摘要： 對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)響應(yīng)，隨機(jī)模擬法是較為實(shí)用的工程分析方法。然而對于需要大量樣本的尾部概率估計(jì)，高昂的計(jì)算成本限制了該類方法的應(yīng)用。為了降低計(jì)算成本，開發(fā)了基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的高斯過程代理模型算法，但其主動(dòng)學(xué)習(xí)優(yōu)化策略仍需進(jìn)一步完善，以滿足工程中對單側(cè)尾部概率分布估計(jì)精度的需求。為此提出了一種具有智能關(guān)注功能的搜索函數(shù)，構(gòu)建了針對工程中事故風(fēng)險(xiǎn)極高的單側(cè)尾部的算法。以地鐵隧道環(huán)梁和襯砌間復(fù)雜粘結(jié)滑移行為為例，驗(yàn)證了該算法的有效性。相比原有算法，本文算法對單側(cè)尾部概率的估計(jì)誤差降低了30%。本文算法能更精確地估計(jì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分布的單側(cè)尾部概率，進(jìn)而估計(jì)極端事故的發(fā)生概率，為風(fēng)險(xiǎn)測度和防災(zāi)管理決策提供量化分析依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 隨機(jī)振動(dòng)； 非線性響應(yīng)； 高斯過程代理模型； 主動(dòng)學(xué)習(xí)； 尾部概率

中圖分類號： O324； O322 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）09-1485-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.09.005

引 言

過去數(shù)十年里，為適應(yīng)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的工程可靠性設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)［1?2］研究得到了長足發(fā)展，產(chǎn)生了隨機(jī)有限元［3］、隨機(jī)攝動(dòng)［4］、概率密度演化［5］和隨機(jī)模擬［6］等分析方法。但大部分方法在實(shí)際應(yīng)用中仍面臨兩個(gè)挑戰(zhàn)，一是很難深度嵌入商業(yè)用軟件，二是對極小概率事件估計(jì)的計(jì)算成本過高。

為了解決第一個(gè)問題，基于代理模型的隨機(jī)模擬法被提出來［7］。代理模型是對原始復(fù)雜模型的近似，它能夠在保持合理精度的同時(shí)，大幅降低計(jì)算成本，更加便捷地實(shí)現(xiàn)直接隨機(jī)模擬分析，從而為工程不確定性量化估計(jì)提供更具效率的解決方案。

高斯過程模型［8］是目前常用的代理模型，作為一種非參數(shù)模型，可以靈活擬合復(fù)雜的非線性關(guān)系，更重要的是，它能夠量化估計(jì)響應(yīng)預(yù)測的不確定性，并得到預(yù)測結(jié)果的置信區(qū)間，這對于提升評估預(yù)測結(jié)果的有效性具有顯著作用。另外，近些年快速發(fā)展的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型也成為代理模型的有效備選方案［9］。結(jié)合高斯過程的不確定性量化特性和深度學(xué)習(xí)的高表達(dá)性的深度高斯過程［10］是目前最前沿的方向之一。

KAYMAZ［11］首次將高斯過程模型作為代理模型引入結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析領(lǐng)域，但需要通過進(jìn)一步的自適應(yīng)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)策略對該模型進(jìn)行優(yōu)化。BICHON等［12］和SCH?BI等［13］提出主動(dòng)學(xué)習(xí)策略，通過專門設(shè)計(jì)新增實(shí)驗(yàn)樣本以優(yōu)化模型。ECHARD等［14］通過幾個(gè)算例驗(yàn)證了該主動(dòng)學(xué)習(xí)策略對處理高非線性、不可微、非凸等問題的有效性。但文獻(xiàn)［14］采用的算法的優(yōu)化目標(biāo)僅限于估計(jì)指定閾值的失效概率，而工程中往往更關(guān)注高風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間的分布函數(shù)，因此該方法只能逐一迭代地更改閾值，利用離散的計(jì)算結(jié)果來表征隨機(jī)響應(yīng)，分析效率尚不能滿足實(shí)際工程分析需求。

基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的高斯過程算法（Active Learning?Based Gaussian Process， AL?GP）能同時(shí)估計(jì)累積和互補(bǔ)累積分布函數(shù)［15］。相較于傳統(tǒng)的針對特定閾值的方法，該算法采用以某個(gè)區(qū)間為優(yōu)化目標(biāo)的策略，能夠更清楚地描述概率分布。

