摘要：在深度學(xué)習(xí)理論的指導(dǎo)下，充分整合人教版、滬科版初中教材中“不等式及其基本性質(zhì)”的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，借助幾何畫板軟件，以數(shù)軸為主線創(chuàng)設(shè)問題背景，將數(shù)軸上的線段AB或左右平移，或以原點(diǎn)O為位似中心進(jìn)行同向（反向）縮放來設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“探究性學(xué)習(xí)”.

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí);數(shù)軸;探究實(shí)踐

1 研究背景

滬科版初中數(shù)學(xué)教材將“不等式及其基本性質(zhì)”安排在第七章第一節(jié)〔七年級(jí)（下））〕，它建立在“等式的基本性質(zhì)”及“實(shí)數(shù)的大小比較”等基礎(chǔ)上，為后續(xù)“解不等式（組）”等知識(shí)的學(xué)習(xí)提供理論支撐，故本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容具有承上啟下的作用，合適的教學(xué)可以幫助學(xué)生建立更為整體的知識(shí)結(jié)構(gòu).

教材首先以學(xué)生熟悉的天平為問題情境讓學(xué)生體會(huì)不等式的性質(zhì)1與性質(zhì)2，然后借助數(shù)軸直觀地表示出不相等的兩數(shù)a，b（a>b）的相反數(shù)－a，－b，并進(jìn)行大小比較，以體會(huì)不等式的的性質(zhì)3.

如此設(shè)計(jì)，尊重了學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，注重了知識(shí)的形成過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.但是，筆者認(rèn)為，如此編寫，似乎缺少一條將它們串為一體的主線，有浮于淺層學(xué)習(xí)之嫌，故需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行深度學(xué)習(xí).筆者通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，巧借數(shù)軸創(chuàng)設(shè)問題情境來引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行探究，更好地滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生理解性質(zhì)，強(qiáng)化其探究意識(shí)，提升發(fā)展性學(xué)力.

2 探究實(shí)踐

“探究性學(xué)習(xí)”（又稱發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)）是指教師創(chuàng)設(shè)一定的問題情境后便放手讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、討論、猜想、驗(yàn)證和推理證明等探究活動(dòng)，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識(shí)新知和挖掘思想方法的學(xué)習(xí)活動(dòng)，意在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)展性學(xué)力，是一種較為受到推崇且具有較強(qiáng)可塑性與發(fā)展性的學(xué)習(xí)方式.

2.1 不等式性質(zhì)1的探究性學(xué)習(xí)

提出問題：我們知道“等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，等式仍然成立”，那么，不等式是否也具有類似的性質(zhì)呢？

實(shí)踐操作：（1）4_____1，4+3_____1+3，4－3_____1－3（用“＞”或“＜”填空）；（2）由上述結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)說出你的猜想.

討論猜想：（性質(zhì)1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變.用式子表示為“若a<b，則a+c<b+c”.

再次驗(yàn)證：利用教材中的天平實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證.

深入探究：你能借用數(shù)軸說明不等式的性質(zhì)1嗎？（雖然學(xué)生知道“任意實(shí)數(shù)都可用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，而且數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)”，但對(duì)如何用數(shù)軸來說明不等式的基本性質(zhì)1缺乏應(yīng)用的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，可能比較茫然，甚至無從下手，教師不妨通過如下驅(qū)動(dòng)問題引導(dǎo)學(xué)生大膽嘗試.）

問題1-1如圖1，將數(shù)軸（1）上的線段AB沿著數(shù)軸正方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到數(shù)軸（2）上的線段A1B1.

說明：為了便于學(xué)生觀察，筆者將線段AB在數(shù)軸上移動(dòng)前后的位置用互相平行且原點(diǎn)對(duì)齊、單位長(zhǎng)度相同的兩條數(shù)軸（1）（2）表示，下同.

