摘要： 建立人體動力學模型獲取人體自振頻率是土木工程、機械工程、交通工程、航空航天、康復醫(yī)學等許多領(lǐng)域的共性科學問題，以往研究最常采用的彈簧?質(zhì)量塊?阻尼器集中質(zhì)量模型，與實際人體質(zhì)量、剛度沿身高的分布式特性并不相符。本研究提出含有生物自驅(qū)力的人體分布參數(shù)動力模型，理論上推導了自振頻率的表達式，并據(jù)此提出了基于步態(tài)測試技術(shù)的頻率識別算法。組織了247名測試者進行步態(tài)試驗，識別了每位測試者的人體剛度和自振頻率，進一步研究了識別參數(shù)的概率分布特征，并通過與以往研究結(jié)果對比、不同年齡段統(tǒng)計分析等，多角度驗證了所提模型的合理性和適用性。

關(guān)鍵詞： 人體動力學模型； 參數(shù)識別； 分布參數(shù)模型； 彈簧?質(zhì)量塊?阻尼器模型

中圖分類號： R318.01； TB18 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）09-1468-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.09.003

引 言

建立人體動力學模型并研究人體剛度、自振頻率等特性是生物力學［1］、車輛工程［2］、航空航天［3］以及土木工程［4］等領(lǐng)域的共性科學問題，用于研究車輛、飛行器對乘客的影響、人體運動（如步行、跳躍、跑步等）對結(jié)構(gòu)物的影響以及評價人體自身健康狀態(tài)等。

目前各領(lǐng)域中最常見的是集中參數(shù)模型，即“彈簧?質(zhì)量塊?阻尼器”（Spring Mass Damper， SMD）人體動力學模型，根據(jù)質(zhì)量塊數(shù)量再分為單自由度和多自由度模型。

在人致結(jié)構(gòu)振動研究領(lǐng)域，早期研究者基于人體擁有質(zhì)量、耗能特性和彈性特質(zhì)的現(xiàn)實，將人體模擬成SMD系統(tǒng)，相關(guān)研究呈現(xiàn)出先“靜”（靜止的人）后“動”（運動的人）、先“單”（單自由度）后“多”（多自由度）的趨勢。Foschi等［5］最早使用單自由度SMD模型對靜止人體進行建模，成功解釋了人對結(jié)構(gòu)動力特性改變的原因。Folz等［6］延續(xù)前者的研究內(nèi)容，將SMD模型擴展為2自由度和11自由度系統(tǒng)，研究不同人體模型對耦合作用的影響。文獻［7?8］嘗試使用SMD模型來模擬運動的人，以研究不同運動姿勢下人體與結(jié)構(gòu)的耦合作用。

集中質(zhì)量模型的分析和計算相對便捷，但其分析精度受質(zhì)量數(shù)（自由度數(shù)目）的影響，數(shù)目越多，精度也就越高。然而，對人體這樣具有分布性質(zhì)的體系而言，原則上要取無限多個自由度數(shù)目才能收斂于精確解。此外，采用集中質(zhì)量模型，需要人為假定集中質(zhì)量點的數(shù)量、位置以及各質(zhì)點質(zhì)量的分配比例，集中質(zhì)量的物理意義也較不明確，因此實際應(yīng)用中大多采用最簡單的單質(zhì)點模型。與一般動力學系統(tǒng)建模類似，除去集中質(zhì)量模型還可以建立動力系統(tǒng)的分布參數(shù)動力學模型，可更合理地反映人體的物理特性。Kitazaki等［9］將人體脊柱作為剛性元件的層狀結(jié)構(gòu)，把椎間盤作為可變形元件，采用有限元法進行分析，這一方法雖有別于傳統(tǒng)的集中質(zhì)量模型，且具備一定程度的分布參數(shù)方法的思想，但仍不是真正意義上的分布參數(shù)模型。據(jù)作者目前所知，尚未有關(guān)于人體分布參數(shù)動力系統(tǒng)建模的公開研究。

為此，本文提出人體分布參數(shù)動力模型，基于理論解建立模型參數(shù)的識別算法，結(jié)合人體步態(tài)試驗的時程結(jié)果識別獲取不同測試者的人體剛度和自振頻率，并針對兩者的概率分布進行擬合和分析。此外，橫向?qū)Ρ攘吮狙芯拷Y(jié)果與以往研究結(jié)果，縱向?qū)Ρ攘瞬煌挲g段的人體參數(shù)，論證了所提模型的合理性和適用性。