一些罕見但危害重大的事故通常呈現(xiàn)為小概率的分布函數(shù)的“尾部”事件［16］，現(xiàn)有的AL?GP方法提供了估計(jì)尾部概率的解決方案，但在實(shí)際工程應(yīng)用中，對尾部概率估計(jì)的精度仍然不足，尤其是在計(jì)算復(fù)雜非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)的尾部概率時(shí)，其計(jì)算效率需要進(jìn)一步提高。

為了使AL?GP更精確、高效地估計(jì)尾部小概率，本文提出一個(gè)對尾部區(qū)間更具智能關(guān)注能力的搜索函數(shù)，并建立相應(yīng)算法，顯著降低非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)的單側(cè)尾部估計(jì)誤差。另外，為了驗(yàn)證本算法在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)上的計(jì)算效率，實(shí)現(xiàn)算法程序與商業(yè)有限元軟件的交互結(jié)合，開發(fā)出一個(gè)隨機(jī)響應(yīng)分析平臺(tái)，以便快速求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的單側(cè)尾部概率。本文以來自實(shí)際工程的案例——地鐵隧道環(huán)梁和襯砌間的粘結(jié)滑移行為分析，驗(yàn)證了算法的有效性。

1 針對單側(cè)尾部的AL?GP算法

結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析中，給定輸入的聯(lián)合隨機(jī)參數(shù)x，需要關(guān)注輸出的結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y的隨機(jī)性。從x到Y(jié)的確定性映射關(guān)系G（·）為：

（1）

雖然式（1）形式簡潔，但G（·）在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中代表著一個(gè)計(jì)算成本極高的數(shù)值模型。這使得基于式（1），難以通過直接隨機(jī)模擬法估計(jì)Y的隨機(jī)性。直接隨機(jī)模擬法，即蒙特卡羅模擬法（Monte Carlo Simulation， MCS）適用性極強(qiáng)，可以應(yīng)用于非侵入式有限元計(jì)算，但由于它需要對每個(gè)隨機(jī)參數(shù)樣本執(zhí)行一次完整的數(shù)值模擬計(jì)算，因此應(yīng)用在規(guī)模龐大的復(fù)雜結(jié)構(gòu)中會(huì)非常耗時(shí)。故本文提出了尾部敏感的學(xué)習(xí)算法，不僅擬合出了替代G（·）的快速代理模型M（·），還對單側(cè)尾部的計(jì)算實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化。

（2）

式中 F（·）為分布函數(shù)；y為結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y的變量形式；n為隨機(jī)參數(shù)樣本總量；為指示函數(shù)，其中時(shí)=1，否則= 0。

1.1 針對單側(cè)尾部的AL?GP算法的流程

如圖1所示，本節(jié)介紹的算法是對AL?GP算法的針對性改進(jìn)，使其更適用于具有單側(cè)尾部風(fēng)險(xiǎn)的分布。為了滿足關(guān)注單側(cè)尾部的要求，開發(fā)了一個(gè)搜索函數(shù)，分析步驟如下：

（1）使用拉丁超立方抽樣法，針對變量——混凝土強(qiáng)度、鋼材（螺栓）屈服強(qiáng)度、極限強(qiáng)度、彈性模量生成初始訓(xùn)練集Xs，再用G（·）計(jì)算出對應(yīng)的精確輸出變量Y，本文中為螺栓滑移量。

（2）使用訓(xùn)練集｛Xs ， Y｝訓(xùn)練高斯過程代理模型，核函數(shù)選用高斯核函數(shù)。

（3）生成一個(gè)大樣本量的備選集Xc，計(jì)算對應(yīng)的三重估計(jì)。

（4）計(jì)算損失函數(shù)，如果停止準(zhǔn)則被滿足，則結(jié)束算法，否則進(jìn)入步驟（5）。

（5）利用本文提出的搜索函數(shù)，找到誤差最大的。

（6）在Xc中搜索，找到使學(xué)習(xí)函數(shù)最大的樣本x*，并計(jì)算出其對應(yīng)的真實(shí)值y*。

（7）將｛x*，y*｝增加進(jìn)｛Xs ， Y｝。

（8）返回到步驟（2）。

1.2 樣本初始化

初始訓(xùn)練集Xs可由分層抽樣法得到，如拉丁超立方［17］抽樣法。本文的初始訓(xùn)練集樣本個(gè)數(shù)設(shè)置為20個(gè)。雖然這個(gè)數(shù)量可以是任意值，但考慮到唯一確定包含n個(gè)變量的二次多項(xiàng)式需要至少［（n+1）?（n+2）/2］個(gè)樣本（樣本數(shù)量需要大于系數(shù)數(shù)量，變量n的二次多項(xiàng)式具有［（n+1）（n+2）/2］個(gè)系數(shù)），本算例中變量個(gè)數(shù)為4，那么樣本個(gè)數(shù)最好大于16。保守起見，初始訓(xùn)練集樣本個(gè)數(shù)取為20。

