人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室主任章建躍博士提出，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界為知其然、知其所以然、何由以知其所以然——啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！在幾何教學(xué)中注重怎樣讓學(xué)生想到，也就是要求教師理解研究幾何的一般方法，教學(xué)要注重生成自然，符合學(xué)生的認(rèn)知.筆者以人教版七年級(jí)下冊(cè)第五章“5.1相交線”教學(xué)為例，探討如何用自然生長(zhǎng)促真學(xué)，用真教優(yōu)導(dǎo)助發(fā)展.

基于上述構(gòu)思，筆者設(shè)計(jì)了教學(xué)案，并嘗試執(zhí)教本課，力求讓學(xué)生學(xué)透悟足.

1 “相交線”教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 教學(xué)環(huán)節(jié)一：初步感悟

問題1（1）觀察圖1，圖中包含了哪些基本幾何圖形？

（2）同一平面內(nèi)，兩條直線有哪些位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧基本幾何圖形，喚醒學(xué)生對(duì)點(diǎn)、直線、射線、線段、角的回憶，歸納研究幾何圖形的基本途徑.

1.2 教學(xué)環(huán)節(jié)二：新知探究

問題2（1）上述研究都是基于一條直線進(jìn)行的，下面我們可以研究什么？

（2）嘗試畫出同一平面內(nèi)兩條直線的關(guān)系.（小組合作探究，然后集體交流匯報(bào).）

（3）這兩種位置關(guān)系的區(qū)別是什么？你能嘗試描述嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問題2引導(dǎo)學(xué)生思維自然過(guò)渡到本節(jié)課要研究的知識(shí)點(diǎn).基于對(duì)小學(xué)知識(shí)的認(rèn)知，學(xué)生會(huì)畫出平行、相交、垂直三種情況的直線，然后進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，共同探究，找到正確的分類，辨析清楚垂直是相交的一種特殊情況.通過(guò)找尋兩種位置關(guān)系的區(qū)別，嘗試給相交線下定義——兩條不同的直線有唯一的公共點(diǎn)時(shí)，我們稱這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫交點(diǎn).用符號(hào)語(yǔ)言描述為直線AB，CD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O為交點(diǎn).

問題3（1）我們給相交線下了定義，那么下面研究什么？

（2）如圖2，兩條直線AB，CD相交于點(diǎn)O，O為交點(diǎn)，具體可以研究什么？

（3）如何探究?jī)蓷l直線相交形成的四個(gè)角之間的關(guān)系？

（4）請(qǐng)嘗試給角命名.

（5）你能找出對(duì)頂角嗎？如果不能，請(qǐng)說(shuō)出理由.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生借助已經(jīng)學(xué)過(guò)的直線、射線、線段和角的研究過(guò)程，清楚研究定義之后可以探究相交線的性質(zhì).那么對(duì)于具體問題，如何選擇研究的對(duì)象，這就要把握相交線研究的內(nèi)涵，即幾何圖形組成的元素之間的相互關(guān)系就是性質(zhì).確定具體研究?jī)?nèi)容為研究角之間的關(guān)系.但是兩條相交直線小于平角的角共有4個(gè)，可能會(huì)存在四個(gè)角、三個(gè)角、兩個(gè)角的研究方向，靠學(xué)生單獨(dú)研究效率太低，故借助小組合作學(xué)習(xí)，共同發(fā)現(xiàn).對(duì)于四個(gè)角之間的關(guān)系學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)其和為360°，而三個(gè)角之間沒有確定的關(guān)系.其中比較難探究的是兩個(gè)角之間的關(guān)系，可以引導(dǎo)學(xué)生首先找出共有幾對(duì)角，如選擇一組角∠AOD和∠BOD，從幾何研究的內(nèi)容出發(fā)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于兩個(gè)角可以研究其數(shù)量和位置關(guān)系，但是位置關(guān)系如何有效描述，需要引導(dǎo)學(xué)生從角的定義出發(fā)找到研究的方向.然后學(xué)生共同探究剩余的幾組角，根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)進(jìn)行分類，嘗試命名，進(jìn)一步加深對(duì)鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的理解.通過(guò)例題，檢驗(yàn)學(xué)生是否真正理解了相關(guān)概念，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)對(duì)頂角的認(rèn)知.

