【摘要】數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)教育和學(xué)習(xí)的一個重要組成部分，對于全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和推進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育具有深遠(yuǎn)影響.本文通過結(jié)合具體的教學(xué)案例，總結(jié)出數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體實踐路徑，主要有構(gòu)建函數(shù)模型，體會數(shù)量關(guān)系；構(gòu)建方程組模型，探索問題的本質(zhì)；構(gòu)建幾何模型，進(jìn)行變式訓(xùn)練；構(gòu)建概率與統(tǒng)計模型，激發(fā)學(xué)生思辨能力；構(gòu)建不等式模型，培養(yǎng)發(fā)散思維.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)在生活中無處不在，從簡單的購物計算到復(fù)雜的工程設(shè)計，都需要數(shù)學(xué)的支持，數(shù)學(xué)建模是一個將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解的過程，這個過程需要抽象思維、邏輯推理和創(chuàng)新能力，對于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)具有重要意義.這也有助于培養(yǎng)他們的邏輯思維能力、創(chuàng)新能力和實踐能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 構(gòu)建函數(shù)模型，體會數(shù)量關(guān)系

數(shù)學(xué)建模思想確實是一種強大的工具，能夠?qū)?fù)雜的現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為簡化的數(shù)學(xué)形式，以便于分析和解決.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)建模，教師可以選取一些與學(xué)生生活密切相關(guān)的問題作為建模對象.例如，可以探討如何通過數(shù)學(xué)建模來優(yōu)化學(xué)校的時間表安排，或者預(yù)測某種商品的銷售趨勢等.

例如 以一次函數(shù)的應(yīng)用為例，這一章節(jié)的任務(wù)旨在讓學(xué)生理解并掌握一次函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，學(xué)會從實際問題中抽象出一次函數(shù)模型，并通過不同的信息來源（如文字描述、數(shù)據(jù)表格、圖像等）來確定一次函數(shù)的表達(dá)式.這一章節(jié)的學(xué)習(xí)不僅為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的函數(shù)（如反比例函數(shù)、二次函數(shù)等）打下基礎(chǔ)，而且通過實際問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和問題解決能力.如某體重秤稱重有效范圍是0～100kg，體重x（kg）與指針的轉(zhuǎn)過角度y的對應(yīng)值如下表1所示：

請問，如果小華的體重是60kg，他站在體重秤上后，指針會指向哪里？通過這樣的問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的信息，幫助他們理解體重和指針位置之間的一次函數(shù)關(guān)系.通過表格，學(xué)生可以直觀地看到數(shù)據(jù)的變化趨勢，從而更容易理解一次函數(shù)的概念和性質(zhì)；在這個過程中，教師可以鼓勵學(xué)生利用描點畫圖的方式來分析函數(shù)表達(dá)式，這種教學(xué)方式不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性，還能夠培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力和探索精神，通過這個過程，學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)知識由表象到本質(zhì)的深化，真正理解和掌握一次函數(shù)的應(yīng)用.

2 構(gòu)建方程組模型，探索問題的本質(zhì)

方程模型是數(shù)學(xué)中一種非常重要的工具，廣泛應(yīng)用于各種實際問題中，這種轉(zhuǎn)化過程不僅有助于學(xué)生更深入地理解問題的本質(zhì)，還能夠提高他們的創(chuàng)造性思維能力.為了幫助學(xué)生更好地掌握這種能力，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中可以通過設(shè)置分層分類的問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生選擇和運用數(shù)學(xué)概念、公式和定理等構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來描述變量之間的關(guān)系，這種教學(xué)方式不僅有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，還能夠培養(yǎng)他們的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力.

例如 以應(yīng)用二元一次方程組為例，以增收節(jié)支教學(xué)為例，教師采取了一個富有創(chuàng)意和實用性的教學(xué)策略，即將學(xué)生引入實際生活的場景，通過收集和分析家庭水費數(shù)據(jù)，理解并掌握如何應(yīng)用二元一次方程組來解決實際問題.在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將這種方法應(yīng)用到更復(fù)雜的實際問題中，如公司利潤的計算，通過分析去年的利潤、今年的總產(chǎn)值和總支出的變化率，學(xué)生需要列出二元一次方程組來求解去年的總產(chǎn)值和總支出.“某公司去年的利潤（總產(chǎn)值—總支出）為200萬元.今年總產(chǎn) 值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元.去年的總產(chǎn)值、總支出分別是多少萬元？”為了解決這個問題，我們需要使用數(shù)學(xué)模型.設(shè)去年的總產(chǎn)值為 x 萬元，總支出為 y 萬元.根據(jù)題目，我們可以建立以下方程：