備選集Xc可根據(jù)變量的概率密度函數(shù)用直接抽樣法得到， 樣本規(guī)模為106。此樣本規(guī)模確保了當(dāng)尾部概率大于10-3時(shí)，變異系數(shù)始終小于5%。

1.3 的三重估計(jì)

在利用訓(xùn)練集Xs完成高斯過程代理模型的超參數(shù)取值后，下一步要預(yù)測備選集Xc的響應(yīng)量。高斯過程預(yù)測的具體原理［18］不在此贅述，主要介紹如何對初步訓(xùn)練后的高斯過程模型進(jìn)一步優(yōu)化。最終不僅要得到確定性的預(yù)測值，還需要得到預(yù)測結(jié)果的置信區(qū)間，以便衡量代理模型的不確定性，為后期優(yōu)化提供依據(jù)?；诟咚惯^程中對所有輸出變量具有多元聯(lián)合高斯分布的假定，任意一個(gè)輸出值都符合高斯分布。故只需要在中心預(yù)測的基礎(chǔ)上加減一定的標(biāo)準(zhǔn)差得到上、下限值，被稱為三重預(yù)測：

（3）

式中 ；為新增訓(xùn)練樣本的預(yù)測均值；為新增訓(xùn)練樣本的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差；k值代表置信水平。對，的三重預(yù)測模型分別為，，。比如，意味著用 作為備選集Xc對應(yīng)的Y。

綜上，根據(jù)式（2）和（3）， 結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y的累積分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function， CDF）同樣具有三重預(yù)測：

（4）

式中 。備選集Xc 需要保持一致以確保。

1.4 誤差函數(shù)

雖然三重預(yù)測提供了置信范圍，但還需要一個(gè)綜合指標(biāo)（即誤差函數(shù)）評估模型的不確定性。當(dāng)置信范圍較小時(shí)，預(yù)測的確定性程度較高；而當(dāng)置信范圍較大時(shí)，預(yù)測的不確定性較高，可能無法滿足工程分析需求，就需要修改代理模型。為了衡量模型的不確定性以便做出是否修改模型的決策，需要將這個(gè)置信范圍積分，具體表示為：

（5）

式中

（6）

為了避免式（6）中的分母為0，將積分范圍由原始范圍變換為（）。這個(gè)新的積分范圍就是工程分析需要關(guān)注的概率分布區(qū)間。式（6）的分母形式有助于關(guān)注雙側(cè)尾部。

閾值ε可設(shè)置為：

（7）

式中 為一個(gè)特定值，表示式（6）應(yīng)該平均地小于，一般設(shè)為0.1。

1.5 學(xué)習(xí)函數(shù)

在完成上述定量評估后，如果誤差沒能低于閾值，就需要優(yōu)化代理模型。對高斯過程模型來說，增加訓(xùn)練樣本數(shù)量是最直接的優(yōu)化方式，然而，如何增加訓(xùn)練樣本決定了優(yōu)化的效率，定義學(xué)習(xí)函數(shù)為：

（8）

式中 為誤分類概率；Φ［·］為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的CDF；y'為結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y的關(guān)鍵值；為新增訓(xùn)練樣本的中心預(yù)測值。式（8）意味著新增的樣本既要接近y'，又要預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差高，才能使誤分類概率最高。通常情況下，使誤分類概率最高的樣本是最值得學(xué)習(xí)的樣本。因此，如何發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的y' 就成為一個(gè)關(guān)鍵問題，為此本文提出了一個(gè)新穎的搜索函數(shù)來尋找y'。

2 帶激活函數(shù)的搜索函數(shù)

