摘 要：以“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”一課的教學(xué)實(shí)踐為例，提出數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的形成策略.

關(guān)鍵詞：有理數(shù)與無(wú)理數(shù)；理解性學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）10-0031-05

引用格式：黃賢明. 基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐與思考：以“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”一課為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（10）：31-35.

基金項(xiàng)目：2022年度江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃課題——大概念觀照下初中數(shù)學(xué)前建構(gòu)教學(xué)的實(shí)踐研究（C/2022/02/01）.

作者簡(jiǎn)介：黃賢明（1999— ），男，中學(xué)二級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在理解. 有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的概念是學(xué)生進(jìn)入初中階段后學(xué)習(xí)的第一個(gè)概念，它們是因數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)部發(fā)展的需要而生成的數(shù)學(xué)概念. 在探索有理數(shù)時(shí)，學(xué)生提取、歸納整數(shù)與分?jǐn)?shù)的共同屬性；而對(duì)無(wú)理數(shù)的探索過(guò)程是學(xué)生發(fā)現(xiàn)、感受和思考無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的過(guò)程.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的要求為：理解有理數(shù)的意義，了解無(wú)理數(shù). 由此可見(jiàn)，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)有理數(shù)的要求是在掌握有理數(shù)概念的基礎(chǔ)上理解其意義. 本文以蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)“2.2 有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”一課的教學(xué)為例，基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐與思考.

一、基于數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵闡述

數(shù)學(xué)理解是指?jìng)€(gè)體建立了包含數(shù)學(xué)概念、法則等內(nèi)容的內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 數(shù)學(xué)理解不是一蹴而就的，而是一個(gè)層級(jí)發(fā)展的過(guò)程，是不斷豐富、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)意義的過(guò)程. 數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)層級(jí)發(fā)展的過(guò)程模型主要闡述了學(xué)生數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的發(fā)展會(huì)依次經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解、遷移性理解和文化性理解五個(gè)階段，具體如圖1所示.

經(jīng)驗(yàn)性理解是指學(xué)習(xí)者從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取出對(duì)新知識(shí)的起始性理解，但這種理解往往摻雜著個(gè)性化理解，是模糊的、不全面的. 教師在教學(xué)中應(yīng)該積極把握學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，尋找新舊內(nèi)容之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)促進(jìn)對(duì)新知的理解. 形式化理解是指通過(guò)接受有效的刺激進(jìn)行整理、組織、概括和重新表述等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)逐漸擺脫數(shù)學(xué)內(nèi)容的非本質(zhì)屬性，進(jìn)而獲得對(duì)其本質(zhì)屬性的深刻理解. 結(jié)構(gòu)化理解實(shí)際上是一種結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性理解，強(qiáng)調(diào)在一種知識(shí)的關(guān)系脈絡(luò)中把握相關(guān)知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì). 遷移性理解是指?jìng)€(gè)體在結(jié)構(gòu)化理解的基礎(chǔ)上，能夠靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題，將所學(xué)知識(shí)遷移到陌生的情境中，運(yùn)用到問(wèn)題的解決中. 文化性理解貫穿數(shù)學(xué)理解的始終，是數(shù)學(xué)理解的深層次指向. 教師在教學(xué)中應(yīng)該有意識(shí)地推進(jìn)文化性理解，增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)同感，鼓勵(lì)學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)內(nèi)容背后的文化歷史，形成對(duì)數(shù)學(xué)文化的個(gè)人感悟，進(jìn)而豐富經(jīng)驗(yàn)性理解，加深形式化理解，拓展結(jié)構(gòu)化理解，完善遷移性理解.

二、對(duì)學(xué)生理解有理數(shù)與無(wú)理數(shù)過(guò)程中的障礙分析

1. 已有經(jīng)驗(yàn)引發(fā)認(rèn)知沖突

有理數(shù)概念的獲得是對(duì)整數(shù)與分?jǐn)?shù)共同本質(zhì)屬性的提取，即都可以化為分?jǐn)?shù)形式. 學(xué)生基于已有認(rèn)知，能夠知道整數(shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別、有限小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系、整數(shù)與分?jǐn)?shù)形式的異同，但是隨著將整數(shù)以分?jǐn)?shù)形式表示出來(lái)，這就與學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)（分?jǐn)?shù)的分母不為1）矛盾，導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，使得學(xué)生對(duì)有理數(shù)概念的理解不透徹.

