試題千變?nèi)f化，但有些類(lèi)型的試題有著相同的源頭，我們稱(chēng)之為“題源”.以下筆者通過(guò)線(xiàn)段和的最值問(wèn)題，說(shuō)明題源的生成、應(yīng)用與拓展.

1 題源的生成

問(wèn)題如圖1，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A，B兩城鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么位置可使所用的輸氣管線(xiàn)最短？

分析：這個(gè)問(wèn)題的本源是在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)A，B的距離之和最小，如圖2所示，即在l上求作一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小.我們知道，兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短.為了找到點(diǎn)P，可以將A，B中的一個(gè)點(diǎn)用它的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)來(lái)代替，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另外一個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的連線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)就是求作的點(diǎn)P.

解：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，連接AP，則泵站修在管道的P點(diǎn)處，可使所用的輸氣管線(xiàn)AP+BP最短.

理由如下：在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)E，連接AE，BE，A′E.

因?yàn)辄c(diǎn)A，A′關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，所以AP=A′P.

同理，AE=A′E.

因?yàn)锳P+BP=A′P+BP=A′B，

AE+BE=A′E+BE＞A′B，

所以AP+BP＜A′E+BE.

因?yàn)镋是l上的任意一點(diǎn)，所以AP+BP最短.

總結(jié)反思：要求一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和的最小值，應(yīng)采用“化折為直”的方法，先作其中一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再將對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)固定點(diǎn)連線(xiàn)，這條連線(xiàn)與已知直的交點(diǎn)就是要尋找的點(diǎn).

2 題源的應(yīng)用

從上述題源問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn)，此類(lèi)試題應(yīng)具備兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)和一固定直線(xiàn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在固定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，題源的解題思路才可以應(yīng)用，問(wèn)題的關(guān)鍵在于找出問(wèn)題的四個(gè)要素，即兩定一動(dòng)一定.

應(yīng)用一：先作圖再求值.

如圖3，已知有A，B兩村莊在公路l的同側(cè)，A村到公路的距離AC=1 km，B村到公路的距離BD=2 km.現(xiàn)要在公路邊修一個(gè)公交車(chē)站，使其到A，B兩村的距離之和最短.若CD=4 km，則該公交車(chē)站到兩村的最短距離之和為_(kāi)____.

分析：如圖4所示，直接應(yīng)用題源的方法，即先作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一固定點(diǎn)B，找到符合題意的公交車(chē)站位置后，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求得斜邊長(zhǎng).

分析：本題的固定點(diǎn)為F和B，動(dòng)點(diǎn)為P，固定直線(xiàn)為線(xiàn)段AE所在的直線(xiàn).因?yàn)榱庑蜛DEF是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)就是對(duì)稱(chēng)軸，所以固定點(diǎn)F的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)不用作圖，經(jīng)分析就是點(diǎn)D.因此直接連接BD，BD與AE的交點(diǎn)就是求作的動(dòng)點(diǎn)P，此時(shí)線(xiàn)段BD的長(zhǎng)就是PF+PB的最小值.

3 題源的拓展

綜上，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘典型題源，提取問(wèn)題的本質(zhì).同時(shí)，反思題源的解題思路與方法，明確題源的模型特點(diǎn).唯此，才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)具有鮮活的味道.