例1圖3中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）.

A B C D

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)辨析，加深對(duì)概念的理解.

問題4兩條直線相交，在其中一條直線繞交點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角具有特定的數(shù)量關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)問題4的研究，充分認(rèn)識(shí)到直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變與不變，特別是通過(guò)對(duì)頂角相等的推理，進(jìn)一步加深對(duì)對(duì)頂角性質(zhì)的理解.然后通過(guò)規(guī)范對(duì)頂角性質(zhì)的符號(hào)語(yǔ)言，進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)概念.

1.3 教學(xué)環(huán)節(jié)三：學(xué)以致用

例2如圖4，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度數(shù).

變式1如圖5，已知直線a，b相交，∠2是∠1的3倍，求∠2，∠3，∠4的度數(shù).

變式2如圖5，已知直線a，b相交，∠2-∠1=120°，求∠2，∠3，∠4的度數(shù).

例3如圖6，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)找出∠AOE的鄰補(bǔ)角及對(duì)頂角.若沒有，請(qǐng)畫出.

例4如圖7，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，則∠AOC的對(duì)頂角是_______，∠AOE的鄰補(bǔ)角是_______.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生從實(shí)例出發(fā)，經(jīng)歷探究的過(guò)程，進(jìn)一步加深對(duì)相交線相關(guān)知識(shí)的理解，提升知能.

1.4 教學(xué)環(huán)節(jié)四：拓展提升

問題5（1）我們已經(jīng)研究了兩條直線相交的情況，那么三條直線相交于同一點(diǎn)會(huì)形成多少組對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角呢？

（2）你能解決4條直線相交于同一點(diǎn)的問題嗎？10條直線相交于同一點(diǎn)呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)歸納總結(jié)兩條直線相交于同一點(diǎn)形成對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的特征，建立“基本圖形”，在探究三條直線相交于同一點(diǎn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角特征的時(shí)候，有意識(shí)將其轉(zhuǎn)化為兩條直線相交時(shí)的“基本圖形”來(lái)解決問題.學(xué)生在探究4條、10條直線，以及n條直線（可以放在課后研究）相交于一點(diǎn)的問題時(shí)也就有了思路.

1.5 教學(xué)環(huán)節(jié)五：總結(jié)反思

（1）這節(jié)課我們是如何研究相交線的？

（2）如何看待兩條直線垂直？

（3）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角有什么共同特點(diǎn)？

（4）下一步我們可以研究什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)反思（1），學(xué)生能厘清研究相交線的思路，這對(duì)今后研究其他幾何圖形有更多的幫助.通過(guò)總結(jié)反思（2），幫助學(xué)生進(jìn)一步理解一般與特殊的關(guān)系.通過(guò)總結(jié)反思（3），學(xué)生找到對(duì)頂角的共同特征是共頂點(diǎn).通過(guò)總結(jié)反思（4），學(xué)生可以明悟研究方向，從一般到特殊研究相交的特殊情況——垂直，從共頂點(diǎn)的角拓展到不共頂點(diǎn)的角（“三線八角”問題）.總結(jié)反思不但促使學(xué)生鞏固了本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，更啟發(fā)了學(xué)生“聯(lián)系舊知，明悟新知”的學(xué)習(xí)方法.

2 教學(xué)思考

（1）讓知能在學(xué)生已有知識(shí)體系上再生長(zhǎng)

相交線的知識(shí)點(diǎn)掌握并不困難，困難在于如何去發(fā)現(xiàn)、串聯(lián)這些知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了相交線，知曉幾何研究的對(duì)象是物體的形狀、大小和位置關(guān)系.初中階段應(yīng)在小學(xué)已有的知識(shí)體系上進(jìn)一步生長(zhǎng)，在學(xué)生知曉定義的前提下，引導(dǎo)學(xué)生去探尋相交線的性質(zhì).但具體探究相交線的什么性質(zhì)學(xué)生卻是很難想到的，教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形研究的角度去觀察，發(fā)現(xiàn)兩條直線相交形成的角的數(shù)量和位置關(guān)系.但是兩條直線形成了4個(gè)小于平角的角，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究4個(gè)角、3個(gè)角、兩個(gè)角的關(guān)系.相交線的性質(zhì)探究之后，引導(dǎo)學(xué)生理解相交線的判定方法，以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用.后續(xù)的拓展角度不少，如從一般到特殊的研究角度——從一般相交到特殊相交即垂直；如從研究對(duì)象以及幾何要素相交直線（共頂點(diǎn)）的數(shù)量研究——三條、四條到n條直線相交于一點(diǎn)會(huì)生成多少對(duì)對(duì)頂角；如從研究對(duì)象以及幾何要素對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角（共頂點(diǎn)）到不共頂點(diǎn)的角（“三線八角”）的探究，等等.