2. 缺乏記憶導(dǎo)致概念混淆

布盧姆教育目標(biāo)分類(lèi)法將認(rèn)知領(lǐng)域分為記憶、理解、運(yùn)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造六個(gè)部分，其中理解是在知道的基礎(chǔ)上發(fā)生的. 如果學(xué)生不記憶概念或片面記憶概念，隨著對(duì)不同概念的不斷學(xué)習(xí)與積累，就會(huì)導(dǎo)致概念記憶的混淆. 以對(duì)[-27]的分類(lèi)為例，部分學(xué)生將其歸類(lèi)為無(wú)理數(shù)，原因是經(jīng)過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)[-27]≈[-0.285 71…]，以為這個(gè)小數(shù)好像是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，認(rèn)定[-27]為無(wú)理數(shù). 這顯然是錯(cuò)誤的. 原因之一，[-27=-0.2·85 714·]，是一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)；原因之二，[-27]是兩個(gè)整數(shù)之比的形式，滿(mǎn)足有理數(shù)的定義. 究其原因，學(xué)生對(duì)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念掌握不牢固，只關(guān)注所給數(shù)的小數(shù)形式.

3. 自身能力影響體系構(gòu)建

有些學(xué)生在分類(lèi)有理數(shù)、利用逼近思想感受無(wú)理數(shù)、概念辨析等環(huán)節(jié)頻頻出錯(cuò)，導(dǎo)致其對(duì)概念的學(xué)習(xí)停留在記憶的層級(jí)，對(duì)于概念的運(yùn)用浮于機(jī)械地模仿. 這終將導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法獨(dú)立構(gòu)建有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念體系，也就無(wú)法達(dá)到對(duì)概念的深入理解的層次.

三、基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 復(fù)習(xí)思考：激活經(jīng)驗(yàn)性理解

問(wèn)題1：讀一讀，并比較下列兩組數(shù)，它們有什么區(qū)別？

（1）+7，998，-1 035，0；

（2）[12]，[-312]，[23]，[-14].

問(wèn)題2：觀察這兩組數(shù)，它們還能再細(xì)分嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生利用大括號(hào)將整數(shù)和分?jǐn)?shù)分類(lèi)，具體分類(lèi)情況如下.

[整數(shù)正整數(shù)：+7，9980負(fù)整數(shù)：-1 035]

[分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)： 12， 23負(fù)分?jǐn)?shù)：-312，-14]

問(wèn)題3：觀察上述分?jǐn)?shù)，思考什么是分?jǐn)?shù)，什么是分?jǐn)?shù)形式.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)具體數(shù)的分類(lèi)與思考，引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)與分?jǐn)?shù)的概念及其分類(lèi)，并利用具體分?jǐn)?shù)指出分?jǐn)?shù)的形式，激活學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，為有理數(shù)概念的本質(zhì)屬性的提取作鋪墊.

2. 歸納提?。荷尚问交斫?/p>

活動(dòng)1：嘗試將0.1，-0.25，4，-3，0化為分?jǐn)?shù)形式.

依托原有的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能很快地將0.1化為[110]，將-0.25化為[-14]. 但對(duì)于整數(shù)而言，則需要教師進(jìn)一步輔助辨析分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)形式的區(qū)別，引導(dǎo)學(xué)生將整數(shù)表示為分母是1的分?jǐn)?shù).

問(wèn)題4：0.1，-0.25等都是有限小數(shù)，可以化為分?jǐn)?shù)形式. 那么0.333 3…，0.666 6…等無(wú)限循環(huán)小數(shù)能化為分?jǐn)?shù)形式嗎？

小結(jié)：經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)（有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)）和整數(shù)都可以統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)形式，我們將能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式[mn]（m，n是整數(shù)，n ≠ 0）的數(shù)叫作有理數(shù).