1 人體動力學模型

1.1 集中質(zhì)量模型

與靜止人體模型不同，運動人體的動力學模型應(yīng)同時考慮人的生物特性和主動作用。Zhang等［10］提出了含有生物自驅(qū)力的SMD模型并用該模型模擬行人的機械性能，如圖1所示。該模型采用成對的生物自驅(qū)力模擬行走過程中人體肌肉的主動作用，考慮生物能的供給，作為行人豎向振動的激勵，以此建立行人與結(jié)構(gòu)耦合振動的系統(tǒng)。該研究通過設(shè)計人行橋的人致振動試驗，識別了行人SMD的模型參數(shù)，以驗證SMD模型模擬行人的適用性。該SMD模型的運動方程為：

（1）

式中 Mh，Ch和Kh分別表示行人的質(zhì)量、阻尼和剛度；u為行人質(zhì)心在生物自驅(qū)力下的位移響應(yīng)；Fbio為生物自驅(qū)力。一般情況下，行人正常行走是一個周期/近周期運動，假定行人按照固定步頻行走，此時可使用傅里葉級數(shù)來表示生物自驅(qū)力，如下所示：

（2）

式中 a0，ai和bi為傅里葉級數(shù)系數(shù)，也是各階生物力系數(shù)；n為傅里葉級數(shù)模型的階數(shù)；fp為行人行走的步頻。

上述含有內(nèi)部成對生物自驅(qū)力的人體SMD模型有著較高的實用性和便捷性，為其他學者所使用。Wang等［11?12］基于該模型，采用粒子濾波分步系統(tǒng)識別方法，識別了人體行走、屈伸律動（bounce）運動狀態(tài)下的機械性能參數(shù)。

1.2 分布質(zhì)量模型

集中質(zhì)量模型因簡單、實用，成為研究人體動力學時最常使用的模型，但其分析精度受所采用的質(zhì)點數(shù)的影響，需要增加質(zhì)點數(shù)以提升精度。對于人體這樣具有典型分布性質(zhì)的體系而言，需要取較多自由度數(shù)目才能得到滿意的精度。然而，集中質(zhì)量模型需要人為假定集中質(zhì)點的數(shù)量、位置和質(zhì)量分配比例，模型的物理意義也不明確。在不同學科領(lǐng)域中，集中質(zhì)量的取值根據(jù)研究目的和應(yīng)用的不同也有所不同，缺乏合理的選取原則。

考慮到分布參數(shù)動力學模型可更合理地反映人體的物理特性，本研究延續(xù)含生物自驅(qū)力SMD模型的思路，提出含生物自驅(qū)力的分布質(zhì)量人體模型，如圖2所示。

僅考慮軸向振動，可忽略阻尼對軸向行為的影響［13］，則軸向運動偏微分方程為：

（3）

式中 為人體分布質(zhì)量，定義為人體質(zhì)量Mh與身高h之比，即；EA為人體分布等效軸向剛度；為軸向生物分布力，定義為生物自驅(qū)力Fbio與人體身高h之比，即；x和t為位置和時間參數(shù)。

利用經(jīng)典動力學理論的振型疊加法，人體軸向位移響應(yīng)可表示為：

（4）

式中 us為人體軸向位移響應(yīng)；j表示振型階數(shù)；Yj（t）為第j階振型的正則坐標；?j（x）表示第j階軸向振動振型：

（5）

從而可得式（3）所對應(yīng)的正則坐標運動方程：

（6）

式中 Mj為廣義質(zhì)量；ωj為第j階軸向振動圓頻率；Fj為廣義荷載，表達式分別為：

（7）

（8）

（9）

考慮到步行荷載的窄帶特征、人體步行時趨向省力舒適（低頻）的自適應(yīng)性，以及本研究只關(guān)注人體基頻，為了提高識別算法的效率，本模型僅考慮對運動響應(yīng)貢獻最大的第一階振型，即j=1，代入式（7）～（9），進一步再代入式（6），得到該模型的運動方程為：

（10）

基于此，人體在每個步行時刻ti（i=1，2，…，p）的運動方程可用矩陣形式表示：

（11）

式中 各矩陣表達式為：

（12）

（13）

（14）

一階正則坐標Y1可由試驗所測的人體軸向位移響應(yīng)us計算得到，具體計算公式為：

（15）

Θ中的元素是待識別的人體機械性能參數(shù)，H和F中的參數(shù)均可由步態(tài)試驗測量得到，其中假定人體剛度參數(shù)EA在行走過程中是時不變的，采用最小二乘法，可得到人體剛度和各階生物力系數(shù)。具體計算公式為：