提出一個(gè)帶激活函數(shù)的搜索函數(shù)是本文對原有AL?GP方法最主要的改進(jìn)。在原始的AL?GP算法中，有一個(gè)關(guān)注單側(cè)尾部的方案，即將式（6）分母改為或。可以觀察到這個(gè)關(guān)注單側(cè)尾部的方案并不是原方法精心設(shè)計(jì)的，因?yàn)樵椒ǖ谋疽馐菍ε嫉仃P(guān)注雙側(cè)尾部。受到函數(shù)形式的限制，它對單側(cè)尾部的重視能力是有限的，這可能導(dǎo)致它無法滿足實(shí)際工程對單側(cè)尾部估計(jì)精度的要求。在實(shí)際工程中，極端災(zāi)難事件往往只發(fā)生在結(jié)構(gòu)響應(yīng)量分布的單側(cè)尾部，但造成的損失又是巨大的，其風(fēng)險(xiǎn)不可忽略，需要更精準(zhǔn)的估計(jì)。

因此，有必要通過改進(jìn)，賦予搜索函數(shù)一種智能的關(guān)注功能，加大對極端事件的關(guān)注程度，以提高對風(fēng)險(xiǎn)極大的單側(cè)尾部的估計(jì)精度。在式（5）中對誤差函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，常規(guī)做法是定義搜索函數(shù)為找到使誤差函數(shù)W*（·）最大的y'。但如上所述，還要考慮極端事件的風(fēng)險(xiǎn)，故不妨從風(fēng)險(xiǎn)視角出發(fā)，對誤差函數(shù)加權(quán)，形成新的搜索函數(shù)，具體表示為：

（9）

式中 表示一個(gè)以 y' 為中心，且參數(shù)為ω的高斯核函數(shù)，用于實(shí)現(xiàn)誤差的局部化而不僅僅只考慮點(diǎn)誤差；α（y'） 表示激活函數(shù)；的形式見式（6）。

由于風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)往往是單調(diào)非線性的，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的激活函數(shù)正好具有這種性質(zhì)，因此選取了三種激活函數(shù)作為可能的選項(xiàng)，分別是Sigmoid，tanh和ReLU。本文提供的函數(shù)形式是遞增的，意味著關(guān)注程度隨響應(yīng)量值的增加而增加，即搜索函數(shù)更關(guān)注分布的右尾。另外，簡單地用代替即可實(shí)現(xiàn)關(guān)注對象的對稱翻轉(zhuǎn)，以便關(guān)注分布的左尾。下面介紹最終的搜索函數(shù)。

激活函數(shù)，式（9）展開為：

（10）

式中 ；的定義域?yàn)椋?3， 3］。

激活函數(shù)，式（9）展開為：

（11）

式中 ；的定義域?yàn)椋?， 1.85］。

激活函數(shù)，式（9）展開為：

（12）

式中 ；的定義域?yàn)椋?，0.95］。

三種函數(shù)的值域上限都約為0.95，以方便等效對比。

該搜索函數(shù)將模型不確定性和風(fēng)險(xiǎn)相結(jié)合，定義了一個(gè)評價(jià)結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y關(guān)鍵程度的指標(biāo)。使這個(gè)指標(biāo)最大的就是式（8）的學(xué)習(xí)函數(shù)定義中的關(guān)鍵值：

（13）

其中高斯核區(qū)域被［ylower， yupper］截?cái)?，歸一化常數(shù)Z設(shè)置為：

（14）

σ（y'）在下式中求解，這是AL?GP的簡化方法?；驹硎窃赬c中找到y(tǒng)'的最近點(diǎn)，用最近點(diǎn)的σ值代替σ的精確值。

（15）

通過搜索函數(shù)，找到了結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y的關(guān)鍵值，為隨后學(xué)習(xí)函數(shù)的使用掃清了障礙。有了，問題重新回到最初，即尋找使學(xué)習(xí)函數(shù)最大的新增訓(xùn)練樣本：

（16）

3 算例分析

盾構(gòu)隧道是城市地鐵首選的施工方法，具有許多優(yōu)點(diǎn)。然而，在軟土地區(qū)，地鐵運(yùn)營過程中可能會(huì)出現(xiàn)不均勻沉降，這會(huì)影響盾構(gòu)隧道的長期性能?？紤]到中國有些大型城市位于軟土地區(qū)［19］，不均勻沉降的潛在風(fēng)險(xiǎn)值得關(guān)注。

