摘要： 本文將電磁軸承?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在彈性支撐的基礎(chǔ)上，研究了雙半正弦波、半正弦波、正弦波、三角波和雙三角波5種沖擊激勵(lì)下彈性支撐基礎(chǔ)的振動(dòng)特性，得到了不同沖擊激勵(lì)參數(shù)對(duì)彈性支撐基礎(chǔ)的加速度的影響規(guī)律。為了抑制基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)條件下彈性支撐的電磁軸承?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)，提出了一種基于基礎(chǔ)加速度的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)補(bǔ)償控制策略。在設(shè)計(jì)的電磁軸承?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)平臺(tái)上，進(jìn)行了多種沖擊激勵(lì)條件下彈性支撐基礎(chǔ)的振動(dòng)特性試驗(yàn)，以及安裝在彈性支撐基礎(chǔ)上的電磁軸承?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)抑制試驗(yàn)。結(jié)果表明：沖擊激勵(lì)下，彈性支撐基礎(chǔ)的加速度和電磁軸承?柔性轉(zhuǎn)子振動(dòng)均表現(xiàn)出明顯的沖擊特征，振動(dòng)的特性隨著沖擊激勵(lì)形式的不同而變化?；诨A(chǔ)加速度的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)補(bǔ)償控制策略能夠有效地抑制基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響。

關(guān)鍵詞： 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)； 電磁軸承； 振動(dòng)抑制； 基礎(chǔ)沖擊； 前饋補(bǔ)償

中圖分類號(hào)： O347.6； TH133.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）09-1513-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.09.008

引 言

電磁軸承（Active Magnetic Bearings， AMBs）是一種新型的轉(zhuǎn)子支承，除了支撐轉(zhuǎn)子外，作為一種特性可控的執(zhí)行器，還能夠?qū)D(zhuǎn)子在不同激勵(lì)條件下的振動(dòng)進(jìn)行有效的控制。

目前對(duì)AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)主動(dòng)控制的研究主要是針對(duì)穩(wěn)定的激勵(lì)狀態(tài)，如同步不平衡激勵(lì)、多頻激勵(lì)等。但隨著AMBs的普及性應(yīng)用，支撐在AMBs上的一些旋轉(zhuǎn)機(jī)械在工作過(guò)程中可能會(huì)受到周?chē)h(huán)境的影響，如沖擊、地震等，從而影響到系統(tǒng)的可靠性。沖擊是一種劇烈變化的瞬態(tài)激勵(lì)，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)瞬間增大［1?2］。由于AMBs能夠給轉(zhuǎn)子提供的剛度較小，因此受到?jīng)_擊后，轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與備用軸承之間發(fā)生碰撞，危害轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全。為了保證AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在沖擊環(huán)境下仍然具有良好的特性，有必要對(duì)沖擊激勵(lì)作用下AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性開(kāi)展研究，以便事先采取必要的措施。

轉(zhuǎn)子受到的基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)可分為兩類，一類是基礎(chǔ)與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體做沖擊運(yùn)動(dòng)，從而使轉(zhuǎn)子承受慣性沖擊激勵(lì)，如地震造成的沖擊或在振動(dòng)臺(tái)上進(jìn)行的基礎(chǔ)沖擊試驗(yàn)［3］。這類基礎(chǔ)沖擊通常無(wú)法精確獲得沖擊激勵(lì)力，也無(wú)法獲得基礎(chǔ)的力學(xué)模型，所以只能將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承受的沖擊激勵(lì)用基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)來(lái)描述。另一類是基礎(chǔ)受到?jīng)_擊作用后產(chǎn)生沖擊響應(yīng)，基礎(chǔ)的沖擊響應(yīng)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承受額外的載荷，如爆炸對(duì)艦船的沖擊。第一類基礎(chǔ)沖擊是基于基礎(chǔ)響應(yīng)已知的情況，第二類基礎(chǔ)沖擊是基于基礎(chǔ)所受載荷已知而響應(yīng)未知的情況，因此，第一類基礎(chǔ)沖擊可以看作是第二類基礎(chǔ)沖擊的簡(jiǎn)化。

