摘 要：合情推理是獲得數(shù)學(xué)猜想的基本方法. 好的合情推理，就像數(shù)學(xué)解題探索中一個(gè)合適的引路人. 以兩次數(shù)學(xué)教研實(shí)驗(yàn)片斷為例，呈現(xiàn)運(yùn)用合情推理中的不完全歸納、類比等關(guān)鍵元素去分析一道幾何題的解答思路來由，探索初中幾何教學(xué)中關(guān)于學(xué)生的合情推理意識和能力培養(yǎng)的路徑，探討助力學(xué)生開啟和編織思維鏈條的突破口.

關(guān)鍵詞：合情推理；不完全歸納；類比；活動經(jīng)驗(yàn)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）10-0055-06

引用格式：張欽，袁曉芹. 重視合情推理，探究邏輯突破口：結(jié)合教研實(shí)驗(yàn)中的一道幾何題感悟合情推理能力的培養(yǎng)策略［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（10）：55-60.

基金項(xiàng)目：湖北省教育科學(xué)規(guī)劃2021年度重點(diǎn)課題——指向思考力培養(yǎng)的思維課程研究與實(shí)踐（2021JA144）.

作者簡介：張欽（1980— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事數(shù)理科學(xué)、數(shù)學(xué)教育、教育評價(jià)研究；

袁曉芹（1974— ），女，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究.

推理問題的精髓是思維鏈條的構(gòu)建. 演繹推理的思維鏈條是從發(fā)散聯(lián)想到集中推理的“倒樹狀結(jié)構(gòu)”，能有效解決條件和結(jié)論都明確的幾何推理問題. 然而，面對結(jié)論為探究型或開放性的幾何問題，需要先通過合情推理獲得明確的結(jié)論，再運(yùn)用演繹推理驗(yàn)證結(jié)論. 現(xiàn)結(jié)合兩次教研實(shí)驗(yàn)所用的一道優(yōu)質(zhì)幾何題呈現(xiàn)相關(guān)解答分析與思考，探索開啟邏輯推理的路徑.

一、例題呈現(xiàn)

題目 已知正方形[ABCD]與正方形[AEFG]，正方形[AEFG]繞點(diǎn)[A]旋轉(zhuǎn).

（1）如圖1，連接[BG]，[CF]，求[CFBG]的值.

（2）當(dāng)正方形[AEFG]旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，連接[CF]，[BE]，分別取[CF]，[BE]的中點(diǎn)[M]，[N]，連接[MN]，試探究[MN]與[BE]的關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3，連接[BE]，[BF]，分別取[BE]，[BF]的中點(diǎn)[N]，[Q]，連接[NQ]，[AE=6]，試直接寫出線段[QN]掃過的面積.

二、實(shí)驗(yàn)片斷

在以上題目的解答中，合情推理扮演著非常重要的作用. 筆者曾借助該題目，就合情推理水平和運(yùn)用合情推理探索解題路徑的意識，選取了宜昌市兩所生源狀況不同的初中學(xué)校分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和調(diào)研. 實(shí)驗(yàn)過程中，讓兩校九年級學(xué)生在40分鐘內(nèi)獨(dú)立解答該題. 結(jié)果，多數(shù)未完成學(xué)生卡在第（2）小題. 該小題結(jié)論不明，需要探究. 學(xué)生并非沒有時(shí)間解題，而是沒有思路. 筆者對兩校未完成第（2）小題的學(xué)生給予提示：若把正方形[AEFG]旋轉(zhuǎn)到某個(gè)特殊的角度，比如點(diǎn)[G]在[AD]上時(shí)（如圖4），能否發(fā)現(xiàn)什么？可否將所得結(jié)論推廣到一般旋轉(zhuǎn)角度的情況？面對提示，兩校學(xué)生分別出現(xiàn)了以下兩種不同的片斷.

[E][F][G][B][C][D][A] [M][N][圖4]

片斷1（生源狀況較好的學(xué)校）：約三分之一的學(xué)生無法開啟第（2）小題的解答. 這些學(xué)生紛紛表示不理解圖4的提示作用，只想知道應(yīng)該怎么作輔助線，或者套用哪個(gè)幾何模型. 進(jìn)一步了解到，教師經(jīng)常教他們?nèi)绾翁子酶鞣N幾何模型，而輕視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、猜想等活動的過程，導(dǎo)致學(xué)生遇到不熟悉的模型就沒有了解題思路. 可見，即使生源狀況較好，但是一味套用模型的幾何教學(xué)也會讓學(xué)生喪失探究問題的興趣.