（16）

2 步態(tài)試驗

為了驗證上述分布參數(shù)模型的合理性和適用性，本研究設(shè)計了步態(tài)試驗，利用三維光學運動捕捉技術(shù)（3D Motion Capture）獲取行人正常行走時的位移響應(yīng)，進而根據(jù)以上推導的算法，識別獲得人體機械性能參數(shù)。

2.1 試驗方案

試驗在上海市某醫(yī)院生物力學實驗室開展，實驗室內(nèi)設(shè)有一工作區(qū)域，四面設(shè)有16臺Vicon T40s紅外線高速攝像機，中部地面內(nèi)嵌4塊AMTI OR6?7三維測力臺及一塊FOOTSCAN三維足底壓力板，實驗室環(huán)境如圖3所示，圖中鋪設(shè)地毯的區(qū)域為測試者的主要試驗活動范圍。

試驗采用Vicon三維光學捕捉運動系統(tǒng)，其基本原理是利用高速紅外攝像頭（采樣頻率為100 Hz）和固定在人體關(guān)鍵點上的反光標記物（稱為“Marker”，空間定位精度為0.1 mm）來捕捉步行過程中人體關(guān)節(jié)及關(guān)鍵部位的三維運動軌跡。圖4展示了本研究中某一位測試者的某次步行試驗，采用了39 Marker點布置方式，具體布置詳見文獻［14］。

本次試驗共募得247位測試者，包括85名男性及162名女性，年齡段覆蓋20～29歲（青年）和60～85歲（老年），其統(tǒng)計特征如表1和2所示。試驗獲得了該醫(yī)院倫理委員會的批準。

此外，在Scientific Data上收集了50名外國人的步態(tài)試驗公開數(shù)據(jù)（詳情：25名男性與25名女性，年齡范圍：6～72歲，體重范圍：18.2～110 kg，身高范圍：116.6～187.5 cm）［15］。

本研究中每位測試者步態(tài)試驗的基本步驟為：

（1） 熟悉并確認試驗須知、要求和潛在風險；

（2）登記姓名、性別和年齡等基本信息，并測量其身高和體重；

（3）穿上指定服裝，由實驗室人員在測試者身上的關(guān)鍵點貼上Marker；

（4）熟悉實驗室環(huán)境及實驗要求，預(yù)演步行直至步態(tài)自然舒適并符合要求；

（5）記錄其站立靜態(tài)時各Marker的三維位置；

（6）選擇其認為最舒適自然的步頻和步速行走，完成10次正式步行試驗。

2.2 典型試驗結(jié)果

圖5展示了兩位同齡測試者：（a）測試者1?男性?體重56 kg?身高175 cm?70歲；（b）測試者2?女性?體重54 kg?身高154 cm?70歲，完成一次行走時部分Marker點的豎向空間軌跡。其中，已有研究［16］表明C7點（頸椎第7節(jié)突出部位）位于人體中軸線上，脂肪覆蓋少，測量結(jié)果清晰穩(wěn)定，并且因其棘突明顯，易于定位，能較好地減小Marker粘貼位置的偏差，推薦C7點作為特征點代表人體重心運動，因此該點軌跡將用于后續(xù)人體動力參數(shù)的識別。

3 參數(shù)識別

3.1 參數(shù)識別步驟

利用本文1.2節(jié)所闡述的分布參數(shù)模型的理論推導和識別算法，對于測試者的每一次行走，按如下步驟識別行人的剛度和自振頻率：

（1）導入測試者質(zhì)量Mh和身高h，記錄其站立靜止時C7點的豎向位置信息，記為hC7；

（2）提取行走過程中C7點的豎向響應(yīng)u0（t），并進行去趨勢項處理，處理后的時程記為u（t）；

（3）對u（t）進行譜分析獲得測試者在該次行走中的步頻，記為fp；

（4）根據(jù)式（15）計算一階正則坐標Y1（t），并通過微分運算得到；

（5）根據(jù)式（12）～（14）建立分布式模型的運動識別矩陣，其中生物自驅(qū)力取前3階；

（6）根據(jù)式（16）解出最小二乘意義下的人體動力參數(shù)矩陣Θ，得到該測試者的剛度、各階生物自驅(qū)力系數(shù)，人體自振頻率的計算公式為：