去年的利潤是x－y=200 萬元（總產(chǎn)值-總支出）；

今年的總產(chǎn)值比去年增加了20%，即今年的總產(chǎn)值為1.2x 萬元；

今年的總支出比去年減少了10%，即今年的總支出為0.9y 萬元；

今年的利潤是1.2x－0.9y=780萬元；由此，我們得出一元二次方程組：

x－y=2001.2x－0.9y=780

通過解決這類實際問題，學(xué)生不僅可以掌握方程模型這一有效的數(shù)學(xué)工具，還可以增強他們的經(jīng)濟(jì)意識和資源意識，這種綜合性的學(xué)習(xí)實踐過程對于促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展和提高他們的綜合素質(zhì)具有重要意義.

3 構(gòu)建幾何模型，進(jìn)行變式訓(xùn)練

初中數(shù)學(xué)教材中蘊含了豐富的模型思想，尤其是在幾何圖形的學(xué)習(xí)中，幾何圖形，如三角形、四邊形和圓等，不僅是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要載體.為了幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法，教師可以通過不斷地練習(xí)和反思，學(xué)生可以逐漸學(xué)會培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力.

例如 初中數(shù)學(xué)幾何中的勾股定理，李叔叔檢測石獅雕塑底座，如圖1所示：

李叔叔想確定正面的AC邊和BD邊是否都垂直于底邊AB.他只帶了一個卷尺，已測得AC=30厘米，AB=40厘米，BC=50厘米.我們?nèi)绾螏椭钍迨迮袛郃C邊是否垂直于AB邊呢？另外，如果小亮只有一個20厘米的刻度尺，他能否用這個工具來檢測AC和BD邊是否垂直于AB邊？

對于李叔叔的情況，我們可以使用勾股定理來驗證，如果AC2+AB2=BC2，那么AC邊就是垂直于AB邊的.我們計算得到：AC2+AB2=2500，BC2=2500，所以AC邊是垂直于AB邊的.

對于小亮的情況，他有一個20厘米的刻度尺，要檢驗AC邊是否垂直于AB邊，他可以嘗試以下方法：

如果AC的長度小于20厘米，他可以直接在AC上測量一個點E，使得AE的長度為10厘米（因為20厘米的一半是10厘米）；

然后，小亮使用刻度尺從A點沿著AB方向測量10厘米到點F；檢查EF是否與AB垂直.如果EF與AB垂直，那么由于AE和AF的長度相等，并且都是10厘米，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，AC也應(yīng)該與AB垂直.

對于BD邊是否垂直于AB邊，小亮同樣可以使用類似的方法，但這次他需要在BD上測量.

在勾股定理的模型應(yīng)用中，教師應(yīng)該注重學(xué)生的探索和實踐能力，設(shè)計一些與現(xiàn)實生活相關(guān)的問題情境，讓學(xué)生運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解決，從而提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和問題解決能力.

4 構(gòu)建概率與統(tǒng)計模型，激發(fā)學(xué)生思辨能力

統(tǒng)計建模和概率建模是數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，特別是在處理大量數(shù)據(jù)和隨機現(xiàn)象時，在初中階段，學(xué)生開始接觸這些概念，為他們在更高層次上的學(xué)習(xí)和將來的職業(yè)生涯打下基礎(chǔ).統(tǒng)計建模是一個系統(tǒng)的過程，它包括數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和解釋.這個過程旨在從數(shù)據(jù)中提取有用的信息，建立數(shù)學(xué)模型以預(yù)測或解釋某些現(xiàn)象.在初中階段，學(xué)生通常會學(xué)習(xí)如何進(jìn)行抽樣調(diào)查，如何計算基本的統(tǒng)計量（如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等），以及如何繪制圖表（如條形圖、折線圖、餅圖等）來直觀地展示數(shù)據(jù).概率建模則關(guān)注隨機事件發(fā)生的可能性.概率是一種數(shù)學(xué)工具，用于描述隨機現(xiàn)象的結(jié)果.在初中階段，學(xué)生將學(xué)習(xí)基本的概率概念，如事件、隨機事件、獨立事件、互斥事件等，此外，學(xué)生還將學(xué)習(xí)如何使用概率來解決實際問題，如預(yù)測比賽結(jié)果、評估風(fēng)險等.