教師完善板書(shū)，如圖2所示.

活動(dòng)2：結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，嘗試采用不同的方式對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類(lèi).

學(xué)生進(jìn)行小組交流，教師補(bǔ)充完善，得到的結(jié)果如下.

[有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)0負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)] [有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)0負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)]

問(wèn)題5：無(wú)限小數(shù)還包括無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，你能舉幾個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的例子嗎？無(wú)限不循環(huán)小數(shù)能化為分?jǐn)?shù)形式嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)活動(dòng)1，將學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行組織、再現(xiàn)，圍繞將有限小數(shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)形式的轉(zhuǎn)化，完善學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性理解，打破學(xué)生的思維困境，使之自然理解整數(shù)的分?jǐn)?shù)化過(guò)程，再加以無(wú)限循環(huán)小數(shù)的補(bǔ)充，直觀呈現(xiàn)整數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的共性，使得經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)逐步服務(wù)于有理數(shù)概念本質(zhì)屬性的提取，形成深層次的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而在活動(dòng)2的探究中獲得對(duì)有理數(shù)概念及其分類(lèi)的形式化理解.

活動(dòng)3：嘗試?yán)妹娣e是4的正方形ABCD（如圖3）畫(huà)出一個(gè)面積是2的正方形EFGH.

[A][B][C][D][圖3]

提示：嘗試?yán)谜叫渭埰瑒?dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)分別連接正方形ABCD四邊的中點(diǎn)得到的正方形EFGH（如圖4）面積為2.

[圖4] [2][A][B][C][D][E][F][G][H]

問(wèn)題6：若設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a，且[a2=][2]，則邊長(zhǎng)a是有理數(shù)嗎？

活動(dòng)4：探究面積為2的正方形的邊長(zhǎng)a的值.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4，啟發(fā)學(xué)生思考：面積為2的正方形的大小介于面積為4和面積為1的正方形之間，故其邊長(zhǎng)a的大小也應(yīng)該介于1到2之間. 而后借助Excel表格，依次給出正方形的邊長(zhǎng)與面積的數(shù)據(jù)（如圖5），讓學(xué)生逐步縮小a的范圍.

問(wèn)題7：還可以繼續(xù)確定邊長(zhǎng)a的取值范圍嗎？a是有限小數(shù)嗎？

師：借助計(jì)算器求得a = 1.414 213 562 373…，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，我們將無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫作無(wú)理數(shù). 仿照有理數(shù)的分類(lèi)，無(wú)理數(shù)可以分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù).

活動(dòng)5：嘗試說(shuō)出一些無(wú)理數(shù).

① 圍繞π產(chǎn)生的數(shù)；② 依托正方形的面積等，給出不可以開(kāi)方的數(shù)；③ 構(gòu)造如3.020 220 222…等形式的無(wú)理數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)活動(dòng)3的動(dòng)手嘗試，得到面積為2的正方形，讓學(xué)生在實(shí)踐操作中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).而后借助具體圖形對(duì)邊長(zhǎng)a的大小進(jìn)行探索，揭示已有的數(shù)無(wú)法表示邊長(zhǎng)，并通過(guò)活動(dòng)4的探究活動(dòng)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)a不具備有理數(shù)的特征，屬于無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，自然生成無(wú)理數(shù)的概念，感受逼近、合情推理等數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)探究過(guò)程中的價(jià)值. 最后以活動(dòng)5來(lái)豐富相關(guān)無(wú)理數(shù)的實(shí)例，促進(jìn)學(xué)生形式化理解的形成.

3. 歷史再現(xiàn)：滲透文化性理解

問(wèn)題8：有理數(shù)的“理”是什么含義？

古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出“萬(wàn)物皆數(shù)”理論，這里的“數(shù)”指的是有理數(shù)，即一切數(shù)都可以表示成整數(shù)或整數(shù)之比. 有理數(shù)也應(yīng)該稱(chēng)為“可比數(shù)”或“成比例的數(shù)”. 1607年，明代數(shù)學(xué)家徐光啟將有理數(shù)“proportion”翻譯為古漢語(yǔ)的“理”，“理”就是“比值”的意思.

