摘要：本文中以2024年江蘇中招數(shù)學(xué)真題中的對(duì)角互補(bǔ)模型問(wèn)題為例，深入探討對(duì)角互補(bǔ)模型相關(guān)問(wèn)題，旨在為學(xué)生提供一種有效的解題路徑和策略，幫助學(xué)生提高解決此類問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：對(duì)角互補(bǔ)模型；解題策略；初中數(shù)學(xué)

對(duì)角互補(bǔ)模型是初中數(shù)學(xué)幾何部分的重要內(nèi)容之一，它基于角的互補(bǔ)性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造輔助線、利用相似三角形和全等三角形等方法來(lái)解決與補(bǔ)角相關(guān)的角度計(jì)算和證明問(wèn)題.這類題目不僅考查學(xué)生對(duì)角的互補(bǔ)性質(zhì)的理解，還考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.

1 真題

真題1（2024年江蘇鹽城中考數(shù)學(xué)第16題）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接BD，將△BCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，得到△BEF.連接CF，當(dāng)CF∥AB時(shí)，CF=______.

真題2（2024年江蘇揚(yáng)州中考數(shù)學(xué)第17題）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=k/x（x＞0）的圖象上，BC⊥x軸于點(diǎn)C，∠BAC=30°，將△ABC沿AB翻折，若點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在該反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為_(kāi)_____.

2 對(duì)角互補(bǔ)模型的概念、性質(zhì)及解題策略

對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形內(nèi)存在一組對(duì)角角度之和為180°，同時(shí)滿足至少一組鄰邊長(zhǎng)度相等的特定幾何形態(tài).此類模型依據(jù)角度的特性，主要細(xì)分為含有90°和120°角的兩種類型.在解決這類問(wèn)題時(shí)，我們通常會(huì)采用兩種主要的輔助線構(gòu)造方法：一種是通過(guò)頂點(diǎn)作雙重垂直線來(lái)形成全等的三角形，另一種則是通過(guò)圖形的旋轉(zhuǎn)操作來(lái)構(gòu)建全等的三角形.這兩種方法都能有效地幫助我們理解和解答涉及對(duì)角互補(bǔ)模型的問(wèn)題.

2.1 含90°對(duì)角互補(bǔ)模型

如圖3，已知∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，則可得：①BD平分∠ABC；②AB+BC=2BD；③S=S+S=1/2BD2.

證法一：過(guò)頂點(diǎn)作雙垂線證明.

①如圖4所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥EB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn).

∴∠DEA=∠DFC.

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠DAB+∠DCB=180°.

∵∠DAB+∠DAE=180°，

∴∠DCB=∠DAE.

∵AD=DC，

∴△DEA≌△DFC.

∴DE=DF.

∴四邊形DEBF為正方形.

∴∠ABD=∠DBC.

∴BD平分∠ABC.

②∵四邊形DEBF為正方形，

∴BD=2EB=2BF.

③∵△DEA≌△DFC，

∴S=S+S=S+S+S=S=1/2BD2.

證法二：旋轉(zhuǎn)法證明.

圖5①如圖5，將△DAB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AD與DC重合時(shí)，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)E處.

∴△DAB≌△DCE.

∴∠ADB=∠CDE.

∵∠ADB+∠BDC=90°，

∴∠BDC+∠CDE=90°.

∴∠BDE=90°.

∵DB=DE，

∴△BDE為等腰直角三角形.

∴∠DBC=45°.

∴BD平分∠ABC.

②∵AB=CE，

∴BC+CE=BC+AB=2BD.

③∵△DAB≌△DCE，

∴S=S+S=S+S=S=1/2BD2.

2.2 含120°對(duì)角互補(bǔ)模型

如圖6所示，已知∠ABC=2∠EDF=120°，DE=DF.

結(jié)論：①BD平分∠ABC；②EB+BF=BD；③S+S=34BD2.

3 對(duì)角互補(bǔ)模型復(fù)習(xí)策略

3.1 基礎(chǔ)知識(shí)梳理

為了更有效地復(fù)習(xí)、掌握對(duì)角互補(bǔ)模型，學(xué)生需要對(duì)相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行梳理和強(qiáng)化.首先，學(xué)生需要深入理解角的互補(bǔ)性質(zhì)，這是對(duì)角互補(bǔ)模型的基本前提.其次，學(xué)生應(yīng)熟練掌握平行線的性質(zhì)，如平行線間的同旁內(nèi)角互補(bǔ)、內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等，因?yàn)檫@些性質(zhì)與對(duì)角互補(bǔ)模型有著密切的關(guān)系［1］.此外，相似三角形和全等三角形判定條件也是復(fù)習(xí)的要點(diǎn).因?yàn)樵趯?duì)角互補(bǔ)模型的解題過(guò)程中，經(jīng)常需要利用這些判定條件來(lái)證明三角形的相似或全等，從而找到解題的突破口.為了更有效地復(fù)習(xí)這些基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生還可以采取制作思維導(dǎo)圖、編寫知識(shí)卡片等方式，將知識(shí)系統(tǒng)化、條理化，便于記憶和回顧.除了上述的基本知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生還需要對(duì)與對(duì)角互補(bǔ)模型相關(guān)的定理、公式進(jìn)行系統(tǒng)回顧和整理.例如，勾股定理、三角函數(shù)等，這些定理和公式在解決對(duì)角互補(bǔ)模型問(wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)被用到.通過(guò)復(fù)習(xí)這些定理和公式，學(xué)生可以更好地理解和應(yīng)用對(duì)角互補(bǔ)模型.