片斷2（生源狀況較差的學(xué)校）：約五分之四的學(xué)生無法開啟第（2）小題的解答. 但在提示下，多名學(xué)生進(jìn)一步探索而突破了第（2）小題. 雖然方法不盡相同，但都是從特殊位置出發(fā)，尋找到有共性的結(jié)論和方法，才想到如何作輔助線. 其中幾名學(xué)生述說自己的心路歷程時(shí)非常興奮，甚至有兩名學(xué)生畫出了圖5～圖7等特殊情形. 筆者進(jìn)一步詢問這兩名學(xué)生：“畫這些多余的圖‘不耽誤時(shí)間’嗎？”學(xué)生回答：“好玩.” 筆者提出可以試著編些新的問題. 這兩名學(xué)生在嘗試編題的過程中，發(fā)現(xiàn)[BE]的中點(diǎn)只能在某個(gè)圓上，又一舉解決了第（3）小題.

三、解答分析

上述題目是一道相當(dāng)精彩的幾何綜合題，為合情推理元素的展現(xiàn)和教研實(shí)驗(yàn)的開展提供了極好的素材. 筆者從實(shí)驗(yàn)中得到的收獲是：從特殊情形出發(fā)，合理猜想，能有效激發(fā)學(xué)生的探索興趣；試驗(yàn)觀察，可以助力學(xué)生開啟解題思路，找到邏輯推理的突破口.

1. 直覺洞察，適時(shí)轉(zhuǎn)化

對于第（1）小題，從要求的比值[CFBG]出發(fā)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)線段[CF]和[BG]不在同一個(gè)三角形中，且無法進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，直覺聯(lián)想到[△GAB∽△FAC]，證明并計(jì)算其相似比，運(yùn)用正方形的性質(zhì)即可求解.

2. 著眼特殊，推及一般

對于第（2）小題，有些學(xué)生感覺MN⊥BE，且[MN=][12BE]，想到連接[BM]和[ME]，希望證明[BM=ME]，然后用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)解決問題. 隨后發(fā)現(xiàn)證明有困難，并對自己的直覺有所動搖；有學(xué)生套用“手拉手模型”，連接[BG]，[DE]，證明三角形全等，結(jié)果并無所獲；有學(xué)生考慮到此時(shí)點(diǎn)[M]也是中點(diǎn)，于是聯(lián)想到“雙中點(diǎn)”相關(guān)的幾何模型，打開了部分思路. 如果學(xué)生此時(shí)并不熟悉特定的幾何模型，似乎確實(shí)有些難以確定結(jié)論. 那么，教學(xué)中只能教學(xué)生“死記”模型嗎？

當(dāng)然不是，數(shù)學(xué)問題的思考和解決依靠數(shù)學(xué)思想，從簡單到復(fù)雜，數(shù)學(xué)的魅力正在于這些最樸素的思想. 從最簡單的情況開始思考，發(fā)揮數(shù)學(xué)自身的力量，從而找到解決問題的思路.

如圖4，處于這樣一個(gè)特殊的旋轉(zhuǎn)位置，結(jié)論會變得非常清晰. 此時(shí)[MN]是直角梯形[FEBC]的中位線，可得[MN⊥BE]，且[MN=BC+FE2=AB+AE2=][BE2]. 從特殊到一般，大膽猜想，在一般的旋轉(zhuǎn)角度下，[“MN⊥BE]，[MN=12BE”] 可能也是正確的. 但是，怎么在一般角度下證明這個(gè)結(jié)論？一般角度下沒有直角梯形.

可以回顧梯形的中位線公式是怎么得到的. 如圖8，聯(lián)想三角形的中位線，連接[BM]并延長[BM]至點(diǎn)[H]，使得[BM=MH]，連接[HF]. 由[△MHF≌△MBC]，可知[HF∥CB]，于是[H]，[F]，[E]三點(diǎn)共線. 此時(shí)[MN]是[△BHE]的中位線. 由三角形全等可知[BC=FH]，于是由三角形中位線公式可得梯形中位線公式.