由于沒有指定線段AB在數(shù)軸上的具體位置，學(xué)生的構(gòu)圖一定會(huì)豐富多彩，教師可選用幾種有代表性的圖在黑板上展示（如線段A1B1相對(duì)于線段AB的位置有重疊仍位于右側(cè)、有重疊位于左側(cè)、全部位于左側(cè)等）.

問題1-2線段AB與A1B1兩端點(diǎn)表示的數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？〔意在引導(dǎo)學(xué)生觀察出線段A1B1兩端點(diǎn)表示的數(shù)比線段AB兩端點(diǎn)表示的數(shù)增加（或減少）的值相同.〕

問題1-3你能借用圖2說明不等式的基本性質(zhì)1嗎？（啟發(fā)學(xué)生完成表1，并思考借用數(shù)軸說明不等式基本性質(zhì)的本質(zhì)與依據(jù).）

其本質(zhì)就是在數(shù)軸上將線段AB進(jìn)行左右平移，平移后線段兩端點(diǎn)所表示的數(shù)之間的大小關(guān)系不變，依據(jù)為在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù).

2.2 不等式性質(zhì)2與性質(zhì)3的探究性學(xué)習(xí)

問題2-1我們類比等式的基本性質(zhì)1得到了不等式的性質(zhì)1，那么，還能得到不等式的其他性質(zhì)嗎？

類比等式性質(zhì)2“等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為零）或同一個(gè)整式，等式仍然成立”，學(xué)生常常會(huì)直接猜想“不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為零），不等號(hào)的方向不變；用式子表示為：若a<b，c≠0，則ac<bc”.

此時(shí)，通過反例引導(dǎo)學(xué)生反思，需對(duì)c的符號(hào)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而得出不等式的性質(zhì)2與性質(zhì)3.

說明：此處沒有沿用性質(zhì)1的處理方式，主要基于兩點(diǎn).其一，通過開放的問題放手讓學(xué)生自己探究，以充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓他們經(jīng)歷性質(zhì)的生成過程，不僅能學(xué)會(huì)類比遷移，更能完善認(rèn)知問題的思維方式；其二，性質(zhì)2與性質(zhì)3是一對(duì)關(guān)聯(lián)性極強(qiáng)的性質(zhì)，同時(shí)研究有利于學(xué)生對(duì)比學(xué)習(xí)，厘清二者之間的關(guān)系，并優(yōu)化思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

再次探究：你能仿照性質(zhì)1的探究方式，也借用數(shù)軸來說明不等式的性質(zhì)2與性質(zhì)3嗎？

說明：有不等式性質(zhì)1的探究經(jīng)歷，對(duì)于當(dāng)c是正整數(shù)且a，b均為正數(shù)時(shí)，學(xué)生易想到構(gòu)圖，取c=3，即將線段AB上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都擴(kuò)大為原來的3倍構(gòu)出圖2來說明不等式的性質(zhì)2.

類似地，當(dāng)a，b異號(hào)或均為負(fù)數(shù)時(shí)，學(xué)生也不難理解與構(gòu)圖，但當(dāng)c為正分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生處理起來又稍感棘手了.

問題2-2什么是分?jǐn)?shù)？它與整數(shù)之間有什么關(guān)系？

說明：通過正分?jǐn)?shù)c可以表示為n/m（m，n均為正整數(shù)且互質(zhì)）形式引導(dǎo)學(xué)生思考，當(dāng)不等式a<b兩邊同乘正分?jǐn)?shù)c時(shí)，實(shí)際上就是先把a(bǔ)，b分別進(jìn)行m等分，再把靠近原點(diǎn)的一份擴(kuò)大到原來的n倍（當(dāng)然也先可擴(kuò)大到原來的n倍，再把結(jié)果m等分）.現(xiàn)以c=23為例構(gòu)造出圖3，并借助圖3解讀不等式的基本性質(zhì)2.

試根據(jù)圖3完成表2.

