【摘要】新時代發(fā)展視域下，初中數(shù)學教學應當強調(diào)學生知識技能與方法手段的有效掌握，幫助學生切實把握問題解決的思路和能力，有利于拓展學生數(shù)學思維，促進初中學生數(shù)學學科的長遠學習發(fā)展.初中二次函數(shù)問題解題方法主要包括待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法以及數(shù)學建模法三種方法，本文結(jié)合人教版初中數(shù)學例題對二次函數(shù)的各種解題方法進行簡要分析.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;二次函數(shù);解題方法

二次函數(shù)是初中數(shù)學課程中的重要板塊，在代數(shù)和幾何范圍內(nèi)都具有重要影響.初中二次函數(shù)常見解題方法中待定系數(shù)法是以二次函數(shù)解析式為基礎(chǔ)的解題方法，主要包括一般式、頂點式和交點式，數(shù)形結(jié)合法是將二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合起來的方法，主要包括幾何求解法、輔助線法和三角函數(shù)法，數(shù)學建模法是以數(shù)學模型為核心進行建構(gòu)求解的解題方法.

1 初中二次函數(shù)中待定系數(shù)法解題應用

待定系數(shù)法是指基于二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c進行代數(shù)推理的解題方法，旨在引導學生以充分了解二次函數(shù)為前提利用已知條件進行未知量的求解［1］.初中二次函數(shù)的待定系數(shù)法主要包括一般式、頂點式、交點式三種類別.

例1 根據(jù)下列條件，分別確定二次函數(shù)的解析式.

（1）拋物線y=ax2+bx+c過點（-3，2），（-1，-1），（1，3）；

（2）拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩交點的橫坐標分別是-12，32，與y軸交點的縱坐標是-5.

解析 本題取自人教版初中數(shù)學教材九年級上冊二次函數(shù)單元小結(jié)復習題版塊，是初中二次函數(shù)類型題中典型的基礎(chǔ)題型，主要應用待定系數(shù)法進行函數(shù)求解.其中第（1）問應用一般式法解題，已知拋物線上的三點坐標，可以直接代入y=ax2+bx+c進行求解，可得出y=78x2+2x+18；第（2）問可以應用待定系數(shù)法中的交點式進行解題，已知二次函數(shù)與x軸的兩個交點坐標以及與y軸的交點坐標，可以代入y=ax-x1x-x2a≠0交點式，可得出解析式為y=203x2-203x-5.本題充分體現(xiàn)了二次函數(shù)的基礎(chǔ)概念，是待定系數(shù)法在二次函數(shù)求解中的應用基礎(chǔ).

2 初中二次函數(shù)中數(shù)形結(jié)合法解題應用

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學教學活動中，學生應當具備和掌握的基礎(chǔ)數(shù)學思想，是發(fā)展學生抽象性思維的重要舉措［2］.初中二次函數(shù)問題不僅在代數(shù)領(lǐng)域，在幾何問題中也有廣泛應用.初中二次函數(shù)中應用數(shù)形結(jié)合法主要包括幾何求解法、輔助線法以及三角函數(shù)法三種類別.幾何求解法是針對二次函數(shù)中的幾何圖形，利用幾何學知識通過周長或面積公式進行問題求解的方法，有效實現(xiàn)代數(shù)問題到幾何問題的轉(zhuǎn)換.輔助線法是指在二次函數(shù)坐標系中通過添加輔助線的方式進行解題，為問題求解提供新的已知量，將復雜問題轉(zhuǎn)化為常見問題的求解方法.三角函數(shù)法是針對二次函數(shù)問題中的三角形問題，利用三角函數(shù)進行問題求解的方法.

例2 如圖1，拋物線的解析式為y=-x2-2x+3，在第二象限的拋物線上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大，并求出P點坐標及△PBC的面積最大值.

解析 針對P點坐標求解問題，可以引入三角函數(shù)以及輔助線法的數(shù)形結(jié)合法進行坐標求解.過點P作BC的平行線l（二次函數(shù)的切線），當直線l與拋物線有唯一交點時，△PBC邊BC上的高最大，則△PBC的面積最大，如圖2.由二次函數(shù)解析式可知直線BC的解析式為y=x+3，則直線l的解析式可設(shè)為y=x+b.由公式可得，x+b=-x2-2x+3，所以x2+3x+b-3=0，由Δ=32-4（b-3）=0，得出b=214，x=-32，M（0，214）.此時BC上的高h最大，h=MC×sin∠CMP=MC×sin∠OCB=94× 22=9 28.S△PBC=12BC×h=12×3 2×9 28=278，P點坐標為（-32，154）.

本題通過結(jié)合題目需求增設(shè)輔助線，借助三角形的幾何性質(zhì)、三角形面積公式以及三角函數(shù)等幾何知識進行二次函數(shù)問題的求解，有效助力初中學生數(shù)形結(jié)合解題思維方法的吸收掌握.

3 初中二次函數(shù)中數(shù)學建模法解題應用

數(shù)學建模法是指結(jié)合題目需求進行解析模型的構(gòu)建，借助普適性的數(shù)學模型掌握題目解題規(guī)律，再代入已知量進行求解的過程.數(shù)學建模法能夠有效促進學生模型思維、建模意識以及數(shù)學理性思維的形成與發(fā)展.

例3 某玩具進價8元/件，若售價為10元/件，則銷售量為100件/天.該店意圖通過提高售價增加利潤，已知玩具每提高1元售價，日銷售量就會減少10件.問該店售價定為多少的情況下能獲得最大利潤.

解析 將玩具每件提高價格設(shè)為x元（x≥0），該玩具的利潤為y元，則每天銷售額為（10+x）（100-10x）元，進貨總價為8（100-10x）元，因此0≤x≤10.由利潤=銷售總價-進貨總價可以建立數(shù)學模型為y=（2+x）（100-10x）（0≤x≤10），由此可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題求解.

利用數(shù)學模型將應用題目轉(zhuǎn)化為常見的基礎(chǔ)題目，實現(xiàn)復雜問題到簡單問題的轉(zhuǎn)化，促使學生將數(shù)學眼光和數(shù)學思維應用到實際問題解決中來，充分發(fā)揮了數(shù)學建模法的教學價值與育人價值，有助于學生從根源角度體會和感受應用問題中的數(shù)學的獨特魅力.

4 結(jié)語

總而言之，新課程標準視域下，初中數(shù)學教學應當注重學生學科知識與學科素養(yǎng)的均衡發(fā)展.初中數(shù)學教學應當注重學生多元解題方法的掌握，強調(diào)通過不同的解題方法幫助學生深入掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識技能，促進初中學生數(shù)學學科素養(yǎng)的形成發(fā)展.本文結(jié)合例題對待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法以及數(shù)學建模法進行了研究分析，有效助力初中學生二次函數(shù)版塊問題解決能力的發(fā)展提升.

【本論文系白銀市教育科學“十四五”規(guī)劃課題《5G時代推動在線教育高質(zhì)量發(fā)展的策略研究》的階段性研究成果.課題批號：BY【2021】G242號】

參考文獻：

［1］蘇春榮.初中數(shù)學二次函數(shù)應用題解題教學研究［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（13）：25-27.

［2］鄭子飚.初中數(shù)學解題方法和技巧研究——以二次函數(shù)解析式為例［J］.新課程導學，2023（14）：56-59.