[E][F][G][B][C][D][A][M][N][圖8] [H] [E][F][G][B][C][D][A] [H] [M][N] [I][圖9]

再到一般旋轉(zhuǎn)角度的情況，如圖9，連接[BM]并延長[BM]至點(diǎn)[H]，使得[BM=MH]，連接[HF]，[HE]. 顯然，可得[HE∥MN]且[HE=2MN]. 現(xiàn)在證明[HE=BE]且[HE⊥][BE]. 仿照圖8的特殊情形，容易證得[△CMB≌△FMH]，故有[HF=BA]. [FE=AE]是當(dāng)然的. 與圖8相比，圖9中H，F(xiàn)，E三點(diǎn)不共線，產(chǎn)生了新的三角形. 點(diǎn)B，A，E也類似，圖8中的這兩個(gè)三角形都退化為三點(diǎn)共線，化歸為平角. [∠HFE]和[∠BAE]都因正方形[AEFG]旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生，直覺感知其相等，若能證明則可以得到[△ABE≌△FHE]. 進(jìn)一步觀察，[∠HFE]由[∠HFG]和一個(gè)直角構(gòu)成. 由[△CMB≌△FMH]，可得[HF]與[CB][DA]平行，由正方形[AEFG]的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生了夾角[∠DAG]，其與[∠HFG]互余. 受此啟發(fā)，在圖9中延長[DA]交[BE]于點(diǎn)[I]，則[GF∥AE]，[HF∥DI]. 所以[∠EAI=∠HFG]. 因?yàn)閇∠BAI=∠GFE=90°]，所以[∠BAE=∠BAI+∠EAI=]

[∠GFE+∠HFG=∠HFE]，因此[△ABE≌△FHE]得證. 由此，BE = HE，[∠AEB=∠FEH]，得到[∠HEB=90°]. 至此第（2）小題得證，此為思路1.

其實(shí)，在圖8中作不同的輔助線，將[MN]轉(zhuǎn)化為不同三角形的中位線，也會對應(yīng)產(chǎn)生第（2）小題的其他證明思路.

思路2：由圖10到圖11，證明[△FME≌△CMH]和[△CHB≌△AEB].

[E][F][G][B][C][D][A][M][N][圖10] [H] [E][F][G][B][C][D][A] [H] [M][N][I][圖11]

思路3：由圖12到圖13，證明[△CBN≌△HEN]和[△FEH≌△EAB].

[E][F][G][B][C][D][A][M][N][圖12] [H] [E][F][G][B][C][D][A][H] [M][N][圖13]

思路4：由圖14到圖15，證明[△BNH≌△ENF]和[△BHC≌△AEB].

[E][F][G][B][C][D][A][M][N] [H] [圖14] [E][F][G][B][C][D][A][H] [M][N] [圖15]

思路2 ～ 思路4與思路1的方法本質(zhì)上是一樣的. 在如圖8所示的特殊旋轉(zhuǎn)角度下，除了倍長中線的方法外，還有一種得到梯形中位線公式的方法，就是連接梯形的對角線，將梯形分成兩個(gè)三角形來處理. 具體思路如下.

思路5：如圖16，連接[BF]，與[MN]交于點(diǎn)[Q]，則[MN]被分成兩部分——[MQ]和[QN]，它們分別是[△FCB]和[△BFE]的中位線. 如圖17，連接[BF]，取[BF]的中點(diǎn)[Q]，連接[MQ]，[NQ]，易證得[MQ=12AB]，[MQ⊥AB]，[QN=12AE]，[QN⊥AE]. 所以，為了得到[MN⊥BE]且[MN=12BE]，需要證明[△QMN∽△ABE]，且相似比為[12]. 證明過程中的一個(gè)難點(diǎn)仍然是通過導(dǎo)角得到一對夾角相等，即[∠BAE=∠MQN]. 其證明方法與前面類似，在此不再贅述.

[E][F][G][B][C][D][A][M][N] [Q][圖16] [E][F][G][B][C][D][A] [M][N] [Q] [圖17]

思路6：如圖18，連接[CE]，交[MN]于點(diǎn)[P]. 如圖19，連接[CE]，取[CE]的中點(diǎn)[P]，連接[PM]，[PN]. 需要證明[△PMN∽△AEB]，且相似比為[12]. 該思路與思路5完全一樣.

