摘 要：針對(duì)一道填空題的解法，兩名學(xué)生分別基于“幾何模型”和“函數(shù)最值模型”的視角，提供了與預(yù)設(shè)解題思路完全不同的思考路徑. 通過對(duì)這兩種思考路徑的進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)了幾種意料之外的解法. 同時(shí)，基于學(xué)生思考路徑的解法研究，提出幾點(diǎn)思考.

關(guān)鍵詞：思考路徑；解法探究；解后反思

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）10-0061-04

引用格式：范明明，鄭金. 基于學(xué)生思考路徑的習(xí)題解法研究與反思一例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（10）：61-64.

基金項(xiàng)目：廣東省2022年度中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究專項(xiàng)課題——指向核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)策略研究（GDJY-2022-M-b71）.

作者簡(jiǎn)介：范明明（1988— ），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

鄭金（1989— ），女，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

在九年級(jí)備考復(fù)習(xí)階段的一次鞏固練習(xí)中，有一道填空題難度較大，學(xué)生的完成情況不理想. 在筆者講解題目的解題思路后，學(xué)生雖然恍然大悟但也表示很難想到. 在筆者提出“大家是如何思考該問題的？”這一追問后，學(xué)生紛紛給出了自己的思考路徑. 當(dāng)筆者根據(jù)學(xué)生的思考路徑繼續(xù)研究題目時(shí)，發(fā)現(xiàn)了意想不到的解法. 現(xiàn)整理成文，與同行分享.

題目 如圖1，在正方形[ABCD]中，[AB=2 cm]，點(diǎn) E為 邊BC 中點(diǎn)，M ，N 分別是邊 CD ， AB 上的動(dòng)點(diǎn)，連接 MN ，AE，且始終保持[MN⊥AE]，連接AM，EN，則[AM+EN]的最小值為__________.

一、預(yù)設(shè)的解題思路

該題是一道以正方形為背景的雙動(dòng)點(diǎn)求最值問題. 一般來說，求兩條線段和的最小值問題的最終落腳點(diǎn)是“三點(diǎn)共線”，故線段 AM 和線段 EN 在線段 MN 的兩側(cè)是該問題求解的難點(diǎn)所在. 要想利用“三點(diǎn)共線”，就需要把 線段AM 和線段 EN 通過某種方式“移”到一起. 于是，想到將線段 AM 沿著 AE 的方向平移到 線段EF 處，如圖 2 所示. 當(dāng) F ，E ，N 三點(diǎn)共線時(shí)，[EF+NE]的值最小，即[AM+][EN]的最小值為線段 NF 的長(zhǎng)度.

隨后，筆者根據(jù)[MN⊥AE]這一條件想到直角和直角三角形，進(jìn)而想到勾股定理，繼而思考是否可以以 NF 為一邊構(gòu)造直角三角形. 考慮到線段 EF 與線段 AM 平行且相等，于是自然地聯(lián)想到連接 MF 構(gòu)造平行四邊形 AMFE . 由此，不僅可以推出[∠FMN=90°]，得到“[△FMN]是直角三角形”這一關(guān)鍵條件，還可以由平行四邊形的性質(zhì)得到[MF=AE=12+22=5]. 此時(shí)，求線段 MN 的長(zhǎng)成為解決問題的關(guān)鍵 . 如圖2，過點(diǎn)M作[MG⊥AB]于點(diǎn)G，易 證[△ABE≌][△MGN]. 所以[MN=5]. 在[Rt△FMN]中，由勾股定理，得[NF=MF2+MN2=][10]. 故[AM+][EN]的最小值為[10 cm].

當(dāng)然，也可以將EN沿著EA的方向平移到AF處，如圖3所示. 在[Rt△MNF]中亦可求出[MF=10]，即[AM+][EN]的最小值為[10 cm]，此處不再贅述.

二、學(xué)生的思考路徑

在筆者向?qū)W生展示上述解題思路后，他們恍然大悟，在驚訝解法竟如此簡(jiǎn)單的同時(shí)，也有部分學(xué)生發(fā)出沒想到或根本想不到的感嘆. 當(dāng)筆者提出“大家是如何思考該問題的？”的追問后，學(xué)生紛紛給出了自己的思考路徑. 其中，有兩名學(xué)生的思考路徑比較典型，具體如下.