例如 為了估計池塘的螃蟹數(shù)量，我們采用了“抓、放、抓”的方法，首先，我們抓上來n只螃蟹，給它們打上標(biāo)記，然后再放回池塘，之后，我們再次進(jìn)行捕撈，并觀察每a只螃蟹中有b只是有標(biāo)記的，目標(biāo)是利用這些信息來估算池塘中總的螃蟹數(shù)量.根據(jù)題目，我們可以建立以下模型：

第一次捕撈并標(biāo)記了n只螃蟹；

第二次捕撈時，每a只螃蟹中有b只是有標(biāo)記的；

因此，我們可以得出以下結(jié)論：

在第二次捕撈的a只螃蟹中，有標(biāo)記的螃蟹所占的比例應(yīng)該與池塘中所有有標(biāo)記的螃蟹所占的比例相近，即：nT≈ba.現(xiàn)在我們要來解這個方程，找出 T 的值，計算結(jié)果為：T=anb.

通過這個問題，學(xué)生可以體驗到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，并且學(xué)習(xí)到如何運用數(shù)學(xué)知識和邏輯思維來解決實際問題.在解決這個問題時，他們首先需要理解問題的本質(zhì)，即如何通過有限的樣本信息來估計總體的數(shù)量；然后運用統(tǒng)計和概率的知識來建立數(shù)學(xué)模型.這種從具體到抽象、從簡單到復(fù)雜的教學(xué)方法有助于學(xué)生逐步深化對數(shù)學(xué)知識的理解，并培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模能力.

5 構(gòu)建不等式模型，培養(yǎng)發(fā)散思維

不等式模型是數(shù)學(xué)中一種強大的工具，特別適用于解決現(xiàn)實世界中那些涉及不確定數(shù)值或需要確定某個量變化范圍的問題，這些問題通常存在于各種實際場景中，如最佳方案選擇、交通運輸規(guī)劃、生產(chǎn)規(guī)劃以及方案設(shè)計等.在這些領(lǐng)域中，不等式模型能夠幫助我們理解和分析問題的本質(zhì).這種方法不僅有助于我們更全面地理解問題，還可以為制定決策提供科學(xué)依據(jù).

例如 某工廠計劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，其中A產(chǎn)品的利潤為每件30元，B產(chǎn)品的利潤為每件20元.工廠的總投資為100000元，且用于生產(chǎn)A產(chǎn)品的資金不能超過總投資的60%.同時，工廠每天最多能生產(chǎn)A產(chǎn)品100件和B產(chǎn)品150件.如果工廠想要最大化總利潤，應(yīng)該如何安排生產(chǎn)？

解決這個問題首先要定義變量，設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品的數(shù)量為x件，生產(chǎn)B產(chǎn)品的數(shù)量為y件，總利潤為Z，之后構(gòu)建不等式模型：

利潤最大化，Z=30x+20y（總利潤是A產(chǎn)品和B產(chǎn)品利潤之和）；

資金限制，30x+20y≤60000（A產(chǎn)品和B產(chǎn)品的總成本不能超過總投資的60%）；

生產(chǎn)能力限制，x≤100和y≤150（每天最多能生產(chǎn)A產(chǎn)品100件和B產(chǎn)品150件）.

這個例題展示了如何使用不等式模型來解決一個涉及資源分配和利潤最大化的實際問題，通過構(gòu)建合適的不等式模型，我們可以找到滿足各種限制條件的最佳解決方案.

6 結(jié)語

數(shù)學(xué)建模是一個多元化且廣泛應(yīng)用的領(lǐng)域，它可以從不同的角度進(jìn)行分類，為了更有效地增強學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，初中數(shù)學(xué)教師可以從學(xué)生日常生活中熟悉的問題入手，并運用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，幫助學(xué)生形成一個數(shù)學(xué)建模的框架，提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并為他們未來的學(xué)習(xí)和職業(yè)生涯打下堅實的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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