摘要：當(dāng)前課程的深化改革對(duì)初中數(shù)學(xué)提出了更高的要求，本文中主要以妙用輔助圓，巧解數(shù)學(xué)中考題為重點(diǎn)進(jìn)行闡述，首先分析了問(wèn)題背景和初中數(shù)學(xué)妙用輔助圓的意義，其次從結(jié)合圓定義構(gòu)建輔助圓、結(jié)合圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化實(shí)際問(wèn)題、引入輔助圓解決有關(guān)角度和引入輔助圓求有關(guān)線段最值問(wèn)題等幾個(gè)方面深入說(shuō)明并探討.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；輔助圓；圓的性質(zhì)；巧解中考題

針對(duì)初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程而言，很多數(shù)學(xué)題采用常規(guī)的思路都無(wú)法得出正確答案，需要通過(guò)分析和利用圓的特征，結(jié)合題目?jī)?nèi)容構(gòu)建輔助圓才能獲取正確答案.通過(guò)這樣的解題方式能夠進(jìn)一步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路.圓作為幾何中的一種特殊圖形，具有一定的數(shù)學(xué)魅力，很多數(shù)學(xué)題目從表面觀察似乎和圓沒(méi)有太多的關(guān)系，但引入輔助圓之后能夠?qū)?fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，為學(xué)生帶來(lái)一種流暢清晰的學(xué)習(xí)美感.

1 初中數(shù)學(xué)妙用輔助圓意義

很多初中數(shù)學(xué)題目都與“圓”這一知識(shí)有關(guān)，其中一些問(wèn)題看似和圓之間毫無(wú)關(guān)系，但從題目條件出發(fā)需要構(gòu)造輔助圓，能夠起到化隱為顯的作用[1].縱觀初中學(xué)生解決問(wèn)題中所遇到的困難原因，首先是解題信心不足.因?yàn)橥ㄟ^(guò)輔助圓解決的中考問(wèn)題，這種數(shù)學(xué)題型和純粹的計(jì)算問(wèn)題存在一定的區(qū)別，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有更高的要求；同時(shí)，通過(guò)輔助圓涉及到的中考題內(nèi)容，有文字、圖形等不同方式，其中隱藏大量的數(shù)量關(guān)系，很多初中學(xué)生在面對(duì)文字的描述內(nèi)容時(shí)，都會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手并且十分茫然.因此，學(xué)生在面對(duì)中考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要正確分析題中的信息，將其中的干擾語(yǔ)句清晰梳理出來(lái)，便于題意的直接判斷，這樣才能發(fā)揮出輔助圓對(duì)解決中考題的真正價(jià)值.其次，是閱讀能力不足.中考題其中一個(gè)特點(diǎn)就是利用文字進(jìn)行描述，其中會(huì)涉及到很多科學(xué)性語(yǔ)言，對(duì)學(xué)生自身的閱讀理解水平有一定的要求.一些初中學(xué)生在面對(duì)需要利用輔助圓解決問(wèn)題的中考題時(shí)，不能理解甚至不懂得其中專業(yè)詞語(yǔ)的正確含義，不能結(jié)合文字畫出正確的輔助圓順利解決問(wèn)題，這樣就會(huì)造成一些對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握不牢固的學(xué)生難以順利完成問(wèn)題解決.最后，是學(xué)生普遍建模能力較差.中考數(shù)學(xué)問(wèn)題中，很多都是通過(guò)數(shù)據(jù)、文字語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，有時(shí)還會(huì)涉及到多種變量關(guān)系，對(duì)學(xué)生的建模能力有一定的要求，要學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解中考題，分析數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的關(guān)系.但對(duì)于一些數(shù)學(xué)能力較差的初中生而言，很難在閱讀題目中將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行全面性分析，難以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的突破口，無(wú)法通過(guò)輔助圓完成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建.

圓作為初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，具有十分特殊的性質(zhì)，可以輔助學(xué)生解決多種數(shù)學(xué)問(wèn)題.如對(duì)于求線段長(zhǎng)度、角度、最值問(wèn)題，以及取點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的解決，都發(fā)揮著搭橋鋪路的作用.對(duì)于利用輔助圓求線段長(zhǎng)度問(wèn)題，主要是通過(guò)有共同端點(diǎn)的幾條線段相等，將這一端點(diǎn)作為圓心，等線段長(zhǎng)作為圓的半徑，實(shí)現(xiàn)輔助圓的構(gòu)建，再充分利用圓自身的特點(diǎn)解決問(wèn)題.針對(duì)利用輔助圓求角度問(wèn)題，求角度是中考不可缺少的一個(gè)考點(diǎn)，有些問(wèn)題難度挺大，根據(jù)已知條件常常將公共頂點(diǎn)作為一個(gè)定點(diǎn)，作三角形的外接圓，通過(guò)等角和輔助圓之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)CKfh1e9l2jnJPCgl9Zvobg==對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決.針對(duì)輔助圓求線段最值問(wèn)題，這是初中幾何中常見(jiàn)的等角求最值問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的不變量，通過(guò)構(gòu)造輔助圓，再利用三角形三邊關(guān)系，可輕松得出問(wèn)題的正確答案[2].

