摘要：特殊角在初中數(shù)學幾何圖形中扮演著舉足輕重的角色，有著重要的地位.本文中通過一道中考壓軸題的方法探析和變式，歸納出利用常見的基本圖形來解決此類問題的數(shù)學模型，達到了“會一類，通一片”“一題多解，多題一解”的效果，真正實現(xiàn)減負增效.

關(guān)鍵詞：特殊角;方法;生長

“教育即生長，生長本身就是目的”.學生數(shù)學學習既是知識、方法、經(jīng)驗、思維生長的過程，更是學生生命體生長的過程[1].我們常把30°，45°，60°以及這些角的補角稱為特殊角.之所以特殊，主要在于當直角三角形含特殊角（銳角）時，三角形的三邊長存在著特殊的比例.可想而知，特殊角在初中數(shù)學幾何圖形中扮演著舉足輕重的角色，有著重要的地位，它們經(jīng)命題者變式生長出一道道精彩的美題.

基于近幾年數(shù)學中考中有關(guān)特殊角的幾何壓軸題頻繁出現(xiàn)，筆者結(jié)合特殊角幾何問題，淺談一下解決該問題的方法如何生長.

1 試題呈現(xiàn)

2 解法探析

2.1 構(gòu)造“三垂型”基本形，利用全等三角形

2.2 構(gòu)造“一線三等角”基本形，利用相似三角形

“一線三等角”基本圖形是一種常見的構(gòu)建三角形相似的方法，該圖中雖不存在等角，但可利用45°的角去構(gòu)造“一線三等角”的基本模型，從而化隱為顯，化難為易，再利用相似三角形的基本性質(zhì)列出方程.

其實，“三垂型”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，是特殊模型到一般模型的生長，它們就是我們所熟悉的“Ｋ字型”.構(gòu)造“Ｋ字型”基本圖形，可解決幾何中常見的幾何問題.

2.3 構(gòu)造“輔助圓”基本形，利用兩點間距離公式

“輔助圓”是一種常見的基本圖形，它可以運用同弧所對的圓周角相等、半徑相等、直徑所對的圓周角是直角等一系列知識點，靈活多變.此模型常用于求定角的位置、求動點的運動路徑長、定點到動點的最值等問題.

2.4 構(gòu)造“半角”基本形，利用旋轉(zhuǎn)和勾股定理

“半角”模型也是一種常見的基本圖形，該模型常以正方形、等腰直角三角形為背景，這類問題一般利用旋轉(zhuǎn)完成，可以得到全等三角形，進而得到線段之間的關(guān)系.

以上四種解法雖截然不同，但它們存在著一定的共性和規(guī)律.第一，四種解法都是通過構(gòu)造基本圖形，利用基本圖形的特征、結(jié)論和解題策略進行解答；第二，這四種基本圖形的生長元相同，由特殊角進行構(gòu)造；第三，解題過程中，都是利用全等或相似的性質(zhì)，通過列方程得出答案.因此，以上生長探究符合“一題多解，多解歸一”原理.

3 變式生長

教師除了要提高學生的解題能力，更重要的是減輕學生的解題負擔，還應(yīng)教會學生“多題一解”，達到“會一題，通一片”.請看以下生長變式.

3.1 變式生長之一：同一背景下改變特殊角的度數(shù)

3.2 變式生長之二：同一背景下改變問題

3.3 變式生長之三：改變幾何背景

如圖12，矩形ABCD的邊長AB=4，AD=8，點Ｅ，Ｆ分別在線段BC和射線DC上.若BE＝1，∠EAF=45°，求DF的長.

此變式是把原有的直角坐標系背景改為以矩形為背景，還是可以構(gòu)造基本圖形來求解.請讀者嘗試求解.

縱觀以上變式，雖然特殊角度、問題、幾何背景都有所變化，但仍是構(gòu)造基本圖形進行解答.主要原因是這些變式與例題存在著相同的本質(zhì)，那就是在幾何背景下存在特殊角.如果教師能教會學生抓住問題的本質(zhì)，那么就可以達到預期的目的.

4 有關(guān)含特殊角幾何問題的教學思考

4.1 一題多解，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維

著名的數(shù)學家希爾伯特說過：“一個問題的解決意味著一系列新的問題的誕生.”教師若能進行對“一題多法的探索、一題多問的發(fā)散、—題多變的嘗試”的二度開發(fā)，這本身就是對解法之間的聯(lián)系、方法本質(zhì)的深度挖掘，努力追溯問題背景及一般的結(jié)論[2].筆者讓所教的九年級學生獨立完成此例題，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生用的是第三種解法（構(gòu)造“輔助圓”），也有少部分學生用了第一種解法（構(gòu)造“三垂型”），只有一個學生提出想構(gòu)造“半角型”，但沒有成功.可見，本題的最優(yōu)解法是構(gòu)造“輔助圓”.

4.2 變式生長，培養(yǎng)學生的歸一思維

上面的例題和變式看似不同，卻有著共同的本質(zhì)，可以稱得上是多題一解.數(shù)學問題千變?nèi)f化，僅僅依靠題海戰(zhàn)術(shù)是很難抓住數(shù)學的本質(zhì)的.我們應(yīng)該由表及里，發(fā)現(xiàn)題與題之間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住問題的本質(zhì)、實現(xiàn)有效解題.一題多解注重學生思維的廣度，多題一解更善于挖掘?qū)W生思維的深度，二者并不矛盾并相互依托[3].因此，在數(shù)學的解題教學中，教師要讓學生的思維既可發(fā)散又可聚合，做到收放自如.

4.3 關(guān)注模型，培養(yǎng)學生的解題思維

通過對例題的解法探析，我們不難發(fā)現(xiàn)初中幾何中含特殊角的探究問題可以歸結(jié)為數(shù)學模型問題的求解，所以教師在平時的教學中要從一些簡單、熟悉的基本圖形出發(fā)，讓學生熟練掌握常見基本圖形的解題方法，進而將復雜幾何問題模型化，逐步使學生做到“多題歸一”“多解歸一”，真正實現(xiàn)減負增效[4].

參考文獻：

［1］褚水林.生長型數(shù)學專題復習課探析[J].中學數(shù)學教學參考，2018（14）：19-22.

［2］沈岳夫.抓住特殊角度 探求一題多解[J].數(shù)學教學，2017（2）：23-26.

［3］袁勁松.關(guān)注基本圖形，玩轉(zhuǎn)45°特殊角[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2018（10）：26-28.

［4］劉震.當特殊角遇上K字型[J].初中數(shù)學教與學，2018（23）：33-35.