[E][F][G][B][C][D][A][M][N] [P][圖18][圖19] [E][F][G][B][C][D][A] [M][N] [P]

以上關(guān)于第（2）小題的六種思路，都是從特殊情形到一般情形的類比和推廣. 雖然此小題解答中所需的輔助線較多（3條以上），但因?yàn)槎际菑奶厥馇樾蔚玫剿悸泛头椒ǖ膯l(fā)，學(xué)生容易理解，解題教學(xué)中也易于引導(dǎo)學(xué)生想到.

3. 直觀想象，合理推算

對于第（3）小題，學(xué)生解題的難點(diǎn)是難以想象出[QN]掃過的圖形是怎樣的. 在正方形[AEFG]旋轉(zhuǎn)一周的過程中，要同時(shí)把握兩個(gè)動點(diǎn)的難度較大. 自然的想法是，分別確定點(diǎn)[Q]和點(diǎn)[N]的運(yùn)動路徑. 先看點(diǎn)[N]，選擇觀察[△BAE]，因?yàn)閇AE]在轉(zhuǎn)時(shí)[BE]跟著轉(zhuǎn)，而[AB]沒動. 如圖20，取[AB]的中點(diǎn)[S]，連接[SN]，由三角形中位線定理，得[SN=12AE]，其中點(diǎn)[S]固定，[AE]的長度不變，則[SN]的長度也不變，于是點(diǎn)[N]在以點(diǎn)[S]為圓心，[AE2]長為半徑的圓上. 同理，連接[QS]，[AF]，點(diǎn)[Q]在以點(diǎn)[S]為圓心，[AF2]長為半徑的圓上. 這樣，旋轉(zhuǎn)一周，[QN]掃過的圖形是一個(gè)圓環(huán)，其面積可以用兩圓的面積之差求得. 第（3）小題得解，此為思路1.

[圖20] [E][F][G][B][C][D][A] [N][Q] [S]

回顧思路1，既然利用三角形的中位線定理，其實(shí)不必要取到[AB]的中點(diǎn). 如圖21，直接觀察[△BEF]，[QN]正是[△BEF]的中位線，即[QN∥EF]且[QN=12EF]. 當(dāng)正方形[AEFG]繞點(diǎn)[A]旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，[EF]也繞點(diǎn)[A]旋轉(zhuǎn)一周，且在旋轉(zhuǎn)過程中，[QN]與[EF]的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系都保持不變. 從點(diǎn)[B]作為頂點(diǎn)來看，[QN]運(yùn)動形成的圖形與[EF]運(yùn)動形成的圖形形成一種特殊的相似——位似（同側(cè)位似），且相似比為[12]. 而點(diǎn)[E]繞點(diǎn)[A]旋轉(zhuǎn)形成的圓的半徑為[EA]，點(diǎn)[F]繞點(diǎn)[A]旋轉(zhuǎn)形成的圓的半徑為[FA]，故[EF]轉(zhuǎn)一圈掃過的圖形為一個(gè)圓環(huán). 可以由兩圓半徑長求出兩圓的面積，作差即可求得圓環(huán)的面積. 由位似的性質(zhì)，可以類比判斷[QN]掃過的圖形也為一個(gè)圓環(huán)，其面積為[EF]掃過圖形面積的[14]（因?yàn)橄嗨票葹閇12]）. 此為思路2.

[圖21] [E][F][G][B][C][D][A] [N][Q]

因?yàn)槿私贪妗读x務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）中并沒有給出三角形之外的其他圖形相似時(shí)面積的比等于相似比的平方的結(jié)論，所以對于思路2的解答，還需要嚴(yán)格寫出該結(jié)論的證明. 考慮到用類比的方法思考得出該題結(jié)論是行之有效的數(shù)學(xué)思想方法，所以筆者認(rèn)為這也是命題者將第（3）小題設(shè)置為“直接寫出結(jié)論，不必證明”的高明之處.

四、教學(xué)啟示

合情推理是指“合乎數(shù)學(xué)情理”的推理，是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果. 在數(shù)學(xué)研究中，為得到新結(jié)論或方法，合情推理能提供問題研究的思路和方向.