教學(xué)不能只停留在知識(shí)點(diǎn)本身，而在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)，逐步建構(gòu)相交線及后續(xù)幾何圖形研究的思想和方法.讓學(xué)生從知其然到知其所以然，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，讓知能再生長(zhǎng).

（2）讓數(shù)學(xué)思維在教學(xué)過(guò)程中不斷升華

數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生會(huì)學(xué)，并不是脫離數(shù)學(xué)知識(shí)孤立地去教方法，而要像“在游泳中學(xué)游泳”那樣，在用一定方法教學(xué)的過(guò)程中讓學(xué)生學(xué)方法，這就對(duì)教師教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)提出了新的要求［1］.本節(jié)課學(xué)生在經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷地探索、歸納，從相交線的定義到鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角的定義再到對(duì)頂角的性質(zhì)，不斷地概括，最終掌握和應(yīng)用知識(shí)解決問題.這個(gè)過(guò)程非常有意義，在概括的過(guò)程中發(fā)展了思維.從學(xué)生學(xué)習(xí)角度出發(fā)，學(xué)生希望學(xué)習(xí)的內(nèi)容不是枯燥無(wú)味的，或者是大致都掌握了的，也希望在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問題有意義、有趣味、有挑戰(zhàn)、有成就感，因此教師設(shè)計(jì)的問題要相對(duì)開放，但是卻又不能超出學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知.如對(duì)于兩條直線相交我們?cè)撗芯渴裁?，這個(gè)問題切入口過(guò)大，學(xué)生不知道從何入手，因此設(shè)計(jì)了問題串引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維在教學(xué)過(guò)程中不斷發(fā)展和升華.

（3）讓“教”和“學(xué)”從混沌走向秩序

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》依據(jù)學(xué)生終生發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的需要提出了義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的統(tǒng)領(lǐng)性目標(biāo)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界［2］.對(duì)于課堂教學(xué)，肯定要讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，教師做好引導(dǎo)學(xué)習(xí)的工作.這節(jié)課的教學(xué)教師基于理解數(shù)學(xué)、理解教材、理解學(xué)情的前提，進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的重組、設(shè)計(jì)，讓學(xué)材能夠最大化發(fā)揮作用.指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)同樣也很重要，在課堂教學(xué)進(jìn)程中，要注意將個(gè)人自學(xué)、小組合作、大班展示相結(jié)合，不同的教學(xué)組織形式相機(jī)運(yùn)用；課堂教學(xué)要以學(xué)生為主體，讓學(xué)生充分參與課堂、發(fā)表觀點(diǎn)，通過(guò)師生對(duì)話、相機(jī)追問，促進(jìn)課堂生成［3］.概括下，即教學(xué)主線要清晰，能有序引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)探究.本節(jié)課圍繞學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，不占用學(xué)生自主學(xué)習(xí)或合作學(xué)習(xí)的時(shí)間，不替學(xué)生思考或得出結(jié)論，當(dāng)學(xué)生遇到困難及時(shí)為學(xué)生搭橋，由學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖展示學(xué)習(xí)成果，真正體現(xiàn)了授之以魚不如授之以漁，教學(xué)貼近了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，每個(gè)學(xué)生都學(xué)有所獲.正所謂真教優(yōu)導(dǎo)提效率，自然生長(zhǎng)促真學(xué).

參考文獻(xiàn)：

［1］涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建：教學(xué)生學(xué)會(huì)思考［M］.北京：科學(xué)出版社，2019.

［2］孫曉天，沈杰.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀：初中數(shù)學(xué)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2022.

［3］李庾南，劉東升．“三學(xué)”課堂：聚焦核心素養(yǎng)，指向數(shù)學(xué)育人——以“研究平行四邊形”課堂片段為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（20）：19-21．