【摘要】關(guān)于圓相關(guān)的問題是中考必考題型，學(xué)生應(yīng)在理解題目的基礎(chǔ)上分析題目選擇所需的條件，再選擇需要用到的相關(guān)概念、知識(shí)理論進(jìn)行詳細(xì)解讀，最后借助計(jì)算、添加輔助線等方式進(jìn)行問題求解.本文對(duì)初中數(shù)學(xué)圓相關(guān)問題的解題思路、解決方法進(jìn)行深入探究，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中圓相關(guān)教學(xué)活動(dòng)的開展提供幫助.

【關(guān)鍵詞】圓；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

初中階段，教材內(nèi)關(guān)于圓的知識(shí)點(diǎn)很多，并且這些知識(shí)內(nèi)容與其他知識(shí)點(diǎn)之間也互有聯(lián)系，所以圓的題型綜合性強(qiáng)、內(nèi)容豐富，導(dǎo)致很大一部分學(xué)生對(duì)圓相關(guān)知識(shí)掌握得不夠熟練，在解題過程中經(jīng)常出現(xiàn)知識(shí)使用混亂，甚至找不到解題關(guān)鍵點(diǎn)等問題.因此，教師需要以圓的概念、性質(zhì)定理出發(fā)，基于中考考綱中的考點(diǎn)問題進(jìn)行題型的歸納與分析.

1 有關(guān)圓性質(zhì)的問題求解技巧

例1 如圖1，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為（ ）

（A）18cm. （B）14cm.

（C）10cm. （D）6cm.

分析 本題中已知條件較多，主要考查學(xué)生對(duì)圓的性質(zhì)相關(guān)知識(shí)的掌握程度，學(xué)生需基于“垂徑定理”對(duì)題目進(jìn)行細(xì)致化分析：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧［1］.基于此對(duì)圖形中各個(gè)點(diǎn)與線的位置進(jìn)行仔細(xì)分析，從而獲取解題思路.

解析 根據(jù)垂徑定理，過O點(diǎn)作一條垂線OM，使OM⊥CD于點(diǎn)M，因?yàn)辄c(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，根據(jù)CD=8cm可得出MD=4cm.連接OD，因?yàn)锳B=10cm，所以O(shè)D=12AB=5cm，再根據(jù)勾股定理可以求出OM=3cm，基于梯形中位線定理，得出A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和等于3×2=6cm.

2 直線與圓的位置關(guān)系

例2 PQ是⊙O的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長(zhǎng)線上，OQ = QB = 2，動(dòng)點(diǎn)A在⊙O的上半圓運(yùn)動(dòng)（含P、Q兩點(diǎn)），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC.那么線段AB所在的直線與⊙O相切時(shí)，△ABC的面積如何計(jì)算.

分析 本題考查學(xué)生對(duì)直線與圓三種位置關(guān)系的掌握情況，尤其是直線與圓相切時(shí)應(yīng)如何解題.本題中由于直線AB與⊙O相切，且B點(diǎn)在PQ這一圓外延長(zhǎng)線上，所以可以知道AB與⊙O的切點(diǎn)為A，想計(jì)算三角形面積，需要求出AO的長(zhǎng)度，然后再根據(jù)已學(xué)的三角形性質(zhì)求出△ABC其他邊長(zhǎng)，最后求得面積.

解析 首先將點(diǎn)A與點(diǎn)O相連，根據(jù)已知條件中給出的OQ=QB=2，可以求出AO=OQ=2，OB=4，利用勾股定理的性質(zhì)可以求出AB的長(zhǎng).又因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的面積公式可以得出最終答案.

3 圓切線的性質(zhì)定理

例3 如圖2，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點(diǎn)為B，將△OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△O′A′B，使點(diǎn)O′落在⊙O上，邊A′B交線段AO于點(diǎn)C，若∠A′=25°，則∠OCB是多少度.

分析 此過程中，考查學(xué)生對(duì)圓的切線定理、三角形外角性質(zhì)的掌握程度.圓的切線定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；三角形的外角定理：三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和［2］.通過綜合分析得出利用畫輔助線的方式可以順利完成解題.

解析 根據(jù)圓的切線定理可以明確∠OBA=90°，解題過程中，連接OO′，基于此根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論：∠A=∠A′，∠ABA′=∠OBO′，BO=BO′，那么就可以作出如下判斷：△OO′B是一個(gè)等邊三角形，進(jìn)而證明∠OBO′=60°，接下來可判斷∠ABA′=60°，最后再利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠OCB的度數(shù)：∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°.

4 圓中的計(jì)算問題

在學(xué)習(xí)圓相關(guān)知識(shí)的過程中，學(xué)生在解題過程中除掌握?qǐng)A、三角形的概念、性質(zhì)和定理，還需要在涉及面積計(jì)算問題時(shí)，掌握作差法、平移法、等積法、割補(bǔ)法等各種方法輔助計(jì)算，從而在解題思路清晰的情況下，得出正確答案.

例4 已知A、B兩地相距1km，要在A、B兩地之間修建一條筆直的交通軌道，根據(jù)具體測(cè)量得出以下兩個(gè)信息：C地在A地的北偏東60°方向、C地在B地的北偏西45°方向，該地有一個(gè)以C為圓心，半徑長(zhǎng)為350m的圓形的兒童主題樂園，修建的這條交通軌道是否會(huì)穿過主題樂園？

分析 本題考查學(xué)生對(duì)圓的基本性質(zhì)、圓的切線定理以及三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角定理等方面知識(shí)的掌握程度.想明確以C為圓心的公園是否會(huì)與AB邊相交，必須求圓形的半徑以及C點(diǎn)到線段AB的距離，若⊙C的半徑長(zhǎng)度大于C點(diǎn)到線段AB的距離，則軌道穿過主題樂園，若⊙C的半徑小于C點(diǎn)到線段AB的距離，則修建這條軌道不會(huì)穿過主題樂園.

解析 首先過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，那么可以根據(jù)已知條件得出∠CBA=45°，∠BCD=45°，因此，可以求得CD=BD，我們可以假設(shè)CD的長(zhǎng)度為xkm，那么BD的長(zhǎng)度也為xkm，再根據(jù)C點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東60°方向，可以得出∠CAB=30°，基于此求出AC的長(zhǎng)度為2xkm，基于勾股定理計(jì)算出AD=3xkm，而AD+BD=1km，那么求得3x+x=1，x ≈ 0.37km，370m＞350m，所以以直線AB修建的軌道不會(huì)穿過兒童主題樂園.

5 結(jié)語

深入分析初中數(shù)學(xué)圓相關(guān)問題及解題技巧后，教師未來應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力與靈活思考能力，保證他們?cè)诮⑼暾闹R(shí)體系后，面對(duì)各類圓的題型都能積極探索、從容面對(duì)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］左朋法.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“圓”的解題解析［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（21）：26-27.

［2］孫明松.初中數(shù)學(xué)圓的解題技巧研究［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（05）：84-85.