1. 滲透合情推理，助力問題解決

數(shù)學(xué)的合情推理方法由觀察與試驗(yàn)、不完全歸納、特殊化與一般化、類比、直覺與想象五個(gè)方面的元素組成，其中又以通過不完全歸納和類比得到數(shù)學(xué)猜想作為關(guān)鍵體現(xiàn). 合情推理的這五個(gè)方面在以上題目的解答探究中都有深刻的滲透，具體表現(xiàn)如下.（1）通過觀察，發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)是尋找旋轉(zhuǎn)變化中的不變關(guān)系，故選取特殊的旋轉(zhuǎn)位置畫圖進(jìn)行試驗(yàn)尋求結(jié)論與方法；（2）從特殊位置的結(jié)論猜測一般情況下的結(jié)論屬于不完全歸納；（3）為打開思路選取了0°，90°，180°等比較特殊的角度，是要借助特殊角度時(shí)解決問題的方法的啟發(fā)，進(jìn)而探求一般化后的本質(zhì)規(guī)律；（4）第（3）小題由相似三角形的面積比等于相似比的平方類比猜測相似圓環(huán)的面積比也有此性質(zhì)，做到敢于類比、大膽猜想、善于轉(zhuǎn)化、嚴(yán)格求證；（5）學(xué)生在不使用幾何畫板軟件等信息技術(shù)工具的情況下，在頭腦中通過有限的點(diǎn)而直覺想象加工出圓的軌跡及圓環(huán). 幾何對象間存在的相通性，為直觀想象提供了類比的依據(jù)和啟示.

2. 強(qiáng)化合情推理，把握探究教學(xué)

第（2）小題中作倍長中線或作對角線的方法，源于人教版教材第18章“平行四邊形”. 雖然該章是關(guān)于四邊形的內(nèi)容，但滲透了大量平行四邊形與三角形之間的相互轉(zhuǎn)化. 合情推理思想在該章教學(xué)中也有很多體現(xiàn). 例如，通過觀察、度量具體的平行四邊形，用不完全歸納的方式猜想平行四邊形的性質(zhì)；通過連接平行四邊形的兩條對角線，將其化歸為四個(gè)三角形，運(yùn)用三角形的性質(zhì)得出平行四邊形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)對角線互相平分；在探索并證明三角形的中位線定理時(shí)，通過構(gòu)造平行四邊形，把三角形的問題類比轉(zhuǎn)化為平行四邊形的相應(yīng)問題，利用平行四邊形的性質(zhì)得到三角形中位線定理，此為“反向類比，相互轉(zhuǎn)化”；基于性質(zhì)與判定的互逆關(guān)系，反向類比，大膽猜測并發(fā)現(xiàn)結(jié)論；對菱形性質(zhì)與判定的探討，完全類比矩形的性質(zhì)與判定展開. 好的解題想法并非空穴來風(fēng)，教材中的探究方法往往是解決問題的方法源泉，更彰顯了合情推理的思想光輝. 合情推理大量存在于初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，不限于幾何. 例如，對于同底數(shù)冪的乘法教學(xué)，人教版教材中先舉出幾個(gè)具體的數(shù)字和字母的算例，讓學(xué)生觀察計(jì)算結(jié)果并直覺感悟規(guī)律，然后用不完全歸納的方式提出同底數(shù)冪的乘法公式，再用[am ? an]的抽象代數(shù)式運(yùn)算（演繹推理）驗(yàn)證公式. 對合情推理思想的深入理解，有助于教師更好地把握和認(rèn)識探究式教學(xué).

3. 重視合情推理，優(yōu)化思維鏈條

合情推理是獲得數(shù)學(xué)猜想的基本方法. 好的合情推理，就像數(shù)學(xué)解題探索過程中一個(gè)合適的引路人. 每個(gè)人在解題過程中都會有一些猜想，如在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，可以直覺感知或者猜測結(jié)論；在得出詳細(xì)的證明之前，需要猜測證明的思路；根據(jù)條件順推或者根據(jù)結(jié)論逆推時(shí)，還可以根據(jù)條件特征猜測中間結(jié)論作為橋梁；在探索解題策略或路徑的過程中，有時(shí)需要做選擇，選擇也是一種猜測；一次次地類比后進(jìn)行嘗試，當(dāng)嘗試的路走不通時(shí)，需要判斷猜測是否有誤，并分析該回到哪里重新猜測；等等. 通過合情推理得出的數(shù)學(xué)猜想未必都是正確的，必須經(jīng)過嚴(yán)密的演繹推理，要么證明確認(rèn)，要么找出否定猜測的數(shù)學(xué)反例. 應(yīng)用合情推理不僅可以培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察事物、分析事物和發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系的良好品質(zhì)，還可以培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、探求新知的創(chuàng)新意識.