生1：題目所求的是[AM+EN]的最小值，從形式上看，容易想到“將軍飲馬”模型，利用該模型的一般思路是“對(duì)稱 + 共線”，于是想到作點(diǎn) M 關(guān)于線段 AB 的對(duì)稱點(diǎn) F . 如圖4，連接 AF 和 NF ，則[AM=AF]. 但受方向和角度的影響，AF 和 EN 不能共線. 于是考慮將 AF 向 FN 轉(zhuǎn)化. 但 由于點(diǎn)M 是動(dòng)點(diǎn)，故 AF 和 NF 之間不存在明顯的數(shù)量關(guān)系，解題陷入了困境. 我又換了一個(gè)角度作點(diǎn) E 關(guān)于 AB 的對(duì)稱點(diǎn)，但結(jié)果還是一樣.

生2：由兩條線段和的最小值問題聯(lián)想到函數(shù)最值問題，即先用代數(shù)式表示線段的和，再結(jié)合自變量的取值范圍和函數(shù)的增減性求其最小值. 如圖5，過點(diǎn) M 作[MF⊥AB]于點(diǎn) F. 由[△ABE≌][△MFN]，得[FN=][BE=1.] 設(shè)[AF=x]，則[BN=1-x]. 設(shè)[AM+EN=y]，則[y=x2+22+][1-x2+12]，其中x的取值范圍為[0≤x≤1]. 但是該函數(shù)的表達(dá)式中含有根號(hào)，無法求出y的最小值.

以上兩名學(xué)生分別從幾何和代數(shù)的角度思考了該問題. 雖然受已有經(jīng)驗(yàn)的影響，兩名學(xué)生沒有求得最終結(jié)果，但是他們分析問題的思考路徑無疑是值得稱贊的，這也是比較符合大多數(shù)學(xué)生認(rèn)知水平的思考方式.

三、基于學(xué)生思考路徑的解法探究

雖然這兩名學(xué)生沒有求得最終結(jié)果，但是筆者認(rèn)為這兩種思路還有進(jìn)一步研究的價(jià)值. 因此，筆者在課后對(duì)這兩種思考路徑作了更進(jìn)一步地探究.

1. 從“將軍飲馬”到“將軍遛馬”

筆者在分析生1的思路后，發(fā)現(xiàn)AF 與 NE 之所以無法共線，原因在于線段 AF 的位置“不合適”，不符合運(yùn)用“將軍飲馬”模型的基本條件. 筆者嘗試轉(zhuǎn)化線段 AM ，從而改變 AF 的位置，以滿足“將軍飲馬”模型的運(yùn)用條件. 結(jié)合圖5，筆者想到可以連接DF（如圖6），則[DF=AM]. 所以[AM+EN]的最小值等于[DF+][EN]的最小值. 此時(shí)，雖然還構(gòu)不成“將軍飲馬”模型，但竟然得到了“將軍飲馬”模型的一個(gè)變式——“將軍遛馬”模型.

“將軍遛馬”模型：如圖7，已知將軍在點(diǎn)A 處，現(xiàn)在將軍要帶馬到河邊飲水，并沿著河岸走一段固定長(zhǎng)度的路 MN，再返回軍營(yíng) B，問怎么走才能使得路程最短？解決該問題的關(guān)鍵在于將“將軍遛馬”模型轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”模型. 如圖8，將 AM 沿著 MN 的方向平移到 EN，作點(diǎn) E 關(guān)于 MN 的對(duì)稱點(diǎn) F，連接 FB ，交 MN 于點(diǎn)G，連接EG，過點(diǎn)A作[AH∥EG]交 MN 于點(diǎn) H，則當(dāng)將軍沿著[AH—HG—GB]的路徑走可以使得路程最短，最短路程為[BF+MN].

按照這個(gè)思路，上述題目可以有如下解法.