實(shí)際工程中的沖擊激勵(lì)是十分復(fù)雜的，為了進(jìn)行理論分析，通常都會(huì)對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化。如海軍設(shè)備抗沖擊標(biāo)準(zhǔn)［4］主要將沖擊激勵(lì)簡(jiǎn)化為雙半正弦波、半正弦波、正弦波、三角波和雙三角波等。其中，半正弦波和雙三角波最常用。LEE等［5］將滾動(dòng)軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固定在振動(dòng)臺(tái)上，研究了半正弦沖擊激勵(lì)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)。之后，LEE等［6］又建立了基礎(chǔ)?軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了基礎(chǔ)半正弦沖擊下轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的瞬態(tài)振動(dòng)。WANG等［7］和賀少華等［8］將爆炸對(duì)艦船的沖擊激勵(lì)簡(jiǎn)化為雙三角波，分別研究了艦船抗沖擊性能的優(yōu)化以及沖擊激勵(lì)下艦船的響應(yīng)。

針對(duì)基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究，目前大多集中于基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子響應(yīng)的影響，研究對(duì)象主要為機(jī)械軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)［9?11］。對(duì)于基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)條件下AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究還相對(duì)較少。ZHU［12］對(duì)AMBs?剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在基礎(chǔ)錘擊激勵(lì)下的性能進(jìn)行了測(cè)試，發(fā)現(xiàn)一般控制器的抗沖擊能力非常有限，大的基礎(chǔ)沖擊會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與定子之間發(fā)生碰摩。SU等［13］建立了AMBs?保護(hù)軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，研究了梯形波、三角波等沖擊激勵(lì)作用下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與保護(hù)軸承間的非線性行為。鮮有關(guān)于基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)如何影響彈性支撐的AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性以及如何有效抑制基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)的影響的報(bào)道。

本文將AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在彈性支撐的基礎(chǔ)上，首先建立了沖擊激勵(lì)條件下彈性支撐的AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。然后，對(duì)比分析了雙半正弦波、半正弦波、正弦波、三角波和雙三角波沖擊激勵(lì)下彈性支撐基礎(chǔ)的加速度響應(yīng)，研究了沖擊幅值和持續(xù)時(shí)間等參數(shù)對(duì)基礎(chǔ)加速度響應(yīng)的影響。針對(duì)基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)條件下傳統(tǒng)PID控制對(duì)AMBs?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)抑制能力有限的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種基于基礎(chǔ)加速度的瞬態(tài)振動(dòng)補(bǔ)償控制策略。最后，在搭建的彈性支撐的AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)平臺(tái)上，進(jìn)行了多種沖擊激勵(lì)條件下彈性支撐基礎(chǔ)的振動(dòng)特性試驗(yàn)，以及AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)抑制試驗(yàn)，對(duì)理論分析的正確性以及所提控制策略的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)條件下彈性支撐的AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

圖1為基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)條件下彈性支撐的AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型。多盤(pán)柔性轉(zhuǎn)子由兩端的電磁軸承AMB?A和AMB?B支承在基礎(chǔ)上，基礎(chǔ)由4個(gè)彈簧?阻尼支點(diǎn)支承在地面上，基礎(chǔ)下方與激振器傳力桿固連，以對(duì)基礎(chǔ)施加沖擊激勵(lì)。

假設(shè)基礎(chǔ)為剛體，為了便于描述轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)，使用了3套坐標(biāo)系。其中：

（1）坐標(biāo)系為相對(duì)于地面靜止的空間參考坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱空間參照系，空間參照系是一個(gè)廣義的參照系，原點(diǎn)可位于空間的任意一點(diǎn)。

（2）坐標(biāo)系為固連于運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)的坐標(biāo)系，隨著基礎(chǔ)一同運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱基礎(chǔ)坐標(biāo)系。坐標(biāo)系原點(diǎn)位置與轉(zhuǎn)子靜態(tài)懸浮時(shí)，AMB?A端的轉(zhuǎn)子截面軸心重合?？v軸沿轉(zhuǎn)子軸線方向由AMB?A指向AMB?B，立軸垂直基礎(chǔ)底面向上，橫軸方向符合右手定則。

（3）坐標(biāo)系為沿轉(zhuǎn)子軸線任意截面的局部固定坐標(biāo)系，坐標(biāo)系原點(diǎn)為所在截面軸心，各坐標(biāo)軸與坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸平行。轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，坐標(biāo)系隨所在轉(zhuǎn)子截面軸心平動(dòng)，但不隨轉(zhuǎn)子所在截面轉(zhuǎn)動(dòng)。在用有限元對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行離散化建模時(shí)，每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)所在截面都有一個(gè)局部固定坐標(biāo)系，因此坐標(biāo)系代表了一組坐標(biāo)系。

