摘要：本文中以“角的平分線的性質(zhì)”為例，陳述了利用往屆數(shù)學課堂的生成性資源進行教學設計，通過設計情境引導學生經(jīng)歷角的平分線的性質(zhì)和角的平分線的尺規(guī)作圖方法的再生成過程.

關鍵詞：生成性資源；初中數(shù)學；課堂教學

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在實施建議部分提出：“生成性資源是在教學過程中動態(tài)生成的，如師生交互及生生交流過程中產(chǎn)生的新情境、新問題、新思路、新方法、新結果等.合理地利用生成性資源有利于提高教學的有效性.”[1]生成性資源主要是指初中數(shù)學課堂教學中生成的課程資源，它是依托數(shù)學課堂教學過程，通過師生之間、生生之間的交互產(chǎn)生的.生成性資源是動態(tài)的，有教師預設中的生成，也有超出預料范圍之外的生成[2].下文以“角的平分線的性質(zhì)”第1課為例進行說明.

1 利用資源，前置避錯

學生的學習錯誤是一種生成性資源.教學中教師應把握數(shù)學學習錯誤的規(guī)律，揭示數(shù)學學習錯誤的成因，適當加工數(shù)學學習錯誤，挖掘數(shù)學學習錯誤的資源性價值[3].課本以文字敘述的形式給出了角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.證明該性質(zhì)時，需要分清其題設和結論.往屆學生學習錯誤記錄表明：部分學生把“距離”放在結論中，部分學生忽略“點到直線的距離”中隱含著“垂直”的條件，還有部分學生漏了“點在（角平分）線上”，這都導致了符號化的過程出現(xiàn)障礙.為幫助學生順利跨越該障礙，實施以下教學環(huán)節(jié)：

1.1 復習鞏固，激活記憶

設置課前復習，積累“點到直線的距離隱含垂直的位置關系”的經(jīng)驗，激活長時記憶，促其生成表象，達成前置避錯.圖1

填空如圖1，點O到直線l的距離是線段____的長度.

教師個別提問后板書：“點O到直線l的距離可表示為OP⊥l于點P”強調(diào)距離隱含著垂直，點到直線的距離的符號語言中必須交待垂足.

1.2 目測實驗，強調(diào)題設

問題1分組實驗：

學號為奇數(shù)的學生做實驗A，學號為偶數(shù)的學生做實驗B.實驗結束后，學生交流由實驗所得的猜想，再用幾何畫板驗證猜想.

實驗A如圖2，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分別為D，E，點F與G在OB上.

目測：四條線段PD，PE，PF，PG中，____=____.

實驗B如圖3，OC平分∠AOB，點P，M，N分別在OC，OK，OL上，分別過點M，P，N作OA，OB的垂線段.

目測：三組共端點的垂線段中，兩條線段的長度相等的是____.

猜想：____.

目測實驗后，學生順利得出猜想.在此過程中，通過實驗A強調(diào)“到兩邊的距離”，通過實驗B強調(diào)“點在角平分線上”.在學生完成猜想后，標記三個條件：“角平分線”“點在角平分線上”“到兩邊的距離”，如圖4：

往屆課堂教學的生成性資源是當下課堂教學的重要資源，值得教師們深入分析其成因，并充分發(fā)揮其資源性價值.

2 觀察操作，自主生成

多爾（WILLIAME.DOLL）認為，學生應該從“做中學”，生成知識，轉(zhuǎn)化經(jīng)驗，生成不可預知的因素，碰撞出創(chuàng)造的火花，新的知識就這樣產(chǎn)生了.課堂“活”起來，學習才是有生命力的[4].筆者讓學生經(jīng)歷目測感知→操作體會→歸納猜想→推理證明，實現(xiàn)知識的再生成過程.

2.1 目測感知

目測實驗讓學生在處理視覺刺激和語言刺激的過程中，自發(fā)地猜想出角的平分線的性質(zhì)，并用提出猜想的學生姓氏命名（如：雷氏猜想），讓學生體會成功的同時，明確猜想的三個條件.

2.2 操作體會

圖5為了能更深入地理解命題的內(nèi)涵，讓學生經(jīng)歷幾何畫板操作實驗（如圖5），并回答：①你拖動了哪個點？②你觀察了哪些數(shù)據(jù)？③實驗后你得到了怎樣的結論？

設計意圖：讓學生通過操作實驗，進一步領悟猜想的內(nèi)涵.改變點M的位置，觀察HM和IM的大小變化，進一步強化“點在角的平分線上”的條件.改變點F的位置，觀察PF和PD的大小關系，進一步強化“點到角的兩邊的距離”的條件.改變點P的位置，觀察PE和PD的大小關系，讓學生體會命題對于角平分線上任意一點都成立.拖動點D，改變∠AOB的大小，讓學生領悟命題對任意大小的角都成立.

2.3 推理證明

追問1：經(jīng)歷實驗驗證，猜想一定成立嗎？為什么？

當時，所有學生表示不成立.但是說不出為什么.還有一位李同學舉手回答“一定成立”并口頭證明了命題.在學習三角形內(nèi)角和定理的過程中，積累了一定的從實驗幾何走向論證幾何的數(shù)學活動經(jīng)驗.這說明學生還沒真正領悟證明的必要性.學生的回答得到肯定后，教師再講述證明的必要性，帶領學生從實驗幾何走向論證幾何.

追問2：角的平分線的性質(zhì)中，題設和結論分別是什么？點到直線的距離隱含著什么條件？

用符號語言寫出已知和求證，讓李同學再陳述一次證明過程，教師板書，把用全等三角形證明線段（或角）相等的思路稱為“李氏思路”.學生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、實驗驗證、推理論證過程，體會研究幾何問題的基本思路.

2.4 類比遷移

“用‘李氏思路’還可以找到角平分線的尺規(guī)作圖方法.”如圖6，已知∠AOB，請用盡可能多的方法作出∠AOB的角平分線.（要求用尺規(guī)作圖.）

設計意圖：引導學生借用“李氏思路”，遷移生成作角平分線的尺規(guī)作圖方法.

學生展示學習成果，如圖6、圖7.

追問1：方法可行嗎？（要求學生口頭證明作圖方法，養(yǎng)成有理有據(jù)的推理習慣，提高推理能力，培養(yǎng)實事求是的科學精神.）

追問2：哪種方法更簡便？（利用類比，引導學生自主生成優(yōu)化策略，體現(xiàn)數(shù)學的簡練之美.）

3 體驗成功，自主內(nèi)化

課堂總結時，學生驕傲地回答：“這節(jié)課我們學習了雷氏性質(zhì)、李氏思路和角的平分線的尺規(guī)作圖方法.”用學生的姓氏命名定理和通性通法，激發(fā)學生的學習積極性，誘發(fā)學生自主內(nèi)化.

讓學生經(jīng)歷數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程，體會數(shù)學是認識、理解與表達現(xiàn)實世界的工具、方法和語言，增強認識現(xiàn)實世界、解決現(xiàn)實問題的能力，樹立學好數(shù)學的自信心，養(yǎng)成良好的學習習慣[5].

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012：67-71.

[2]雷珮瑛.知惑教學［M］.廣州：華南理工大學出版社，2021：6.

[3]雷珮瑛.知惑教學［M］.廣州：華南理工大學出版社，2021：7-8.

[4]羅祖兵.生成性教學的基本理念及其實踐訴求［J］.高等教育研究，2006（8）：47-53.

[5]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：87.