如圖9，過點(diǎn) M 作[MF⊥AB]于點(diǎn) F，連接 DF，則[DF=AM]. 將 DF 沿著FN的方向平移到 G N，作點(diǎn) G 關(guān)于 AB 的對(duì)稱點(diǎn) H ，連接 HN ，當(dāng) E， N，H 三點(diǎn) 共線時(shí)，[AM+NE]取得最小值，且最小值等于線段 EH 的長(zhǎng). 過點(diǎn) H 作 CB 的垂線，交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) L ，則[BL=][AD=2]，[HL=GC]. 因?yàn)閇FN=BE=1]，所以[DG=1]. 所以[HL=GC=][1]. 在[Rt△ELH]中，由勾股定理，得[EH=][EL2+HL2=10]. 所以[AM+NE]的最小值為[10 cm].

2. 從“由形到數(shù)”到“由數(shù)思形”

生2將線段和的最小值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問題，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想. 但遺憾的是，利用初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)確實(shí)無法判斷函數(shù)[y=x2+22+1-x2+12][0≤x≤1]的HgqmXr1QTqvx2YiLytKnHNiFSEEh05JFZsoN3vBstVo=增減性. 但是，筆者發(fā)現(xiàn)，雖然求[y=][x2+22+1-x2+12 0≤x≤1]的最小值與求[AM+EN]的最小值在本質(zhì)上相同，實(shí)際上已經(jīng)是一個(gè)獨(dú)立的新問題了. 同時(shí)，生2的思考路徑從本質(zhì)上看是一個(gè)由“形”到“數(shù)”的過程，那么對(duì)于求[y=x2+22+][1-x2+12 0≤x≤1]的最小值問題，是否可以反過來思考，即由數(shù)到形地對(duì)[y=x2+22+1-x2+12 0≤x≤1]賦予新的幾何意義呢？想到此處，筆者茅塞頓開，于是有了如下兩種解題思路.

思路1：將[x2+22]看作兩條直角邊分別是x和2的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，將[1-x2+12]看作兩條直角邊分別是[1-x]和1的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，則求[y=][x2+22+][1-x2+12]的最小值即為求這兩條斜邊和的最小值. 如圖10，令[AB=2，BE=x，EC=1-x，CD=1，] 則求[y=][x2+22+1-x2+12 0≤x≤1 ]的最小值即為求[AE+DE]的最小值. 其中，點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn). 顯然，只有當(dāng)點(diǎn) D，E，A 三點(diǎn)共線時(shí)，[AE+DE]取得最小值，且最小值為[AD]的長(zhǎng)，[AD=32+12=10]，即[AM+][NE]的最小值為[10 cm].

思路2：如圖11，將[y=x2+22+1-x2+12][0≤x≤1 ]看作是平面內(nèi)一點(diǎn)[Px，0]到點(diǎn)[A0，2]和點(diǎn)[B1，1]的距離之和，則求[y=x2+22+1-x2+12][0≤x≤1 ]的最小值即為求[AP+BP]的最小值. 其中，點(diǎn) P 是線段 OC 上一動(dòng)點(diǎn). 由“將軍飲馬”模型可知，[AP+][BP]的最小值為[10]，即[AM+NE]的最小值為[10 cm].

四、解后反思

1. 廣泛聯(lián)想找思路，大膽嘗試尋方向

解數(shù)學(xué)題，就其本質(zhì)而論，就是尋求命題的條件與結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系. 整個(gè)解題的思維推理過程，實(shí)質(zhì)上就是一系列的廣泛聯(lián)想過程. 聯(lián)想的內(nèi)容主要有相似問題的處理方法，類似條件的處理策略，可能相關(guān)的定理、方法或數(shù)學(xué)模型等. 換而言之，就是聯(lián)想已往的解題經(jīng)驗(yàn)和相關(guān)的數(shù)學(xué)模型. 例如，在預(yù)設(shè)的解題思路中，由兩條線段和的最小值問題想到“三點(diǎn)共線”，進(jìn)而想到將兩條線段“移”到一起，正是受

