摘要：通過對(duì)一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的幾何圖形展開教學(xué)分析，引導(dǎo)學(xué)生從猜想到驗(yàn)證、從定性到定量，進(jìn)一步體驗(yàn)幾何研究的基本方法，形成結(jié)構(gòu)化思考的意識(shí)；從動(dòng)中找靜、動(dòng)中尋異，精準(zhǔn)述異，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析圖形，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維，有效促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地.

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)變化；邏輯推理；模型

九年級(jí)綜合復(fù)習(xí)階段，教師常通過挖掘一道題的數(shù)學(xué)本質(zhì)與內(nèi)在學(xué)習(xí)線索，組織相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，從而完成一節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，以此達(dá)成多維目標(biāo).本例通過對(duì)一個(gè)幾何圖形的分析研究，讓學(xué)生經(jīng)歷幾何命題的提出和證明過程，增強(qiáng)邏輯推理能力；經(jīng)歷圖形分析與比較的過程，會(huì)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述研究對(duì)象的變化；借助圖形分析，形成解決問題的思路，發(fā)展模型觀念.

1 問題呈現(xiàn)

如圖1，正方形ABCD中，E是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向運(yùn)動(dòng)，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，作FG⊥BE交邊CD于點(diǎn)G，連接BG.

問題1根據(jù)圖中的信息，你能得到哪些結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：本問題看起來過于開放，設(shè)計(jì)時(shí)曾想提供些許支架，讓學(xué)生的思考更聚焦，但會(huì)失去本例的學(xué)習(xí)目標(biāo)之一——“有序”意識(shí)，故仍堅(jiān)持原設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生提取儲(chǔ)備信息，如特殊三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、特殊四邊形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等，經(jīng)過初步梳理，得到關(guān)于幾何圖形中邊、角間的位置和數(shù)量關(guān)系.

2 教學(xué)實(shí)施

學(xué)生在獨(dú)立思考、直觀猜想、推理論證后，得出的結(jié)論顯然是凌亂的，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行了分類記錄，如：

2.1 在探尋結(jié)論中學(xué)會(huì)“有序”思考

2.2 在變量研究中體驗(yàn)“模型”作用

問題2以上結(jié)果均為點(diǎn)E從A運(yùn)動(dòng)到D的過程中固定不變的關(guān)系，運(yùn)動(dòng)變化過程中，哪些量會(huì)發(fā)生變化？依據(jù)是什么？

設(shè)計(jì)意圖：幾何圖形在變化的過程中，存在一些固定不變的量或關(guān)系，如前面所得的結(jié)論，都是固定不變的關(guān)系；同時(shí)也存在會(huì)發(fā)生改變的量或關(guān)系.那么變化過程中哪些變化的關(guān)系值得研究？如何研究？本環(huán)節(jié)要求學(xué)生對(duì)變化的關(guān)系進(jìn)行討論，引導(dǎo)學(xué)生利用圖形的對(duì)稱性等性質(zhì)，直觀理解不同圖形面積的變化趨勢(shì)，能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)刻畫變量間的關(guān)系，預(yù)測變化結(jié)果，探究定性與定量的關(guān)系，體驗(yàn)函數(shù)建模的過程； 促進(jìn)學(xué)生體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

設(shè)計(jì)意圖：課程標(biāo)準(zhǔn)提出，從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義，發(fā)展模型觀念.用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，是建立模型的過程[2].本例圖形變化中，如何設(shè)元是關(guān)鍵，不同的設(shè)元會(huì)得到不同的模型，故教師需引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的優(yōu)化，因?yàn)镋是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)（一般設(shè)AE＝x）；而求出模型的結(jié)果并討論結(jié)果的意義，是求解模型的過程，過程中涉及多個(gè)變量，如何應(yīng)用已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，學(xué)生會(huì)存在困難，教師需要啟發(fā)學(xué)生結(jié)合圖形之間的關(guān)系進(jìn)行思考. 建立數(shù)形聯(lián)系，構(gòu)建函數(shù)的直觀模型，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明，把握問題本質(zhì)，明晰思維路徑.

圖3由于△AEF與四邊形EFCD的面積均非基本函數(shù)，教師此時(shí)借助幾何畫板呈現(xiàn)圖象（圖3），觀察到△AEF的面積在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中越來越大，而四邊形EFCD的面積則越來越小，函數(shù)模型準(zhǔn)確刻畫了各圖形面積不同的變化過程.

2.3 在整理反思中歸納“思維”路徑

（1）整理

問題思考路徑：圖形變化—不變的量—變化的量—如何變—模型價(jià)值.

問題解決步驟：適當(dāng)設(shè)元—列表達(dá)式—分析變化過程.

（2）思考

對(duì)平面幾何問題，可有以下思維路徑（如圖4）：

3 教學(xué)反思

3.1 選擇內(nèi)容要關(guān)注核心知識(shí)

九年級(jí)復(fù)習(xí)過程中，內(nèi)容的選擇應(yīng)注重不同主題單元的有機(jī)關(guān)聯(lián)，讓知識(shí)上下貫通，形成網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，同時(shí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生形成“一般觀念”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性與系統(tǒng)性.如本例通過在動(dòng)態(tài)的圖形中觀察研究數(shù)學(xué)對(duì)象的“變”與“不變”，“如何變”，既讓知識(shí)結(jié)構(gòu)化、方法有序化，也使學(xué)生能積累更高層次的問題解決觀念.

3.2 重視學(xué)生思維的深度參與

尋找結(jié)論時(shí)呈現(xiàn)結(jié)果的雜亂，顯示了學(xué)生學(xué)習(xí)過程的自然參與，凸顯了“有序思考”的地位.從不變到變化，從猜想到驗(yàn)證，從廣泛到聚焦，本例設(shè)計(jì)有層次、有關(guān)聯(lián)及系列化的問題串進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，可以讓學(xué)生有效投入到豐富多彩的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，讓學(xué)生有充分的體驗(yàn)過程，發(fā)現(xiàn)、提出問題，并用數(shù)學(xué)的思維思考、解決問題，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題，這種充滿理性思維的學(xué)習(xí)過程，是走向深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.

3.3 重視思維方法的顯化提煉

培養(yǎng)學(xué)生形成正確的思維方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo).本例中，引導(dǎo)學(xué)生“按序”將文字語言和圖形語言互譯，是思維方法；滲透變化與對(duì)應(yīng)的思想，通過對(duì)運(yùn)動(dòng)變化的問題進(jìn)行量化研究，進(jìn)一步理解變量間存在的對(duì)應(yīng)規(guī)律，并形成用函數(shù)模型解決問題的策略，也是基本的數(shù)學(xué)思維方法.而這，都需要在教學(xué)中設(shè)計(jì)從內(nèi)隱到外顯的邏輯通道.

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄：上卷[M]. 杭州：浙江教育出版社，2018：411.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：10.