在空間參照系中，基礎(chǔ)在激振器產(chǎn)生的沖擊激勵(lì)作用下帶動(dòng)轉(zhuǎn)子進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承受額外的載荷，從而對(duì)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)產(chǎn)生影響?；A(chǔ)在各個(gè)時(shí)刻的姿態(tài)、空間位置以及位移，在空間參照系中描述；使用原點(diǎn)位置的速度和加速度代表各個(gè)時(shí)刻基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)信息，運(yùn)動(dòng)信息在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中描述，轉(zhuǎn)子基礎(chǔ)沿，及的平動(dòng)速度為，和，轉(zhuǎn)動(dòng)速度為，和。忽略轉(zhuǎn)子各個(gè)位置相對(duì)于基礎(chǔ)的軸向運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子各截面軸心相對(duì)于基礎(chǔ)的徑向平動(dòng)位移和速度在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中描述；轉(zhuǎn)子各截面軸心相對(duì)于基礎(chǔ)的徑向轉(zhuǎn)動(dòng)位移和速度在局部坐標(biāo)系中描述。

本文將基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)條件下彈性支撐的AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的建模分為兩部分，一部分是基礎(chǔ)激勵(lì)條件下AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模，另一部分是沖擊激勵(lì)作用下彈性支撐基礎(chǔ)的動(dòng)力學(xué)建模。

1.1 基礎(chǔ)激勵(lì)條件下AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模

采用有限元法將轉(zhuǎn)子離散為N個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含4個(gè)自由度。轉(zhuǎn)子軸段采用考慮截面慣性及剪切效應(yīng)的Timoshenko梁?jiǎn)卧M(jìn)行建模，圓盤(pán)采用具有等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的剛性圓盤(pán)單元建模，在AMBs位置節(jié)點(diǎn)處用對(duì)應(yīng)的廣義力來(lái)等效AMBs對(duì)轉(zhuǎn)子的作用。

利用Lagrange方程建立基礎(chǔ)激勵(lì)條件下AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為［14］：

（1）

式中 ，，分別為4N×4N維質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣；為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；和分別為基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)引起的4N×4N維附加阻尼矩陣和附加剛度矩陣；為4N×1維電磁力向量；為4N×1維不平衡力向量；為4N×1維基礎(chǔ)激勵(lì)載荷向量；為4N×1維重力載荷向量；為柔性轉(zhuǎn)子4N×1維廣義位移向量。

AMBs采用差動(dòng)模式，線性化后AMBs的電磁力向量為：

（2）

式中 及分別為AMBs的電流?剛度及位移?剛度系數(shù)矩陣；為AMBs的控制電流向量；為克服轉(zhuǎn)子重力影響的電流；轉(zhuǎn)子在重力和的作用下保持靜態(tài)懸浮，因此在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)研究中通常不考慮重力及電磁力分量的影響，此時(shí)式（1）變?yōu)椋?/p>

（3）

對(duì)于圖1所示的AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，假設(shè)AMBs分別在第a個(gè)節(jié)點(diǎn)和第b個(gè)節(jié)點(diǎn)處，設(shè)和分別為AMB?A和AMB?B的位移?剛度系數(shù)，則矩陣為：

（4a）

式中 位置在矩陣的第4a-3行、第4a-2行，位置在第4b-3行、第4b-2行對(duì)角線處，其余元素均為0。

同理，令和分別為AMB?A和AMB?B的電流?剛度系數(shù)，則矩陣為：

（4b）

其中，省略號(hào)處元素均為0。

對(duì)應(yīng)的控制電流向量為：

（4c）

式中 表示AMB?n軸承的m自由度對(duì)應(yīng)的控制電流。

式（3）中基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)引起的轉(zhuǎn)子附加矩陣以及激勵(lì)載荷向量可表示為［14］：

（5a）

（5b）

（5c）

式中 及（）為與轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)相關(guān)的4N×4N維矩陣； （）為與轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)相關(guān)的4N×1維向量，具體形式可見(jiàn)參考文獻(xiàn)［9，14］。

1.2 沖擊激勵(lì)作用下彈性支撐基礎(chǔ)的動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)基礎(chǔ)的沖擊是在基礎(chǔ)沿軸線的平動(dòng)自由度方向，則根據(jù)圖1，基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

（6）

式中 為基礎(chǔ)的總質(zhì)量；（）和（）為基礎(chǔ)左端（右端）彈性支撐的剛度和阻尼系數(shù)；/為轉(zhuǎn)子在AMB?A/?B位置沿方向相對(duì)于基礎(chǔ)的位移，為式（3）中向量的對(duì)應(yīng)AMBs自由度的元素；為基礎(chǔ)受到的沖擊激勵(lì)力。