以往解題經(jīng)驗(yàn)的影響. 學(xué)生由[AM+NE]想到“將軍飲馬”模型和“函數(shù)最值”模型，也是聯(lián)想相關(guān)數(shù)學(xué)模型的具體體現(xiàn). 但是聯(lián)想只能尋找可能的解題思路，在此基礎(chǔ)上還需要配合大膽嘗試才能驗(yàn)證解題方向的正確性，進(jìn)而確定是否需要調(diào)整解題策略. 筆者基于生1的思考路徑繼續(xù)探究，正是將線段 AM 轉(zhuǎn)化為線段 DF 并作出大膽嘗試，才發(fā)現(xiàn)了“將軍遛馬”模型. 此外，從“由形到數(shù)”到“由數(shù)思形”的轉(zhuǎn)變也是廣泛聯(lián)想和大膽嘗試的具體體現(xiàn). 當(dāng)然，廣泛聯(lián)想和大膽嘗試是在全面、深入加工題目信息基礎(chǔ)上進(jìn)行的解題活動(dòng)，而不是思維定式般的機(jī)械模仿和套用.

2. 模型結(jié)構(gòu)要理解，模型思想更關(guān)鍵

生1能從[AM+NE]的最小值聯(lián)想到“將軍飲馬”模型，說明其對(duì)“將軍飲馬”模型的結(jié)構(gòu)具有一定了解. 但是從生1作點(diǎn) M 關(guān)于 AB 的對(duì)稱點(diǎn) F 的解題步驟來看，這種了解只停留在對(duì)該模型簡(jiǎn)單套用的層次，而沒有深刻理解模型的本質(zhì)和內(nèi)涵. 由前文的解析過程可知，要想改變線段 AF 的位置，只能從“源頭”上對(duì)線段 AM 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這顯然已經(jīng)超出了單純記憶與復(fù)制模型結(jié)構(gòu)的層次，是需要學(xué)生對(duì)“將軍飲馬”模型有深刻理解才能實(shí)現(xiàn)的模型建構(gòu)，是模型思想的體現(xiàn). 但是模型結(jié)構(gòu)和模型思想之間存在本質(zhì)的差異. 掌握模型結(jié)構(gòu)只是對(duì)模型固有形態(tài)的一種靜態(tài)理解，而模型思想則是通過分析、聯(lián)想、建立（或選擇）恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?，并運(yùn)用該模型的性質(zhì)分析問題，使問題得以解決的思維策略，是一種動(dòng)態(tài)的建構(gòu)過程. 顯然，掌握模型結(jié)構(gòu)并不等于具有模型思想. 換句話說，生1解題思路受阻的根本原因在于其頭腦中雖有模型結(jié)構(gòu)但缺乏模型思想，因此在解題過程中只能對(duì)“將軍飲馬”模型進(jìn)行簡(jiǎn)單的記憶與模仿，而不能自主地選擇和建構(gòu).

3. 數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形分離莫忽略

我們知道，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)方法，主要是指數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 根據(jù)前后對(duì)應(yīng)順序的不同，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)包含兩個(gè)方面：一是從“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，二是從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化. 生2將求[AM+NE]的最小值轉(zhuǎn)化為求[y=x2+22+][1-x2+12 0≤x≤1]的最小值，正是體現(xiàn)了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化. 但“轉(zhuǎn)化”這個(gè)詞本就暗含了數(shù)與形的獨(dú)立性，即數(shù)形結(jié)合的前提是數(shù)形分離. 事實(shí)上，在生2將[AM+NE]轉(zhuǎn)化為[x2+22+][1-x2+12]后，“數(shù)”與“形”就已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了分離，求[y=x2+22+1-x2+12 ][0≤x≤1 ]的最小值已經(jīng)成為了一個(gè)獨(dú)立的新問題. 筆者正是在“數(shù)形分離”的基礎(chǔ)上賦予了[x2+22+][1-x2+12 0≤x≤1]新的幾何意義，從而繼續(xù)了由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，并最終求出結(jié)果. 事實(shí)上，只關(guān)注“數(shù)形結(jié)合”而忽略“數(shù)形分離”，正是導(dǎo)致生2解題思路受阻的根本原因. 綜合分析此種解法，正是從“數(shù)形結(jié)合”到“數(shù)形分離”再到“數(shù)形結(jié)合”的探究過程.

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