【設(shè)計(jì)意圖】有理數(shù)名稱(chēng)的由來(lái)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是人類(lèi)智慧的結(jié)晶. 就定義來(lái)說(shuō)，有理數(shù)更應(yīng)該稱(chēng)為“可比數(shù)”，但由于古漢語(yǔ)的翻譯問(wèn)題及各國(guó)之間的文化差異，最終形成了“有理數(shù)”的名稱(chēng). 以有理數(shù)的發(fā)展歷史開(kāi)闊學(xué)生的視野，揭示有理數(shù)中“理”的內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生初步形成對(duì)有理數(shù)概念的文化性理解.

4. 概念辨析：引導(dǎo)結(jié)構(gòu)化理解

練習(xí)1：判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

（1）有理數(shù)都是有限小數(shù)；

（2）有理數(shù)包括正數(shù)、負(fù)數(shù)和0；

（3）有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)；

（4）無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)；

（5）無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù).

練習(xí)2：將下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：-6，9.3，-[27]，42，0，0.333…，1.414 114 111，[π2]，3.303 003 000 3…，

-3.141 592 6.

正數(shù)集合：｛ …｝；

負(fù)數(shù)集合：｛ …｝；

有理數(shù)集合：｛ …｝；

無(wú)理數(shù)集合：｛ …｝.

問(wèn)題9：-[27]經(jīng)過(guò)計(jì)算是-0.285 71…，看似無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，為什么它卻是有理數(shù)？為什么[π2]有分?jǐn)?shù)線(xiàn)，但它不是分?jǐn)?shù)、有理數(shù)？如何判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)？有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在哪里？

【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)過(guò)形式化理解，學(xué)生對(duì)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí). 通過(guò)概念辨析及數(shù)的分類(lèi)的練習(xí)，進(jìn)行精細(xì)的信息加工，糾正學(xué)生對(duì)概念的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，將有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)結(jié)合起來(lái)，類(lèi)比學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)新概念的記憶與存儲(chǔ)，使得學(xué)生從單一的形式化理解發(fā)展到具有關(guān)聯(lián)性的結(jié)構(gòu)化理解.

5. 拓展思考：指向遷移性理解

練習(xí)3：回答下列問(wèn)題.

（1）如圖6，A，B所表示的集合代表什么含義？有哪些數(shù)無(wú)法在圖中表示出來(lái)？

[整數(shù)集合][正數(shù)集合][無(wú)理數(shù)集合][A][B][圖6][…][…][…]

（2）寫(xiě)出4個(gè)數(shù)，同時(shí)滿(mǎn)足以下3個(gè)條件：① 其中3個(gè)數(shù)屬于有理數(shù)集合；② 其中2個(gè)數(shù)屬于負(fù)數(shù)集合；③ 其中2個(gè)數(shù)屬于整數(shù)集合.

（3）將（2）中的4個(gè)數(shù)和-12，3.515 115 111…，0.666…，-2π填入圖中的集合.

練習(xí)4：設(shè)面積為3π的圓的半徑為x，x是有理數(shù)嗎？試說(shuō)明理由，并估計(jì)x的整數(shù)部分是多少. 同理，面積為5π，10π的圓，你能估計(jì)出它們半徑的整數(shù)部分嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】這兩道練習(xí)題的設(shè)計(jì)旨在考查學(xué)生對(duì)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)概念的理解及遷移應(yīng)用能力. 在練習(xí)3的設(shè)計(jì)中，設(shè)問(wèn)從封閉到開(kāi)放再回歸到封閉，使學(xué)生在設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)、分類(lèi)的過(guò)程中，提升“四能”，進(jìn)一步加深對(duì)概念的理解. 在練習(xí)4的設(shè)計(jì)中，學(xué)生再次感受無(wú)理數(shù)的存在，進(jìn)一步應(yīng)用逼近思想解決問(wèn)題.

6. 自我總結(jié)：促進(jìn)文化性理解

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并形成知識(shí)建構(gòu).