問題2-3如何借助數(shù)軸來說明不等式的基本性質(zhì)3呢？

說明：通過負(fù)數(shù)c可以表示成－1×（－c），引導(dǎo)學(xué)生思考，當(dāng)不等式a<b兩邊同乘－1，實(shí)際上就是在數(shù)軸上找出數(shù)a，b的相反數(shù)（即在數(shù)軸上找到表示數(shù)a，b的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)），再運(yùn)用不等式的性質(zhì)2（－c可以是正整數(shù)，也可以是正分?jǐn)?shù)），以c=－2為例不難構(gòu)造出圖4.

試根據(jù)圖4完成表3.

2.3 不等式性質(zhì)4的探究性學(xué)習(xí)

類比猜想：我們知道等式具有傳遞性，即“若a=b，b=c，則a=c”，不等式是否也有類似的性質(zhì)呢？（學(xué)生會(huì)直接猜想到“若a<b，b<c，則a<c”.）

再次探究：你還能借用數(shù)軸說明不等式的性質(zhì)4嗎？

說明：學(xué)生經(jīng)歷了用數(shù)軸探究不等式的基本性質(zhì)1～3，已積累了一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，對(duì)用數(shù)軸探究不等式的性質(zhì)4幾乎沒有困難，因此教師放手讓學(xué)生設(shè)計(jì)問題自主探究.并選派代表到黑板上進(jìn)行成果展示.

問題3-1如圖5，已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a，b，且滿足a<b.現(xiàn)有數(shù)c滿足b<c，試確定數(shù)a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C在數(shù)軸上的大致位置.

說明：由于b<c，那么表示數(shù)c的點(diǎn)總在表示數(shù)b的點(diǎn)的右邊，因此數(shù)a，b，c分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸自左向右依次排列著的點(diǎn)A，B，C，如圖5.

問題3-2點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)a，b，c之間有何大小關(guān)系？（意在引導(dǎo)學(xué)生觀察，根據(jù)數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，判斷出點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)a，b，c之間的大小關(guān)系.）

不等式性質(zhì)5——不等式的對(duì)稱性，因簡(jiǎn)單易理解，本文不再贅述.

3 教學(xué)反思

“深度學(xué)習(xí)”是指學(xué)習(xí)者在理解的基礎(chǔ)上批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并把它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，且能夠在眾多思想間建立聯(lián)系，進(jìn)而遷移到新的情境中，作出決策和解決問題.它不僅給學(xué)生提供了更多自主探究的空間，而且還豐富了學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)過程，既強(qiáng)調(diào)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，也強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展[1].2022年版新課程標(biāo)準(zhǔn)教材編寫建議指出“……有利于引發(fā)學(xué)生思考，素材選取要貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，真實(shí)可信……”；教學(xué)建議指出“……選擇能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式，……，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合”［2］.本探究性教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)是在充分整合人教版與滬科版七年級(jí)教材的前提下，借助幾何畫板軟件，以數(shù)軸為主線創(chuàng)設(shè)問題背景，將數(shù)軸上的線段AB或左右平移，或以原點(diǎn)O為位似中心進(jìn)行同向（反向）縮放，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、交流、驗(yàn)證、歸納、總結(jié)等探究活動(dòng)，將“深度學(xué)習(xí)”與“探究性學(xué)習(xí)”有機(jī)整合.這樣不僅可以讓學(xué)生體會(huì)類比、分類、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的合理運(yùn)用及研究不等式基本性質(zhì)的新思路、新方法，加深對(duì)性質(zhì)的理解，拓寬思維視角，培養(yǎng)探究能力；同時(shí)，借助線段在數(shù)軸上的左右平移、放大或縮小、已知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱等操作活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)靈動(dòng)課堂，為學(xué)生的的動(dòng)手操作能力及直觀想象能力的培養(yǎng)發(fā)揮了積極的作用.

參考文獻(xiàn)：

［1］劉華為.基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2020.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.