（17）

3.2 識別實例

根據(jù)以上識別步驟，以2.2節(jié)展示的男性測試者（體重56 kg?身高175 cm?70歲）的一次行走數(shù)據(jù)為例，展示其動力參數(shù)識別的過程和結(jié)果。

該測試者的體重Mh為56 kg，身高h為175 cm，其站立靜止時C7?Marker點的豎向位置hC7為149.91 cm。提取出行走時C7點的豎向振動信息u0（t），并對其做去趨勢項處理得到u（t），再利用式（15）計算得Y1（t），三者時程圖如圖6所示，計算得到的時程如圖7所示。對u（t）進行頻域分析，獲得該測試者在該次行走中的步頻fp為1.822 Hz。

將以上結(jié)果代入式（12）～（14）中建立對應(yīng)的運動矩陣，由式（16）解得本例中人體等效軸向剛度EA/h為2570.4 N/m，進一步根據(jù)式（17）計算得到對應(yīng)的人體自振頻率為1.689 Hz。

4 識別結(jié)果討論

本節(jié)通過多角度參數(shù)對比和分析，討論分布參數(shù)人體模型的合理性和適用性。

4.1 整體結(jié)果分析

為方便比較，將每位測試者10次步行試驗識別結(jié)果的均值作為其代表參數(shù)。圖8展示了247名中國測試者與50名外國測試者的人體動力參數(shù)識別結(jié)果，經(jīng)過單因素方差分析，在顯著性水平α=0.01的情況下，兩者間沒有顯著的分布差異，因此后續(xù)將合并分析。結(jié)果顯示，人體自振頻率和人體剛度隨步頻的分布較為離散，反映出很強的個體差異性。Pearson相關(guān)分析顯示，頻率呈現(xiàn)隨步頻弱增加的趨勢（r=0.30，P<0.01），剛度變化則無明顯的趨勢（r=0.19，P<0.01），以上相關(guān)性分析中r表示相關(guān)系數(shù)，P值表征統(tǒng)計顯著性。

所有測試者的人體動力參數(shù)的統(tǒng)計特征如表3所示，頻率的變化范圍為1.00～3.88 Hz，均值為1.70 Hz，標準差為0.36 Hz；剛度變化范圍為820.1～15584.2 N/m，均值為2865.2 N/m，標準差為1765.4 N/m。

4.2 參數(shù)概率分布

4762893ddf186736cd2c8d08b356a805以往的研究中，Nimmen等［8］因樣本量較少，故而假定人體參數(shù)均服從高斯正態(tài)分布，本研究針對“行走”這一運動形式所識別的人體自振頻率和剛度參數(shù)進行了概率分布的擬合（如圖9所示），經(jīng)K?S檢驗，發(fā)現(xiàn)兩者并不服從正態(tài)分布。圖9數(shù)據(jù)分布具有顯著的厚尾特性，因而更適合采用t?Location?Scale（t位置尺度）分布，該分布的概率密度函數(shù)為：

（18）

式中 Γ（·）為伽馬函數(shù)；μ為位置參數(shù)；σ為尺度參數(shù)；ν為形狀參數(shù)。該分布的統(tǒng)計指標均值和方差的表達式分別為：

（19）

（20）

t分布相關(guān)的位置參數(shù)、尺度參數(shù)和形狀參數(shù)也顯示于圖9中。

4.3 與已有研究結(jié)果對比

Nimmen等［8］發(fā)現(xiàn)人體的機械性能參數(shù)主要取決于身體的姿勢，且運動中的人體參數(shù)與靜止的人體參數(shù)差別很大［17］。因此，將本文識別結(jié)果與已有模擬行走運動形式的研究結(jié)果進行了對比，如表4所示。

由于本研究的測試樣本數(shù)量高出現(xiàn)有研究1～2個量級，且樣本包含國內(nèi)和國外的青年人與老年人，因此參數(shù)變化區(qū)間更寬是合理的，但本文結(jié)果與已有研究結(jié)果大致處于同一量級內(nèi)。所提模型的合理性可進一步通過具體對比體現(xiàn)，例如Nimmen等［8］采用“跨步”的靜止姿態(tài)來模擬步行動作并識別人體參數(shù)，由于此時測試者身體肌肉處在緊繃狀態(tài)，所識別的參數(shù)并非真正運動中行人的參數(shù)，因此所得頻率上下限均高于本文結(jié)果。張夢詩等［17］測試的樣本偏少，且均為身體健康、年齡相仿的學生群體，其頻率值和剛度變化較小。