如圖2所示，在盾構(gòu)管片和車站后澆環(huán)梁的連接段，由于兩者在結(jié)構(gòu)形式和荷載方面存在顯著差異，縱向不均勻沉降更容易發(fā)生。在這種情況下，如果埋入環(huán)梁的螺栓錨固長度不足，可能導(dǎo)致螺栓與混凝土發(fā)生較大的相對滑移，進(jìn)而導(dǎo)致縱向環(huán)縫張開［20］，引發(fā)滲漏問題，甚至可能導(dǎo)致盾構(gòu)管片與車站后澆環(huán)梁受拉破壞。這不僅會(huì)影響地下結(jié)構(gòu)的防水性和耐久性，還有可能威脅整個(gè)地下空間的安全。

如果按照可靠性規(guī)范嚴(yán)格設(shè)計(jì)，這種事故發(fā)生的概率很小，但一旦發(fā)生，可能造成巨大損失。因此，這屬于典型的小概率大損失事件。可使用本文提及的方法量化估計(jì)這種災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)。

以某地鐵車站為例，盾構(gòu)管片與車站后澆環(huán)梁連接段構(gòu)造如圖2所示，后澆環(huán)梁采用C35混凝土；盾構(gòu)管片采用C50混凝土。管片與后澆環(huán)梁縱向通過10根M27螺栓連接，螺栓機(jī)械強(qiáng)度為8.8級，長0.5 m，細(xì)部構(gòu)造如圖2所示。連接段螺栓左端通過手孔與管片連接，與混凝土沒有接觸；右端預(yù)埋入后澆環(huán)梁，埋入長度為0.25 m。

3.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性

結(jié)構(gòu)隨機(jī)源及其分布統(tǒng)計(jì)量［21?22］如表1所示：

3.2 新增訓(xùn)練樣本的分布

過大的滑移量是鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)粘結(jié)錨固破壞的重要表征。因此需要重點(diǎn)關(guān)注滑移量分布函數(shù)的右尾。為了對比AL?GP和本文算法，之后討論的AL?GP算法是式（6）分母改為的關(guān)注單側(cè)右尾的形式。從圖3反映的計(jì)算結(jié)果可以看到，與既有的AL?GP算法相比，本文提出的針對單側(cè)尾部的算法能夠更有效地將新增訓(xùn)練樣本集中在單側(cè)尾部區(qū)域。這為代理模型在結(jié)構(gòu)響應(yīng)的尾部具備更出色的預(yù)測能力打下基礎(chǔ)。另外，顯然不同的激活函數(shù)導(dǎo)致不同的樣本點(diǎn)分布，這與激活函數(shù)的形式有關(guān)。在高斯過程預(yù)測中，預(yù)測值是訓(xùn)練樣本輸出值的線性組合，特定概率區(qū)間內(nèi)投入的訓(xùn)練樣本越多，預(yù)測不確定性就會(huì)越低。而由圖3可以看出，相比Sigmoid，ReLU函數(shù)將更多的樣本投入在極端小分位點(diǎn)區(qū)域，因此ReLU函數(shù)更適合事故分位點(diǎn)極端小的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，而Sigmoid函數(shù)則適合分位點(diǎn)較大的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

3.3 單次算法運(yùn)行中的誤差迭代

誤差是評價(jià)模型不確定性的指標(biāo)，在向右尾新增更多訓(xùn)練樣本后，誤差的迭代變化反映了模型精度的變化。由于只關(guān)注右尾的模型精度，因此將誤差積分范圍［ylower，yupper］設(shè)為。由于沒有對誤差積分范圍細(xì)化，三種激活函數(shù)的表現(xiàn)近似，這里僅對比AL?GP 和采用Sigmoid激活函數(shù)的本文算法的表現(xiàn)，結(jié)果如圖4所示。盡管高斯過程模型由于超參數(shù)選取導(dǎo)致其具有固有的隨機(jī)性，誤差下降并非完全連續(xù)，但仍能觀察到誤差下降呈現(xiàn)先急后緩，逐漸收斂的趨勢。而值得注意的是，本文算法隨著迭代次數(shù)的增加，誤差下降速度更快，并且收斂到一個(gè)更低的水平。該結(jié)果源于高斯過程預(yù)測可以看作線性平滑器［18］，預(yù)測值是訓(xùn)練樣本輸出值的線性組合。由圖3可以看出，在相同迭代次數(shù)下，采用本文算法投入的訓(xùn)練樣本，輸出值更多地分布在單側(cè)尾部，因此該區(qū)域的預(yù)測誤差會(huì)更快下降。而由于高斯過程是一種概率模型，它對于任意給定的輸入，會(huì)輸出一個(gè)概率分布而不是一個(gè)確定的數(shù)值。隨著樣本數(shù)量的增加，模型的不確定性可能會(huì)減小，但不會(huì)完全消失。因此本文算法只能有限度地提高精度。