3.2 模型思維訓(xùn)練

在掌握了基礎(chǔ)知識(shí)后，學(xué)生應(yīng)當(dāng)進(jìn)行深入的模型思維訓(xùn)練.這不僅意味著要識(shí)別出題目中蘊(yùn)含的對(duì)角互補(bǔ)模型，更要深入理解模型的本質(zhì)及其所蘊(yùn)含的幾何規(guī)律.通過(guò)大量的練習(xí)和模擬，學(xué)生能夠在腦海中建立起對(duì)角互補(bǔ)模型的清晰圖象，提高對(duì)這種模型的敏感度.當(dāng)遇到相關(guān)題目時(shí)，學(xué)生能夠迅速形成條件反射，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的模型和解題策略，從而高效、準(zhǔn)確地解答問(wèn)題.這種訓(xùn)練不僅有助于提高學(xué)生的解題速度，還能幫助他們形成更為系統(tǒng)的幾何思維模式［2］.

3.3 解題思路內(nèi)化

解題思路的內(nèi)化對(duì)于提高解題能力至關(guān)重要.學(xué)生首先需要深入理解并掌握對(duì)角互補(bǔ)模型的解題思路和方法，如巧妙地構(gòu)造輔助線，準(zhǔn)確地運(yùn)用相似三角形和全等三角形的性質(zhì)等.在解題的過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)注重思路的連貫性、條理性，確保每一步都有充分的依據(jù)和明確的目的.為了加深理解，學(xué)生應(yīng)不斷進(jìn)行練習(xí)和反思.通過(guò)反復(fù)實(shí)踐、思考，學(xué)生可以將這些解題思路、方法逐步內(nèi)化為自己的思維習(xí)慣.這樣，在面對(duì)類似的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生便能迅速并準(zhǔn)確地找到解題的切入點(diǎn)，從而提高解題的效率和準(zhǔn)確性.這一過(guò)程不僅有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，更能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和自主學(xué)習(xí)能力［3］.

3.4 練習(xí)與反饋

練習(xí)是提高解題能力的重要途徑.在復(fù)習(xí)對(duì)角互補(bǔ)模型的過(guò)程中，學(xué)生需要通過(guò)大量的練習(xí)來(lái)加深理解.同時(shí)，學(xué)生應(yīng)注重練習(xí)的質(zhì)量和效果，選擇具有代表性的題目進(jìn)行練習(xí)，并及時(shí)反饋練習(xí)情況.通過(guò)練習(xí)，學(xué)生可以了解自己的不足和需要改進(jìn)的地方.這時(shí)，學(xué)生可以向老師請(qǐng)教或與同學(xué)交流討論，以獲得更好的指導(dǎo)和建議.在練習(xí)過(guò)程中，學(xué)生還應(yīng)注重錯(cuò)題的總結(jié)和歸納.通過(guò)整理和分析錯(cuò)題，學(xué)生可以找出自己的薄弱環(huán)節(jié)和易錯(cuò)點(diǎn)，并制定相應(yīng)的改進(jìn)措施.這樣可以幫助學(xué)生更好地鞏固知識(shí)點(diǎn)和提高解題能力［4］.

4 結(jié)論

對(duì)角互補(bǔ)模型是初中數(shù)學(xué)幾何部分的重要知識(shí)點(diǎn)之一，它涉及角的互補(bǔ)性質(zhì)、相似三角形、全等三角形的判定條件等多個(gè)方面.通過(guò)掌握相關(guān)的解題方法和策略，學(xué)生可以有效地提高解決此類問(wèn)題的能力.因此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)重視對(duì)角互補(bǔ)模型的學(xué)習(xí)和練習(xí)，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，通過(guò)不斷練習(xí)提升自己的思維能力和應(yīng)用能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]蘇錫永.淺談數(shù)學(xué)教學(xué)與高階思維能力培養(yǎng)[J].考試周刊，2023（12）：69-72.

[2]劉海燕.初中數(shù)學(xué)建模思想初探[J].現(xiàn)代教育科學(xué)，2011（4）：126-128.

[3]張細(xì)婷.關(guān)于中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法與策略的探索[J].學(xué)周刊，2015（20）：198.

[4]呂鳳艷.基于中考導(dǎo)向的初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)探究[J].遼寧教育，2022（1）：89-92.