2 妙用輔助圓巧解數(shù)學(xué)中考題策略

2.1 結(jié)合圓的定義，構(gòu)建輔助圓

如果初中生可以掌握畫輔助圓的本質(zhì)，那么解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就會(huì)比較簡(jiǎn)單.圓是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，但學(xué)生采用單一的常規(guī)方式完成問(wèn)題解決存在一定的難度，也會(huì)浪費(fèi)更多的時(shí)間，不利于學(xué)生在解題中積極性的建立.針對(duì)這一問(wèn)題，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建輔助圓，能夠?qū)?wèn)題變得更加簡(jiǎn)單，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)容的理解.對(duì)于圓來(lái)說(shuō)，描述性定義就是其中的一種，能夠?yàn)閷W(xué)生構(gòu)建輔助圓提供全面性支持.圓的描述性定義內(nèi)涵，是將線段繞一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓.對(duì)于定義中的旋轉(zhuǎn)，在中考題中出現(xiàn)“旋轉(zhuǎn)”變化，就可構(gòu)造一個(gè)以旋轉(zhuǎn)中心為圓心的輔助圓，進(jìn)一步將問(wèn)題適當(dāng)轉(zhuǎn)化，方便學(xué)生更加深入地完成探究[3].

例1如圖1，已知OA=OB=OC，∠AOB=50°，求∠ACB的度數(shù).

常規(guī)思路：由OA=OB=OC，圖中有三個(gè)等腰三角形，利用兩底角相等，易求得∠OAB=∠OBA=65°，再設(shè)元或引進(jìn)參量，利用三角形內(nèi)角和定理得到一個(gè)數(shù)量關(guān)系，列方程求解，具體解法如下.

解法一：∵OA=OB，∠AOB=50°，

∴∠OAB=∠OBA=65°.

設(shè)AC與OB交于點(diǎn)D，∠ACB=x，∠OAC=y，

∴∠CAB=∠OAB－∠OAC=65°－y.

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=y.

又OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=x+y.

∴在△BOC中，∠BOC=180°－2（x+y）.

∵∠CAB+∠OBA=∠BOC+∠OCA，

∴65°－y+65°=180°－2（x+y）+y.

∴x=25°， 即∠ACB=25°.

按上面方法求解此題，學(xué)生會(huì)有一定難度.我們?nèi)绻渣c(diǎn)O為圓心，OA為半徑構(gòu)造輔助圓，再利用圓的性質(zhì)求解，就會(huì)把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

解法二：∵OA=OB=OC，

∴A，B，C三點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O上（如圖2）.

∵AB=AB，

∴∠ACB= 1/2∠AOB.

∴∠ACB=1/2×50°=25°.

對(duì)比以上兩種解答過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)根據(jù)圓的定義構(gòu)造輔助圓解題比用常規(guī)方法簡(jiǎn)便很多，同時(shí)也印證了讓學(xué)生掌握這種方法的必要性.

2.2 結(jié)合圓的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化實(shí)際問(wèn)題

對(duì)于圓的性質(zhì)而言，主要在于圓周角、弧、弦等之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，當(dāng)遇到角、線段問(wèn)題時(shí)，可以引入輔助圓，借助圓的性質(zhì)可以更好地解決問(wèn)題.其中，圓周角“動(dòng)而不變”這一性質(zhì)又能充分體現(xiàn)出在中考數(shù)學(xué)題中的價(jià)值[4].圓的性質(zhì)中“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”這一內(nèi)容，同一條弧所對(duì)應(yīng)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，雖然這些角的頂點(diǎn)位置發(fā)生變化但其角度不變，這就是“動(dòng)而不變”性質(zhì)，可引導(dǎo)學(xué)生從這一性質(zhì)入手解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例2如圖3，B是線段AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線l和AC之間成60°的角，在直線l上取一點(diǎn)P，使得∠APB=30°，問(wèn)滿足這樣條件的點(diǎn)P有多少個(gè)？

針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行分析，主要求滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，需要以AB為邊作一個(gè)等邊三角形OAB，得到OA=OB=AB=BC，此時(shí)∠ABO=∠ACP=60°，OB∥l，然后以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑構(gòu)造⊙O，當(dāng)點(diǎn)O在AB上方時(shí)，如圖4，⊙O與l有2個(gè)交點(diǎn)P，P，滿足∠APB=1/2∠AOB=1/2×60°=30°.當(dāng)點(diǎn)O在AB下方時(shí)，如圖5，l與⊙O相離，沒(méi)有符合條件的點(diǎn)P.所以符合條件的點(diǎn)P只有兩個(gè).

2.3 引入輔助圓，解決有關(guān)角度問(wèn)題

對(duì)于初中幾何，有時(shí)求角的大小也是一個(gè)難點(diǎn)，通常將一個(gè)頂點(diǎn)作為定點(diǎn)，進(jìn)一步通過(guò)三角形完成外接圓的構(gòu)建，把握好等角和輔助圓之間的關(guān)系，要求學(xué)生能夠靈活綜合運(yùn)用圓的性質(zhì)，即根據(jù)同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等，構(gòu)造輔助圓.這類題目隱蔽性較強(qiáng)，學(xué)生不易想到，對(duì)思維的要求較高.