（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)有了哪些認(rèn)識(shí)？它們與我們所學(xué)的正數(shù)和負(fù)數(shù)存在哪些聯(lián)系與區(qū)別？

（2）本節(jié)課的學(xué)習(xí)中蘊(yùn)含著哪些數(shù)學(xué)思想方法？

（3）課后拓展：查閱相關(guān)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的歷史故事.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)自我總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生回顧課堂所學(xué)的概念并系統(tǒng)梳理知識(shí)體系. 同時(shí)，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生個(gè)體的知識(shí)構(gòu)建情況，以談感想與疑惑等方式，讓學(xué)生在“說(shuō)”的過(guò)程中進(jìn)一步理解、內(nèi)化概念，形成對(duì)知識(shí)綜合性、整體性的認(rèn)識(shí).

四、教學(xué)反思

在常態(tài)化教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用情況（即結(jié)構(gòu)化理解和遷移性理解環(huán)節(jié)）. 基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)視角，經(jīng)驗(yàn)性理解、形式化理解與文化性理解這三大環(huán)節(jié)也是在學(xué)生理解知識(shí)的過(guò)程中必不可少的.

1. 以舊啟新，依托經(jīng)驗(yàn)性理解

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)不可能以實(shí)體的形式存在于個(gè)體之外. 對(duì)初中階段的學(xué)生而言，他們已經(jīng)有了小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，擁有了一定的生活和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并且這些經(jīng)驗(yàn)是在不斷積累、更新與完善的. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要基于學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，重視對(duì)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的激活，讓學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)服務(wù)于新知的獲得與理解，實(shí)現(xiàn)概念的自主構(gòu)建和自然生長(zhǎng). 因此，在“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”一課的教學(xué)中，教師從對(duì)數(shù)的分類(lèi)的探究出發(fā)，激活學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)形式的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)整數(shù)與分?jǐn)?shù)本質(zhì)屬性的提取.

2. 直觀呈現(xiàn)，重視形式化理解

形式化理解是數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一環(huán)，既是學(xué)習(xí)概念的核心，也是后續(xù)結(jié)構(gòu)化理解、遷移性理解的重要基礎(chǔ). 學(xué)生經(jīng)過(guò)對(duì)經(jīng)驗(yàn)的激活、提取，為新知的獲得搭好了“腳手架”. 在“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”一課中，學(xué)生依托經(jīng)驗(yàn)獲得了分?jǐn)?shù)形式. 下一步就需要巧妙地利用多種方式（如提問(wèn)、動(dòng)手操作、列表等）直觀呈現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生自然構(gòu)建概念，獲得概念的內(nèi)涵，促使學(xué)生形成對(duì)概念的形式化理解.

3. 巧妙滲透，促進(jìn)文化性理解

文化是數(shù)學(xué)課堂的“潤(rùn)滑劑”，對(duì)學(xué)生個(gè)人成長(zhǎng)和素養(yǎng)發(fā)展具有重要作用. 文化性理解滲透于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)，不受學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的限制. 在“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”一課的教學(xué)中，文化性理解的內(nèi)容主要涉及以下兩點(diǎn). 其一，有理數(shù)與無(wú)理數(shù)都蘊(yùn)藏著豐富的歷史文化底蘊(yùn)，如有理數(shù)名稱(chēng)的由來(lái)、無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，等等. 但教學(xué)設(shè)計(jì)中只呈現(xiàn)了有理數(shù)名稱(chēng)的由來(lái)，目的在于用數(shù)學(xué)史促進(jìn)學(xué)生對(duì)有理數(shù)概念的理解，讓“理”與“比例”之間建立起文化性橋梁，既拓寬了學(xué)生的視野，也深化了學(xué)生對(duì)概念的理解. 其二，在對(duì)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)概念的探索中體現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)思想方法，如抽象思想、逼近思想、歸納猜想、類(lèi)比、分類(lèi)等. 這些數(shù)學(xué)思想方法存在于學(xué)生的自我總結(jié)中，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)累積了重要的探究經(jīng)驗(yàn).

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