4.4 不同年齡段對比

聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織對年齡的劃分標準規(guī)定：44歲以下為青年，45歲以上為中老年。本文將測試者按照以上標準劃分成青年組和中老年組，分別有109名和188名，兩組測試者的人體自振頻率和人體剛度的概率分布直方圖如圖10所示。

由圖10可知，中老年雖然樣本數(shù)量多，但人體自振頻率和剛度分布較集中，且總體上數(shù)值偏低，表明其人體剛度較小，符合中老年人骨骼和肌肉質(zhì)量下降的特征。與之對比，青年人的頻率和剛度分布較寬泛，且整體數(shù)值高于中老年人，一方面反映出青年人群體的骨骼、肌肉質(zhì)量整體較高（因而剛度大、頻率高）；另一方面也反映出青年人群體具有更顯著的個體差異性。兩組人群的參數(shù)統(tǒng)計特征如表5所示，青年人的均值和標準差都顯著高于中老年人。

以上結(jié)果均表明分布式參數(shù)模型符合人體生理特點，能更準確地反映理論模型中人體機械性能的物理基礎(chǔ)，即骨骼、肌肉質(zhì)量以及密實程度。

5 結(jié) 論

針對現(xiàn)有人體集中質(zhì)量力學模型物理意義不明確的問題，本研究提出了人體分布式參數(shù)動力模型，給出了模型的參數(shù)識別算法，應(yīng)用于247名測試者的三維步態(tài)試驗數(shù)據(jù)，成功識別得到每位的人體剛度和自振頻率，參數(shù)的分布范圍與已有研究的整體范圍相近。

對識別參數(shù)的統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：人體自振頻率和剛度服從t?Location?Scale分布；中老年人的自振頻率和剛度分布較集中，總體數(shù)值偏低，而青年人的自振頻率和剛度分布較寬泛，總體數(shù)值較高，符合青年人骨骼肌肉質(zhì)量優(yōu)于中老年人的特征。

理論分析以及試驗結(jié)果的多角度對比分析，驗證了人體分布式動力模型的合理性和適用性。本文提出的分布式人體模型可用于人體立姿軸向振動的研究，國內(nèi)許多大城市公共交通（公交車、地鐵）上的乘客大多數(shù)是立姿，且公共交通的振動對人體長期的影響不可忽視，此外許多行業(yè)的工人需要立姿作業(yè)，日常暴露于振動中，而國內(nèi)對于人體立姿振動的研究較少［18］，本文所提模型可用于確定人體立姿軸向振動的參數(shù)，為國際標準ISO 5982：2019和國內(nèi)標準GB/T 16440—1996補充材料。所提模型也具有顯著的多學科應(yīng)用前景，例如土木工程中人?結(jié)構(gòu)相互作用分析、機械和交通領(lǐng)域中動力裝置對人體的影響以及醫(yī)學領(lǐng)域中人體健康監(jiān)測研究等。

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Modeling and parameter identification of distributed parameter dynamics model for a human body

CHEN Zhe-yao1， WANG Hao-qi1， CHEN Jun1， ZHAO Yong-fang2， GUO Hai-ling2

（1.College of Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China； 2.Shuguang Hospital Affiliated to Shanghai University of Traditional Chinese Medicine，Shanghai 201203，China）

Abstract： Establishing human body dynamics model to obtain human natural vibration frequency is a common scientific challenge in various fields such as civil engineering， traffic engineering， aerospace， rehabilitation medicine and so on. The spring-mass-damper （SMD） model is most commonly used in previous studies， which actually is not consistent with the distribution characteristics of human mass and stiffness along the height. In this study， a distributed parameter dynamics model of the human body with a pair of biomechanical forces is proposed， and the analytical solution of human natural frequency is theoretically derived. Therefore， a frequency recognition method based on gait tests is proposed. 247 subjects are organized to conduct gait tests， and their stiffness and natural frequency are identified. The rationality and applicability of the proposed model are verified from multiple perspectives： by fitting the probability distribution of results， comparing the results with other researches， and analyzing the results across different age groups.

Key words： human body dynamics model；parameter identification；distributed parameter model；spring-mass-damper model

作者簡介： 陳哲瑤（1998―），女，碩士研究生。電話：（021）65985270；E-mail：chzhyao@#edu.cn。

通訊作者： 陳 雋（1972―），男，博士，教授。電話：（021）65985270；E-mail：cejchen@#edu.cn。