] x軸,過點K作GH [?] x軸,交y軸于點G,過點B作BH ⊥ GH,垂足為H ,則△KGQ∽△BHK,

設[GK=x],則[BH=3x],[KH=4-x],

解法2:如圖9,過點Q作QK ⊥ QB,交射線BM于點K,過點K作KH ⊥ y軸,垂足為H,則△QHK ∽ △BOQ,

總結提升

1.當動直線與一條射線成定角時,有兩個方向,注意分兩種情況討論.

2.當出現(xiàn)三角函數(shù)時,需要作垂直構造直角三角形,由于垂足可以落在角的兩邊,因此有兩種構造方法. 構造技巧是借助已知點,并利用好已知點的坐標.

3.當出現(xiàn)“斜直角”時,構造“一線三垂直”全等或相似三角形是通法,往往能解決很多幾何問題.

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