數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題.數(shù)學(xué)知識的深入理解與靈活運(yùn)用，往往是通過典型例題的分析與解答而獲得的，而數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)與學(xué)生智力的發(fā)展，也常常是伴隨著由淺入深的解題過程而達(dá)到的.波利亞指出：解題的價(jià)值不是獲得答案本身，而在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的”.所以，解題教學(xué)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生“怎樣想”，打通已知與未知的思維通道.另外，教師還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“品題”，清楚該題考查了哪些核心內(nèi)容，運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法，理解命題人的設(shè)計(jì)意圖等.最后，作為教師要基于試題的解題過程反思對今后教學(xué)的導(dǎo)向作用，優(yōu)化解題教學(xué).下面，筆者就對一道試題的賞析和解決闡述一些想法和觀點(diǎn)，僅供大家參考.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，A是直線y=x與反比例函數(shù)y=k/x（x>0）圖象的交點(diǎn)，B是直線y=－2/3x與反比例函數(shù)y=k、x（x<0）圖象的交點(diǎn)，AB平行于x軸，△ABO的面積為5.

（1）求k1和k2的值.

（2）在反比例函數(shù)y=k1、x（x>0）圖象上是否存在點(diǎn)C，使得△AOC的面積與△ABO的面積相等？如果存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

（3）將△ABO繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△A′BO′，當(dāng)點(diǎn)A′正好落在y軸上時(shí)，求OO′的長度.

2 試題賞析

2.1 核心知識得到高度整合

本題是一道正比例函數(shù)和反比例函數(shù)背景下的代數(shù)與幾何綜合問題.從已知條件來看，涉及直角坐標(biāo)系、反比例函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、平行和旋轉(zhuǎn)變換等核心知識；從分析問題和解決問題的過程來看，關(guān)聯(lián)了開方運(yùn)算、分式方程、一元二次方程、方程組、勾股定理、三角形相似和三角函數(shù)等核心知識，利用知識的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯關(guān)系并以問題的形式進(jìn)行整合，其覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)，能較好地考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能.如第（1）小問求反比例函數(shù)的“k”，表面看似考查k的幾何意義，但不能由面積直接求k的值，要結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)、三角形的面積表示等，需要學(xué)生深度理解基本概念；又如第（3）小問求OO′的長度，需要學(xué)生正確作出圖形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角形相似或解三角形問題.

2.2 代數(shù)思維貫穿問題設(shè)計(jì)

代數(shù)思維就是字母代表數(shù)，使其參與運(yùn)算，而運(yùn)算也是一種推理，所以其過程就是代數(shù)推理.本題的第（2）小問的設(shè)計(jì)就是聚焦代數(shù)推理，突出一個(gè)“算”字，利用三角形的面積求三角形的某一項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由三角形面積會自然聯(lián)想到面積公式，進(jìn)而聯(lián)想到底和高，而在直角坐標(biāo)系下底和高與點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，但是由面積無法直接算出點(diǎn)的坐標(biāo)，怎么辦呢？那就進(jìn)行逆向思維，用字母表示點(diǎn)的坐標(biāo)，把未知“裝”已知，使其參與運(yùn)算，建立方程，進(jìn)而求解.在下文的解法分析中，對第（2）小題的解答給出了6種方法，雖然每種方法切入點(diǎn)不同，但是都是用字母表示數(shù)利用代數(shù)推理解決的.又如第（1）小題的解決，可以根據(jù)條件進(jìn)行運(yùn)算，直接建立關(guān)于k1，k2的方程組，從而求出k1和k2，但運(yùn)算過程較為復(fù)雜；如果引入一個(gè)新的字母（例如表示點(diǎn)A的坐標(biāo)），間接表示出k1和k2，利用條件進(jìn)行運(yùn)算，建立新的一個(gè)方程，其運(yùn)算簡潔了很多，所以代數(shù)推理是非常重要的一種演繹推理.

2.3 數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)問題解決

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認(rèn)識.一個(gè)有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，在分析問題的過程中，最先意識和關(guān)注到的是解決問題的數(shù)學(xué)思想方法有可能用到哪些？而這種能力是建立在解題者的經(jīng)驗(yàn)和直覺之上的.本題用到了字母代表數(shù)，用到了分類討論、數(shù)形結(jié)合、模型、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.如通過對題目中數(shù)量關(guān)系的分析意識到存在關(guān)于k1，k2的方程（模型），當(dāng)無法通過已知的條件直接求出點(diǎn)C的坐標(biāo)時(shí)，想到嘗試設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)（字母代表數(shù)）進(jìn)行代數(shù)推理，建立方程（模型），由反比例函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x軸對稱應(yīng)該確定存在兩個(gè)點(diǎn)C，一個(gè)位于點(diǎn)A的上方，另一個(gè)位于點(diǎn)A的下方，所以在解答過程中要分類討論；又如因?yàn)椤鰽OC是一般的三角形，在用坐標(biāo)表示它的面積時(shí)需要把它轉(zhuǎn)化為特殊圖形或特殊圖形的和差形式；再如旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)“手拉手”的基本圖形（模型），進(jìn)而借助相似求出OO′的長度.