如果基礎(chǔ)只有沿軸線的平動(dòng)自由度方向的運(yùn)動(dòng)，則基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的加速度為，即有，沿的沖擊載荷作用下，式（5）可簡(jiǎn)化為：

（7）

聯(lián)立式（3）～（6），即為彈性支撐的AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

式（3）和（6）中均含有AMBs的控制力項(xiàng)，表明了轉(zhuǎn)子與基礎(chǔ)之間通過(guò)AMBs相互影響。

2 沖擊激勵(lì)條件下彈性支撐基礎(chǔ)的瞬態(tài)振動(dòng)加速度特性

沖擊激勵(lì)作用于圖1所示系統(tǒng)時(shí)，彈性支撐基礎(chǔ)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)加速度。假設(shè)AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于穩(wěn)定懸浮狀態(tài)，AMBs采用PID控制，轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［15］，其中轉(zhuǎn)子質(zhì)量為17 kg，基礎(chǔ)及控制參數(shù)如表1所示。

2.1 沖擊激勵(lì)類型對(duì)彈性支撐基礎(chǔ)瞬態(tài)加速度的影響

圖2為常見(jiàn)的基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)的類型，包括半正弦波、三角波、雙半正弦波、正弦波以及雙三角波。為了保證激勵(lì)的幅值相同，令半正弦波、雙半正弦波和三角波的峰值與正弦波、雙三角波的峰峰值相等，均為Ae；為了保證激勵(lì)的周期相同，令各個(gè)波的持續(xù)時(shí)間相同。

圖3為轉(zhuǎn)子靜態(tài)穩(wěn)定懸浮時(shí)，不同形式?jīng)_擊激勵(lì)作用下彈性支撐基礎(chǔ)的瞬態(tài)加速度時(shí)間歷程。

由圖3可見(jiàn)，半正弦波、正弦波、三角波和雙三角波沖擊激勵(lì)作用下，基礎(chǔ)的加速度響應(yīng)突然增大，然后振蕩衰減，呈現(xiàn)明顯的沖擊特征。其中，半正弦波和正弦波引起的沖擊響應(yīng)大于三角波和雙三角波激勵(lì)下的響應(yīng)，表明同等幅值和持續(xù)時(shí)間的半正弦波/正弦波對(duì)基礎(chǔ)的影響更大。正弦波（雙三角波）比半正弦波（三角波）多了一個(gè)反向加載的過(guò)程，但彈性支撐基礎(chǔ)的加速度響應(yīng)并無(wú)顯著差別，正弦波（雙三角波）沖擊下的基礎(chǔ)加速度響應(yīng)僅僅略大于半正弦波（三角波）激勵(lì)下的基礎(chǔ)加速度響應(yīng)。根據(jù)圖3（b），隨著時(shí)間的推移，半正弦波、正弦波、三角波和雙三角波沖擊激勵(lì)作用下彈性支撐基礎(chǔ)的加速度幅值基本一致，表明系統(tǒng)的鎮(zhèn)定時(shí)間基本相同。

雙半正弦波沖擊激勵(lì)下，彈性支撐基礎(chǔ)瞬間響應(yīng)一個(gè)正向脈沖加速度和一個(gè)反向脈沖加速度，之后響應(yīng)瞬間減小，接著緩慢振蕩衰減。與同等幅值和持續(xù)時(shí)間的其他沖擊載荷相比，雙半正弦波沖擊激勵(lì)使彈性支撐基礎(chǔ)的加速度幅值整體更小，但變化更劇烈。

2.2 沖擊激勵(lì)持續(xù)時(shí)間對(duì)彈性支撐基礎(chǔ)瞬態(tài)加速度的影響

沖擊激勵(lì)的持續(xù)時(shí)間是一個(gè)重要的參數(shù)，決定了各個(gè)響應(yīng)波形的周期以及激勵(lì)對(duì)彈性支撐基礎(chǔ)的作用時(shí)間。由2.1節(jié)可知半正弦波和正弦波沖擊對(duì)彈性支撐基礎(chǔ)的影響最大，而半正弦波是最常見(jiàn)的沖擊載荷類型，因此本節(jié)利用半正弦波沖擊激勵(lì)分析沖擊持續(xù)時(shí)間對(duì)彈性支撐基礎(chǔ)加速度的影響。

