摘 要：2023年高考全國甲卷理綜第20題以帶電粒子在圓形磁場區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動為背景，考查了粒子在圓筒內(nèi)進(jìn)行分段圓周運(yùn)動的周期性。盡管圓周運(yùn)動是一個經(jīng)典的物理問題，但該題的出題角度新穎，富有創(chuàng)意。在解析試題的基礎(chǔ)上，本文對粒子在圓形磁場區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動進(jìn)行一般性的探討，可以充分拓展學(xué)生的思考空間，引導(dǎo)他們深入分析可能出現(xiàn)的各種情況，從而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：高考物理試題；帶電粒子；圓形磁場；科學(xué)思維

2023年高考全國甲卷理綜第20題通過帶電粒子在圓形區(qū)域磁場內(nèi)的運(yùn)動來設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)探索問題情境，涉及的必備知識包括帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動軌跡的半徑、圓周運(yùn)動的周期與粒子運(yùn)動速度、磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度等物理量之間的關(guān)系。該題主要考查學(xué)生的理解能力、推理論證能力以及物理學(xué)科素養(yǎng)中的物理觀念、科學(xué)思維，突出考查了綜合性和創(chuàng)新性能力。［1］

1 試題解析

（2023年高考全國甲卷理綜第20題）（多選）光滑剛性絕緣圓筒內(nèi)存在著平行于軸的勻強(qiáng)磁場，筒上P點(diǎn)開有一個小孔，過P點(diǎn)的橫截面是以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，如圖1所示。一帶電粒子從P點(diǎn)沿PO射入，然后與筒壁發(fā)生碰撞。假設(shè)粒子在每次碰撞前、后瞬間，速度沿圓上碰撞點(diǎn)的切線方向的分量大小不變，沿法線方向的分量大小不變、方向相反；電荷量不變。不計(jì)重力。下列說法正確的是（" ）。

A. 粒子的運(yùn)動軌跡可能通過圓心O

B. 最少經(jīng)2次碰撞，粒子就可能從小孔射出

C. 射入小孔時粒子的速度越大，在圓內(nèi)運(yùn)動時間越短

D. 每次碰撞后瞬間，粒子速度方向一定平行于碰撞點(diǎn)與圓心O的連線

答案：B、D

解析：根據(jù)帶電粒子在圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的特點(diǎn)和性質(zhì)，粒子從P點(diǎn)沿半徑PO方向射入，必然沿半徑方向與圓筒壁發(fā)生碰撞。由于粒子在每次碰撞前、后的瞬間，速度沿圓上碰撞點(diǎn)的切線方向的分量大小不變，沿法線方向的分量大小不變、方向相反，所以每次碰撞后瞬間，粒子速度方向一定沿半徑方向，即平行于碰撞點(diǎn)與圓心O的連線，故選項(xiàng)D正確。既然粒子在每次碰撞前、后瞬間的速度沿半徑方向，那么粒子的運(yùn)動軌跡是處于不同位置頭尾相接的相同的圓弧，不可能通過圓心O，故選項(xiàng)A錯誤。要使粒子能從小孔射出，那么粒子在磁場中全部軌跡圓心連接成的正多邊形，是以筒壁為內(nèi)切圓的正多邊形，最少為正三角形（如圖2所示），即最少經(jīng)2次碰撞，粒子才可能從小孔射出，故選項(xiàng)B正確。

本題的亮點(diǎn)是選項(xiàng)C的設(shè)計(jì)，該選項(xiàng)給學(xué)生留出了較大的思考空間，引導(dǎo)學(xué)生深入分析可能出現(xiàn)的各種情形?？梢猿醪脚袛啵Ｗ拥乃俣仍酱?，做圓周運(yùn)動的半徑越大，碰撞次數(shù)可能會增多，甚至不一定能從小孔射出，所以粒子在圓內(nèi)運(yùn)動時間不一定越短，故選項(xiàng)C錯誤。

下面對粒子在圓內(nèi)運(yùn)動可能出現(xiàn)的各種情形進(jìn)行一般性的探討。

2 深入分析

當(dāng)粒子以大小不同的速度從P點(diǎn)沿PO射入時（如圖3所示），每段圓弧軌跡的圓心角θ滿足0＜θ＜π，粒子與圓筒壁碰撞的相鄰兩個碰撞點(diǎn)與圓心O的連線之間的夾角為α，由幾何關(guān)系可知θ＋α＝π，那么α的取值范圍也滿足0＜α＜π。若粒子能從小孔射出，則必須滿足nα＝2kπ，其中n為圓弧軌跡的段數(shù)，k為粒子在圓筒中轉(zhuǎn)的圈數(shù)，而且n、k均為整數(shù)。

若粒子轉(zhuǎn)一圈后從小孔射出，則k＝1，即nα＝2π。由于0＜α＜π，所以n的取值滿足n≥3的整數(shù)即可，列舉幾種情況如圖4所示。

若粒子轉(zhuǎn)兩圈后從小孔射出，則k＝2，即nα＝4π。由于0＜α＜π，所以n的取值滿足n≥5的整數(shù)即可，列舉幾種情況如圖5所示。

若粒子轉(zhuǎn)三圈后從小孔射出，則k＝3，即nα＝6π。由于0＜α＜π，所以n的取值滿足n≥7的整數(shù)即可，列舉幾種情況如圖6所示。

綜上所述，可知n的取值范圍是n≥2k＋1，且n為整數(shù)，本文不再贅述。而當(dāng)粒子射入小孔的速度變化時，粒子在圓內(nèi)運(yùn)動的時間如何變化？這需要區(qū)分不同的情況。

由洛倫茲力提供向心力qvB＝mv2r，可得軌跡半徑r＝mvqB，周期T＝2πrv＝2πmqB。粒子做圓周運(yùn)動的軌跡半徑與速度成正比，圓周運(yùn)動周期與速度無關(guān)，那么粒子在圓內(nèi)運(yùn)動的時間t＝nθ2π·T。

由以上討論可知，只有在“粒子轉(zhuǎn)一圈后從小孔射出”的條件下，才滿足粒子的速度越大，在圓內(nèi)運(yùn)動的時間越短。即k＝1，n＝3時，則α＝2π3，θ＝π－α＝π3，所以最短時間為tmin＝T2＝πmqB。然而，本題沒有這個限制條件，那么可能出現(xiàn)速度變大、粒子在圓筒內(nèi)轉(zhuǎn)的圈數(shù)更多而運(yùn)動時間更長的情況，所以不能簡單地認(rèn)為粒子速度越大，在圓內(nèi)運(yùn)動的時間越短，故選項(xiàng)C錯誤。在選項(xiàng)的設(shè)計(jì)上，將選項(xiàng)C置于選項(xiàng)B之后，學(xué)生很容易受思維定式的影響而犯錯。

本題雖然源于學(xué)生熟悉的情境，但在試題設(shè)計(jì)上展現(xiàn)了創(chuàng)新，要求考生全面考慮粒子在圓形區(qū)域磁場內(nèi)運(yùn)動的各種可能情形。該題的設(shè)計(jì)對考生的發(fā)散思維能力提出了較高的要求，是一道能有效考查物理核心素養(yǎng)中“科學(xué)思維”能力的優(yōu)秀題目。［2］

參考文獻(xiàn)

［1］教育部教育考試院. 高考試題分析：理科綜合（2024年版）［M］. 北京：語文出版社，2023：20-22．

［2］段石峰.帶電粒子在“電磁場”中運(yùn)動模型的實(shí)例分析［J］.高中數(shù)理化，2022（24）：36-39.