3 解法分析

該試題各問的解決思路比較多元，但每種思路的起點(diǎn)清晰，過程自然，邏輯通暢.以下僅展示學(xué)生能夠接受的幾種典型解法.

3.1 第（1）問，看似簡單不尋常

本問常規(guī)而熟悉，要求k1，k2的值，由于條件給出了△ABO的面積，“情不自禁”想到k的幾何意義，但是只能得到|k1|+|k2|=10，無法確定k1，k2的值，所以注意力集中到未知反比例函數(shù)圖象與已知正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)上，進(jìn)而產(chǎn)生了兩種解題思路：

3.2 第（2）問，轉(zhuǎn)化思想顯神通

第（2）問給出了△AOC的面積，求點(diǎn)C的坐標(biāo).因?yàn)閺摹鰽OC的面積出發(fā)無法直接去求點(diǎn)C的坐標(biāo).所以用字母來表示點(diǎn)C的坐標(biāo).由于△AOC是非特殊三角形，無法直接利用點(diǎn)C的坐標(biāo)表示其面積，鑒于以往的解題經(jīng)驗(yàn)，利用轉(zhuǎn)化思想，把“一般”化為“特殊”，從而實(shí)現(xiàn)問題解決.

3.3 第（3）問，“相似”“三角”殊同歸

4 教學(xué)導(dǎo)向

4.1 注重知識之間的聯(lián)系，強(qiáng)化基本技能

通過對此試題的分析可知，該題綜合性較強(qiáng)，把很多核心知識整合在一起.如果要順利解決此類問題，就要求學(xué)在生正確掌握各個(gè)知識點(diǎn)的同時(shí)，還需要知曉各知識點(diǎn)間的聯(lián)系和內(nèi)在的邏輯關(guān)系，只有這樣在分析問題時(shí)才能進(jìn)行有效的關(guān)聯(lián)，所以在平常教學(xué)中可以嘗試基于整體單元進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，也可以鼓勵(lì)學(xué)生自主構(gòu)建知識思維導(dǎo)圖等，使數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化.同時(shí)，從上面的解法分析可以看到，需要大量且較復(fù)雜的無理數(shù)運(yùn)算、代數(shù)式運(yùn)算和解方程等，這正好提醒我們一線教師要幫助學(xué)生夯實(shí)基本技能，提高答題的速度和準(zhǔn)確率.

4.2 注重符號意識的培養(yǎng)，提高推理能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：符號意識是形成抽象能力和推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始于算術(shù)思維，隨著“字母表示數(shù)”，初步感知符號意識，進(jìn)入初中，經(jīng)過代數(shù)式的運(yùn)算，知道用符號表達(dá)的規(guī)律和推理得出的結(jié)論具有一般性，從而代數(shù)思維得以加強(qiáng)，符號意識得以繼續(xù)滲透.有了代數(shù)思維及符號意識，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)才有保障.本題的第（1）問和第（2）問都是先引入字母，再進(jìn)行代數(shù)推理，最后建立方程而求得，所以要認(rèn)清代數(shù)思維及符號意識對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要性，并在平時(shí)的教學(xué)中有計(jì)劃地進(jìn)行落實(shí).

4.3 注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，提升思維水平

在本題的整個(gè)解題的分析過程中運(yùn)用了字母代表數(shù)，用到了分類討論、數(shù)學(xué)結(jié)合、模型、轉(zhuǎn)化與化歸等多種數(shù)學(xué)思想，充分體現(xiàn)了利用數(shù)學(xué)思想方法解題的優(yōu)越性.學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)思想方法，不僅可以提升學(xué)生的解題能力，更重要的是在這個(gè)過程中能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.但是，一個(gè)數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰、從理解到應(yīng)用的長期發(fā)展過程，需要在不同的學(xué)段和不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)中提煉、總結(jié)、理解、應(yīng)用等循環(huán)往復(fù)的過程中形成.所以，數(shù)學(xué)思想的滲透要有一個(gè)初中三年的系統(tǒng)規(guī)劃，逐步實(shí)施，長期堅(jiān)持.