例3已知在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，且BD+AD=BC，求∠A的度數(shù).

對(duì)于此題，要引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件，由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠DBC.

聯(lián)想到若作△ABD的外接圓，如圖6，就可推出AD=DE.

由∠ABC+∠ADE=180°，∠EDC+∠ADE=180°，得到∠ABC=∠EDC.而∠ABC=∠C，所以∠EDC=∠C，于是DE=CE.

所以DE=CE=AD.

又因?yàn)锽D+AD=BC，而BE+CE=BC，于是BD=BE.

設(shè)∠ABD=∠DBC=x，則∠BED=∠BDE=180°－x/2，∠ABC=∠C=2x，∠A=180°－4x.

由圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得∠A+∠BED=180°，則

180°－4x+180°－x/2=180°.

解得x=20°，所以∠A=100°.

通過(guò)引入輔助圓，強(qiáng)化學(xué)生邏輯思維的有效提升，實(shí)現(xiàn)學(xué)生在知識(shí)和能力方面的共同進(jìn)步，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.4 引入輔助圓，求有關(guān)線段最值問(wèn)題

在中考幾何解題中，求線段最值問(wèn)題始終是個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題感到困惑，特別有一類求線段最值問(wèn)題需要構(gòu)造輔助圓來(lái)解決，很多學(xué)生無(wú)從下手.關(guān)于圓的性質(zhì)，還要讓學(xué)生掌握一個(gè)與圓有關(guān)的最值結(jié)論：連接圓外一個(gè)定點(diǎn)與圓上的各動(dòng)點(diǎn)的所有線段中，過(guò)圓心UFsMeBvlXNWmFDULkK1fjQ==時(shí)線段取得最小值和最大值.

如圖7中，A為圓O外一定點(diǎn)，P為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，我們可以作直線AO，使其與圓O有兩個(gè)交點(diǎn)P，P，此時(shí)AP1為最小值，AP2為最大值，利用這個(gè)基本知識(shí)，可以解決某些最值問(wèn)題.

例4如圖8所示，△ABC為等邊三角形，AB=2，若點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ABP=∠BCP，求線段AP的最小值.

此題已知條件較少，看上去較簡(jiǎn)單，但難倒了很多學(xué)生.分析后發(fā)現(xiàn)，∠ABP+∠PBC=60°，又∠ABP=∠BCP，可得∠BCP+∠PBC=60°.由內(nèi)角和定理，可得∠BPC=120°.

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)P雖然是動(dòng)點(diǎn)，但∠BPC的度數(shù)保持不變，引導(dǎo)學(xué)生想到圓的一個(gè)性質(zhì)：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，也就是說(shuō)角的頂點(diǎn)位置變了，但角度不變.所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是一段弧，因此會(huì)很自然地想到構(gòu)造一個(gè)輔助圓，可以在BC下方作等邊三角形A′BC，然后作它的外接圓（如圖9）.根據(jù)∠A′=60°，利用圓的性質(zhì)，可得∠BPC=120°.

因?yàn)辄c(diǎn)P在△ABC內(nèi)，所以我們只要選取弦BC上方的一段弧就行了，點(diǎn)P在弦BC上方的那段弧運(yùn)動(dòng)時(shí)，都能滿足∠BPC=120°.當(dāng)A，P，O三點(diǎn)不共線時(shí)，因?yàn)槿切蔚膬蛇呏钚∮诘谌?，就有AP>OA-OP；當(dāng)A，P，O三點(diǎn)共線時(shí)，AP=OA-OP，此時(shí)AP取得最小值[5].再利用等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)知識(shí)即可求得，可以連接OB，OA=2/cos 30°=4/33，OP=OB=1/2OA=2/33，所以AP=OA-OP=2/33，即線段AP的最小值為233.

此題是幾何中常見(jiàn)的等角求線段最值問(wèn)題，學(xué)生要想到構(gòu)造輔助圓，要善于發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的不變量，挖掘有關(guān)信息，尋求解題思路，積累解題經(jīng)驗(yàn)，以提高嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力.

近年來(lái)，各省中考數(shù)學(xué)加強(qiáng)了對(duì)圓相關(guān)知識(shí)的考查，題型也比較創(chuàng)新和靈活.其中構(gòu)造輔助圓常常出現(xiàn)在中考數(shù)學(xué)試卷中，是一種能夠快捷且靈活地解決問(wèn)題的方法，它可以將問(wèn)題中的條件進(jìn)行簡(jiǎn)單化呈現(xiàn).只有引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圓的性質(zhì)、定理之間內(nèi)在的關(guān)系，加強(qiáng)結(jié)論和條件之間的關(guān)聯(lián)性，從不同角度完成對(duì)問(wèn)題的分析，這樣才能促使學(xué)生在問(wèn)題解決中取得更好的效果，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量的有效提升，為學(xué)生今后的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

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