3.4 算法大量運(yùn)行后誤差的統(tǒng)計(jì)量

為了避免計(jì)算僅僅運(yùn)行一次可能存在的偶然性，本節(jié)需要觀察多次運(yùn)行后計(jì)算誤差的統(tǒng)計(jì)量，結(jié)果如表2所示。本文算法在誤差期望上相較于既有算法降低了30%，這意味著代理模型在右尾上能達(dá)到更高的收斂精度。而且，極低的標(biāo)準(zhǔn)差意味著結(jié)果的穩(wěn)定性好?？傮w來看，相較于既有算法，采用Sigmoid激活函數(shù)的本文算法在滑移量的右尾部分能夠?qū)崿F(xiàn)更為精確的預(yù)測，并且結(jié)果表現(xiàn)穩(wěn)定。

3.5 互補(bǔ)累積分布函數(shù)的迭代

雖然上述結(jié)果表明代理模型的誤差足夠小，但仍然存在一個(gè)疑問，即代理模型是否足夠接近于復(fù)雜結(jié)構(gòu)數(shù)值模型。因此需要驗(yàn)證基于代理模型預(yù)測的結(jié)構(gòu)響應(yīng)量的分布函數(shù)是否與復(fù)雜數(shù)值模型一致。相較于概率密度函數(shù)，本文選擇了互補(bǔ)累積分布函數(shù)［23］（Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF），因?yàn)樗芊从辰Y(jié)構(gòu)響應(yīng)量的右尾部分。將AL?GP算法和本文算法中CCDF函數(shù)的迭代情況進(jìn)行了比較，結(jié)果如圖5所示。

正如3.3和3.4節(jié)所述，相較于AL?GP算法，本文提出的算法訓(xùn)練的代理模型具有更低的不確定性，這在CCDF圖中表現(xiàn)為灰色區(qū)域更為緊湊。同時(shí)，紅色實(shí)線與藍(lán)線高度重合，說明代理模型與真實(shí)復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型得到的隨機(jī)響應(yīng)極為接近，充分驗(yàn)證了代理模型的正確性。這進(jìn)一步證明了本算法在處理復(fù)雜非線性結(jié)構(gòu)模型時(shí)的有效性。

4 結(jié) 論

本研究旨在改善結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析的預(yù)測精度和計(jì)算效率，提高對結(jié)構(gòu)響應(yīng)單側(cè)尾部的關(guān)注。提出了一種基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的高斯過程算法。設(shè)計(jì)了針對單側(cè)尾部的AL?GP算法的流程，包括學(xué)習(xí)函數(shù)和搜索函數(shù)，以便更有效地尋找新增訓(xùn)練樣本，實(shí)現(xiàn)主動(dòng)學(xué)習(xí)的模型優(yōu)化。得到的主要結(jié)論如下：

（1）由于導(dǎo)入本文提出的搜索函數(shù)，本文算法在新增訓(xùn)練樣本的選擇和分布上能夠更好地關(guān)注單側(cè)尾部，更好地?cái)M合復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型的尾部概率分布。誤差迭代結(jié)果顯示本文算法在誤差下降速度和最終收斂水平上表現(xiàn)得更加出色，誤差降低了30%。多次運(yùn)行的誤差統(tǒng)計(jì)量分析也驗(yàn)證了本文算法的優(yōu)勢。

（2）在驗(yàn)證代理模型的準(zhǔn)確性方面，比較了本文算法與復(fù)雜結(jié)構(gòu)數(shù)值模型的CCDF函數(shù)，結(jié)果表明本文提出的代理模型預(yù)測的結(jié)構(gòu)響應(yīng)量的分布函數(shù)與真實(shí)模型非常接近。

本文提出的算法能夠更有效地?cái)M合結(jié)構(gòu)非線性隨機(jī)響應(yīng)的尾部概率分布，有利于更準(zhǔn)確地評估結(jié)構(gòu)響應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］李英民，楊成，賴明.結(jié)構(gòu)非線性地震反應(yīng)分析的改進(jìn)能力?需求曲線方法［J］.世界地震工程，2003，19（4）：28?33.

