原題再現(xiàn)
例 (2023·新疆)
【建立模型】
(1)如圖1,點B是線段CD上的一點,AC ⊥ BC,AB ⊥ BE,ED ⊥ BD,垂足分別為C,B,D,AB = BE. 求證:△ACB ≌ △BDE.
【類比遷移】
(2)如圖2,一次函數(shù)y = 3x + 3的圖象與y軸交于點A,與x軸交于點B,將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC,直線AC交x軸于點D.
①求點C的坐標;
②求直線AC的解析式.
【拓展延伸】
破解策略
第(1)問較為簡單,下面主要介紹后兩問的解題思路.
第(2)問破解策略:由第(1)問的求解過程可知,當出現(xiàn)“斜直角”且兩邊相等時,可構造“一線三垂直”全等三角形解決問題.具體構造方法是過直角頂點任意作一條直線,再過角的兩邊向這條直線作垂線段,即可出現(xiàn)全等三角形.
解:①∵一次函數(shù)y = 3x + 3的圖象與y軸交于點A,與x軸交于點B,
∴A(0,3),B(-1,0),
∴OA = 3,OB = 1.
過點C作CG ⊥ x軸于點G,如圖4,
則∠BGC = 90° = ∠AOB,
∴∠CBG + ∠BCG = 90°.
∵線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC,
∴BC = AB,∠ABC = 90°,
∴∠ABO + ∠CBG = 90°,∴∠BCG = ∠ABO,
∴△BCG ≌ △ABO(AAS),∴BG = OA = 3,CG = OB = 1,
∴OG = OB + BG = 1 + 3 = 4,∴C(-4,1).
第(3)問破解策略:分點M在射線BQ的上方和下方兩種情況討論. 為看得清晰,圖5~9比例有所調(diào)整.
∵拋物線y = x2 - 3x - 4與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),
當y = 0時,x2 - 3x - 4 = 0,解得x1 = -1,x2 = 4,
∴A(-1,0),B(4,0).
第一種情況:當點M在射線BQ的上方時.
解法1:已知△KBQ的兩個角的三角函數(shù)和一條邊長,通過作垂直,解兩個三角形求出邊長.
如圖5,設BM交y軸于點K,過點K作KH ⊥ BQ于點H,
則∠KHQ = ∠KHB = 90°.
解法2:由給出∠MBQ的正切值,可知需要作垂直構造直角三角形,垂足可以落在∠MBQ的兩邊.當出現(xiàn)“斜直角”時,構造“一線三垂直”相似三角形解題是通法.
當垂足落在BQ邊上的Q點時.
如圖6,過點Q作QK ⊥ QB交射線BM于點K,過點Q作直線GH [?] x軸,過點K作KG ⊥ GH,垂足為G,過點B作BH ⊥ GH,垂足為H.
則△KGQ ∽ △QHB,
解法3:當垂足落在BM邊上時,應過∠MBQ的另一邊BQ上的已知點Q向BM邊作垂直.
如圖7,過點Q作QK ⊥ BM. 交射線BM于點K,過點K作直線GH [?] x軸,交y軸于點G,過點B作BH ⊥ GH,垂足為H ,則△KGQ ∽ △BHK,
第二種情況:當點M在射線BQ的下方時.
解法1:如圖8,過點Q作QK ⊥ BM交射線BM于點K,過點K作直線GH [?] x軸,過點K作GH [?] x軸,交y軸于點G,過點B作BH ⊥ GH,垂足為H ,則△KGQ∽△BHK,
設[GK=x],則[BH=3x],[KH=4-x],
解法2:如圖9,過點Q作QK ⊥ QB,交射線BM于點K,過點K作KH ⊥ y軸,垂足為H,則△QHK ∽ △BOQ,
總結提升
1.當動直線與一條射線成定角時,有兩個方向,注意分兩種情況討論.
2.當出現(xiàn)三角函數(shù)時,需要作垂直構造直角三角形,由于垂足可以落在角的兩邊,因此有兩種構造方法. 構造技巧是借助已知點,并利用好已知點的坐標.
3.當出現(xiàn)“斜直角”時,構造“一線三垂直”全等或相似三角形是通法,往往能解決很多幾何問題.