4. 豐富活動經(jīng)驗(yàn)，提升推理水平

培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力沒有固定的模式和方法，但通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維活動，積累活動經(jīng)驗(yàn)，可以有效增強(qiáng)學(xué)生合情推理的意識和水平. 以直覺為例，不同的人在同一問題上的直覺往往是不一樣的，這不僅取決于其知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知方式，還取決于在以往認(rèn)知活動中所積累的思維活動經(jīng)驗(yàn). 幾何教學(xué)中，教師切忌直接告訴學(xué)生幾何結(jié)論，或者在一開始就連好所有的輔助線，也不能把學(xué)生做不出幾何題全部歸因于沒能作出輔助線，而是要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等活動過程，直觀感知幾何圖形的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，通過合情推理探索可能的幾何結(jié)論. 通過合情推理猜想的結(jié)論可能是錯(cuò)的，這也是正常的，但如果因?yàn)閷?shí)驗(yàn)幾何和合情推理缺少一定的嚴(yán)謹(jǐn)性就跳過這個(gè)環(huán)節(jié)，這是不應(yīng)該的. 為了增加合情推理的可靠性，教學(xué)中要將實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何有機(jī)統(tǒng)一，多在實(shí)驗(yàn)幾何環(huán)節(jié)讓學(xué)生積極嘗試、思考和反思，積累活動經(jīng)驗(yàn)；多引導(dǎo)學(xué)生從特殊值、特殊點(diǎn)、特殊角度入手，在復(fù)雜變化的圖形中把握問題中的不變量，從嘗試多畫草圖和測量估計(jì)入手，感知條件的本質(zhì)，推敲猜想過程中的合理性，及時(shí)感知或預(yù)警錯(cuò)誤并調(diào)整猜想. 題目的第（2）小題中，假如在特殊的旋轉(zhuǎn)角度下仍然探究不到明確結(jié)論，還可以考慮假定兩個(gè)正方形的邊長取特殊的數(shù)量比值的情形. 即使學(xué)生直接套用“中線倍長”順利得到解答，也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生解后重新將圖形退到特殊情形，從而感悟方法的本質(zhì)和源頭.

演繹推理用來肯定數(shù)學(xué)結(jié)論，而合情推理用來猜想并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論. 類似地，運(yùn)算中也有估算與精算的區(qū)別. 在解決代數(shù)問題的過程中，往往可以先依賴數(shù)感對所求對象進(jìn)行估計(jì)并評估合適的運(yùn)算策略或路徑，然后再進(jìn)行精確運(yùn)算求解. 這種運(yùn)算和推理中頗為相似的模式可以總結(jié)為圖22.

兩種思維模式在數(shù)學(xué)中是同等重要的. 從腦科學(xué)研究的角度來說，兩種思維模式是在大腦的不同部位發(fā)生的：演繹推理的過程屬于精算加工，更多地激活人腦的左側(cè)顳葉區(qū)域；合情推理與估算一樣，是一種概略化結(jié)果的認(rèn)知加工過程，更多地激活人腦的雙側(cè)上頂葉區(qū)域. 而且它們具有不同的腦機(jī)制，相互支撐、交互發(fā)展. 雖然演繹推理是合情推理的自然延伸，且數(shù)學(xué)又是演繹推理和合情推理思想的辯證統(tǒng)一，但對學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)模式與演繹推理能力并不相同. 因此，要加強(qiáng)合情推理能力的培養(yǎng)，助力數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，聯(lián)系和協(xié)同兩種不同腦機(jī)制，奏好直覺和邏輯的交響樂，發(fā)揮數(shù)學(xué)自身的力量，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的目標(biāo).

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