LI Yingmin， YANG Cheng， LAI Ming. Improved capacity?demand?diagram methods for analysis of structural nonlinear seismic responses［J］. World Earthquake Engineering，2003，19（4）：28?33.

［2］楊成，陳云羿，廖偉龍，等.基于彈塑性限位裝置的基礎(chǔ)隔震建筑地震碰撞行為［J］.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)，2021，42（10）：67?75.

YANG Cheng， CHEN Yunyi， LIAO Weilong， et al. Collision behaviors of base?isolation structures with elastoplastic horizontal displacement stopper［J］. Journal of Building Structures， 2021，42（10）：67?75.

［3］陳喆，何歡，陳國平，等.考慮不確定性因素的有限元模型修正方法研究［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2017，30（6）：921?928.

CHEN Zhe， HE Huan， CHEN Guoping， et al. The research of finite element model updating method considering the uncertainty［J］. Journal of Vibration Engineering， 2017，30（6）：921?928.

［4］任勇生，張玉環(huán)，時(shí)玉艷.考慮不可伸長和材料內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的非線性自由振動(dòng)分析［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2018，31（3）：468?482.

REN Yongsheng， ZHANG Yuhuan， SHI Yuyan. Nonlinear free vibration analysis of an in?extensional rotating composite shaft with material internal damping［J］. Journal of Vibration Engineering， 2018， 31（3）： 468?482.

［5］李杰，陳建兵. 隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析的概率密度演化方法［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2004，17（2）：121?125.

LI Jie， CHEN Jianbing. Probability density evolution method for reliability analysis of stochastic structural［J］. Journal of Vibration Engineering， 2004， 17（2）： 121?125.

［6］蘇成，黃歡，徐瑞，等.大規(guī)模非線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)顯式迭代Monte Carlo模擬法［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2014，27（2）：159?165.

SU Cheng， HUANG Huan， XU Rui， et al. Random vibration analysis of large?scale nonlinear systems by explicit iteration Monte Carlo simulation method［J］. Journal of Vibration Engineering， 2014， 27（2）： 159?165.

［7］張軍紅，韓景龍.含區(qū)間不確定性參數(shù)的機(jī)翼氣動(dòng)彈性優(yōu)化［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2011，24（5）：461?467.

ZHANG Junhong， HAN Jinglong. Aeroelasticity optimization of wing including interval uncertainty parameters［J］. Journal of Vibration Engineering， 2011， 24（5）： 461?467.

［8］高海洋，郭杏林，韓放，等.連續(xù)體結(jié)構(gòu)裂紋識(shí)別的Kriging代理模型求解策略［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2013，26（6）：879?885.

GAO Haiyang， GUO Xinglin， HAN Fang， et al. Strategy of crack identification for continuum structure based on Kriging surrogate model［J］. Journal of Vibration Engineering， 2013， 26（6）： 879?885.

［9］EASON J， CREMASCHI S. Adaptive sequential sampling for surrogate model generation with artificial neural networks［J］. Computers & Chemical Engineering， 2014， 68： 220?232.

［10］PANG G F， YANG L， KARNIADAKIS G E. Neural-net?induced Gaussian process regression for function approximation and PDE solution［J］. Journal of Computational Physics， 2019， 384： 270?288.

［11］KAYMAZ I. Application of kriging method to structural reliability problems［J］. Structural Safety， 2005， 27（2）： 133?151.

［12］BICHON B J， ELDRED M S， SWILER L P， et al. Efficient global reliability analysis for nonlinear implicit performance functions［J］. AIAA Journal， 2008， 46（10）： 2459?2468.

［13］SCH?BI R， SUDRET B， MARELLI S. Rare event estimation using polynomial?chaos kriging［J］. ASCE-ASME Journal of Risk and Uncertainty in Engineering Systems， Part A： Civil Engineering， 2017， 3（2）：D4016002.

［14］ECHARD B， GAYTON N， LEMAIRE M. AK-MCS： an active learning reliability method combining Kriging and Monte Carlo Simulation［J］. Structural Safety， 2011， 33（2）：145?154.

［15］WANG Z Q， BROCCARDO M. A novel active learning-based Gaussian process metamodelling strategy for estimating the full probability distribution in forward UQ analysis［J］. Structural Safety， 2020， 84： 101937.

