摘 要：第39屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第三題的解答中闡述了球與斜面碰撞后的速度、角速度與碰撞次數(shù)n的奇偶性有關(guān)。本文通過(guò)模擬運(yùn)動(dòng)圖像，獲得了運(yùn)動(dòng)過(guò)程的頻閃照片，并通過(guò)理論研究發(fā)現(xiàn)，在滿(mǎn)足一定條件的情況下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I對(duì)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度、角速度的奇偶特性沒(méi)有影響。

關(guān)鍵詞：物理競(jìng)賽；摩擦力；剛體；彈性碰撞

1 競(jìng)賽真題呈現(xiàn)

如圖1所示，將質(zhì)量為m、半徑為R的勻質(zhì)實(shí)心球從傾角為θ的無(wú)限長(zhǎng)固定斜面上發(fā)射，已知球心初速度垂直于斜面，大小為v，球初始的自轉(zhuǎn)角速度為零。為方便描述實(shí)心球此后的運(yùn)動(dòng)，在斜面參考系中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中x軸沿斜面向下，y軸垂直于斜面向上。假設(shè)球與斜面的碰撞是彈性的，碰撞時(shí)間極短，且碰撞前、后的瞬間球垂直于斜面的速度大小不變。進(jìn)一步假設(shè)斜面足夠粗糙，以至于在球與斜面的碰撞過(guò)程中，其間摩擦力足夠大、接觸點(diǎn)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。已知球繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I＝2/5mR2，求：

（1）第1次碰撞前的球心速度和球的自轉(zhuǎn)角速度；

（2）第1次碰撞后的球心速度和球的自轉(zhuǎn)角速度；

（3）第n次碰撞后球心沿著x軸方向的速度和球的自轉(zhuǎn)角速度；

（4）前n次碰撞過(guò)程中斜面對(duì)球施加的總沖量。

2 對(duì)于該題的拓展討論

2.1 運(yùn)動(dòng)圖像模擬

根據(jù)題設(shè)條件，使用Matlab軟件模擬得到的物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的頻閃照片如圖2所示。［1，2，3］橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)于圖2中的x軸和y軸。在模擬過(guò)程中，相鄰兩次快門(mén)間小球轉(zhuǎn)過(guò)的角度不超過(guò)2π，并且使小球始終保持順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。模擬時(shí)每次碰撞前后角速度ω與速度v的改變量關(guān)系表如表1所示。通過(guò)將圖2和表1的數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，模擬結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)答案的理論結(jié)果相吻合，即在偶數(shù)次碰撞時(shí)，x方向的速度變化量小，角速度不改變；而在奇數(shù)次碰撞時(shí)，x方向的速度變化量大，角速度也發(fā)生改變。

2.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I與物體v、ω的“奇偶性”存在的關(guān)系

在解答和模擬過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)小球經(jīng)過(guò)n次碰撞后的角速度ω和在x方向上的速度v需要根據(jù)碰撞次數(shù)n是奇數(shù)還是偶數(shù)來(lái)分別討論。在后文中，我們將這種特性簡(jiǎn)稱(chēng)為“奇偶性”。

在本題中，小球是一個(gè)勻質(zhì)實(shí)心球，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I＝25mR2。這時(shí)出現(xiàn)了碰撞后速度和角速度存在奇偶性的情況。這是一個(gè)巧合嗎？如果該物體是一個(gè)圓柱體或者球殼，情況是否會(huì)發(fā)生變化呢？為了探究轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與奇偶性之間的關(guān)聯(lián)，我們將物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)為任意值I。物體的運(yùn)動(dòng)可以分為以下兩個(gè)過(guò)程。

從式B15B16可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的取值并不影響物體碰撞后速度和角速度的奇偶性。但這并不意味著物體的形狀可以任意選取。研究式②以及式④⑤的遞歸關(guān)系發(fā)現(xiàn)，推導(dǎo)過(guò)程需要滿(mǎn)足物體上摩擦力作用點(diǎn)到質(zhì)心的距離R為常數(shù)。當(dāng)物體滿(mǎn)足這一條件時(shí)，無(wú)論其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取何值，得到的結(jié)果都表明速度和角速度具有奇偶性。

3 結(jié)論

本文分別從Matlab模擬和理論推導(dǎo)的方面對(duì)第39屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第三題進(jìn)行研究，得到了粗糙斜面上彈跳小球的運(yùn)動(dòng)情況。研究發(fā)現(xiàn)，碰撞前后小球的速度和角速度的變化與碰撞次數(shù)的奇偶性有關(guān)。進(jìn)一步的理論推導(dǎo)表明，只要物體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑R為常數(shù)，這種“奇偶性現(xiàn)象”就與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的取值無(wú)關(guān)。

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