［16］BRAZAUSKAS V， KLEEFELD A. Modeling severity and measuring tail risk of norwegian fire claims［J］. North American Actuarial Journal，2016， 20（1）：1?16.

［17］孫國華，顧強(qiáng)，方有珍，等.半剛接鋼框架內(nèi)填暗豎縫RC墻結(jié)構(gòu)基于性態(tài)的地震易損性分析［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2016，29（3）：410?419.

SUN Guohua， GU Qiang， FANG Youzhen， et al. Performance?based seismic fragility analysis of partially-restrained steel frame with concealed vertical slit RC infill walls［J］. Journal of Vibration Engineering， 2016， 29（3）： 410?419.

［18］RASMUSSEN C E， WILLIAMS C K I. Gaussian Processes for Machine Learning［M］. Cambridge： The MIT Press， 2005.

［19］汪小兵，王如路，劉建航.上海軟土地層中運(yùn)營地鐵隧道不均勻沉降的治理方法［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，46（1）：26?31.

WANG Xiaobing， WANG Rulu， LIU Jianhang. Disposal method of unequal settlement of metro tunnel in operation in Shanghai soft ground［J］. Journal of Shanghai Jiao Tong University， 2012， 46（1）： 26?31.

［20］鄭永來，韓文星，童琪華，等.軟土地鐵隧道縱向不均勻沉降導(dǎo)致的管片接頭環(huán)縫開裂研究［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2005，24（24）：4552?4558.

ZHENG Yonglai， HAN Wenxing， TONG Qihua， et al. Study on longitudinal crack of shield tunnel segment joint due to asymmetric settlement in soft soil［J］. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2005， 24（24）： 4552?4558.

［21］NOWAK A S， RAKOCZY A M， SZELIGA E K. Revised statistical resistance models for R/C structural components［C］∥Andy Scanlon Symposium on Serviceability and Safety of Concrete Structures： from Research to Practice. American Concrete Institute， 2011.

［22］MIRZA S A， SKRABEK B W. Reliability of short composite beam‐column strength interaction［J］. Journal of Structural Engineering， 1991， 117（8）： 2320?2339.

［23］S?RBU A， BECHET A， B?LAN T， et al. Using CCDF statistics for characterizing the radiated power dynamics in the near field of a mobile phone operating in 3G+ and 4G+communication standards［J］. Measurement， 2019， 134： 874?887.

A surrogate algorithm for the one?sided tail of structural random nonlinear response

YIN Wei?hao1， YANG Hai?ting1， HUANG Yan?wen1， YANG Cheng2， Lü Da?gang3

（1.School of Civil Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China； 2.National Engineering Research Center of Geological Disaster Prevention Technology in Land Transportation， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China； 3.School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

Abstract： In the realm of stochastic nonlinear response analysis for large and intricate structures， the Monte Carlo simulation method stands out as a pivotal approach. However， its widespread practicality is hampered by its exorbitant computational cosJHR0wxztfnXsLPNmehNr4A==ts. To surmount this challenge， researchers have endeavored to develop the active learning?based Gaussian process surrogate model algorithm. Despite its promise in reducing computational expenses， the optimization strategy associated with active learning necessitates further refinement to meet the exacting demands of engineering applications. For this purpose， we introduce a search function endowed with ‘intelligent’ attention capabilities. This function is meticulously crafted to concentrate on exceedingly high?risk one?sided tail events in engineering scenarios. By incorporating this search function， we have engineered an algorithm that surpasses existing methodologies. Our algorithm finds successful application in the analysis of complex adhesive anchoring structures within subway tunnel rings and linings. Compared to conventional methodologies， our algorithm exhibits a remarkable 30% reduction in the estimation error of single?tailed probabilities. This advancement facilitates a more precise estimation of the one?tailed probability distribution governing the stochastic response of complex structures. Consequently， it enhances the precision of assessing the occurrence probability of extreme events. These findings yield invaluable insights for decision?making processes in pertinent engineering domains and insurance sectors.

Key words： random vibration； nonlinear response；Gaussian process surrogate model；active learning；tail probability

作者簡介： 尹煒浩（1999―），男，碩士研究生。E?mail： 1134343712@qq.com。

通訊作者： 楊 成（1977―），男，博士，副教授。E?mail： yangcheng@swjtu.edu.cn。