由表1的數(shù)據(jù)可以確定出彈性支撐集成的平動(dòng)固有頻率為f0=4.7 Hz，分別令半正弦波的持續(xù)時(shí)間換算為×0.3f0，×0.5f0，×1f0，×2f0，×3f0，得到彈性支撐基礎(chǔ)的沖擊加速度包絡(luò)線如圖4所示?？梢?jiàn)，當(dāng)沖擊載荷持續(xù)時(shí)間（頻率）越接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，彈性支撐基礎(chǔ)的沖擊加速度幅值越大。隨著時(shí)間的推移，各工況下彈性支撐基礎(chǔ)的沖擊加速度幾乎同時(shí)衰減到0。

2.3 沖擊激勵(lì)幅值對(duì)彈性支撐基礎(chǔ)瞬態(tài)加速度的影響

為了研究沖擊激勵(lì)幅值對(duì)彈性支撐基礎(chǔ)振動(dòng)的影響，針對(duì)半正弦沖擊載荷，得到不同沖擊載荷幅值條件下彈性支撐基礎(chǔ)的沖擊加速度包絡(luò)線如圖5所示。可見(jiàn)，基礎(chǔ)沖擊加速度的峰值隨沖擊激勵(lì)幅值的增加呈線性增加，且各激勵(lì)幅值下加速度的包絡(luò)線形狀相近。

2.4 轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)對(duì)彈性支撐基礎(chǔ)瞬態(tài)加速度的影響

為了分析轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)對(duì)彈性支撐系統(tǒng)的影響，圖6給出了0～6000 r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)彈性支撐基礎(chǔ)的加速度變化。其中盤(pán)A/盤(pán)B的基準(zhǔn)不平衡量為同相1 g·cm/5 g·cm，計(jì)算中的不平衡量分別為基準(zhǔn)不平衡量（me）的1，5和10倍。圖7為不同基礎(chǔ)支承和不同不平衡量條件下，轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的振動(dòng)響應(yīng)曲線。

由圖6和7可得，轉(zhuǎn)子不平衡對(duì)彈性支撐系統(tǒng)振動(dòng)的影響隨著不平衡量的增大而線性增大，且在轉(zhuǎn)子平動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速和一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速位置影響顯著。當(dāng)不平衡量為5倍基準(zhǔn)不平衡量時(shí)，彈性支撐基礎(chǔ)的加速度最大僅為0.3 m/s2，因此當(dāng)轉(zhuǎn)子平衡精度較高時(shí)，可以忽略轉(zhuǎn)子不平衡對(duì)彈性支撐基礎(chǔ)的影響。

轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的振動(dòng)幅值隨不平衡量的增大而線性增大。與基礎(chǔ)固定狀態(tài)相比，基礎(chǔ)彈簧支承狀態(tài)下轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的振動(dòng)在臨界轉(zhuǎn)速附近，尤其是一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近略有下降，但振動(dòng)幅值在整體上仍然和基礎(chǔ)固定狀態(tài)下相當(dāng)，說(shuō)明基礎(chǔ)的支承狀態(tài)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)影響較小。

3 基于基礎(chǔ)加速度的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)補(bǔ)償控制

沖擊激勵(lì)作用下，基礎(chǔ)帶動(dòng)AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生瞬時(shí)的加速度，使AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相對(duì)于基礎(chǔ)的振動(dòng)瞬間增大［1］，可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與備用軸承之間出現(xiàn)碰撞，不利于轉(zhuǎn)子的安全運(yùn)行。為了減小沖擊激勵(lì)對(duì)AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)的影響，控制器必須對(duì)這種瞬態(tài)振動(dòng)有足夠快的反應(yīng)和有效的控制?；诖耍竟?jié)設(shè)計(jì)了一種基于基礎(chǔ)加速度的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)前饋補(bǔ)償控制器。

3.1 基于基礎(chǔ)加速度的瞬態(tài)振動(dòng)前饋補(bǔ)償控制算法

控制器，如最常見(jiàn)的PID控制器，通常是基于反饋原理來(lái)對(duì)AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特性進(jìn)行調(diào)節(jié)，即擾動(dòng)對(duì)被控對(duì)象已經(jīng)造成了影響，控制器基于這些影響進(jìn)行調(diào)節(jié)。反饋控制器從原理上決定了擾動(dòng)必須對(duì)被控對(duì)象產(chǎn)生一定的影響，因此，對(duì)于這種突變擾動(dòng)的抑制能力有限。如若能在線獲知擾動(dòng)的信息，在擾動(dòng)作用于轉(zhuǎn)子的同時(shí)，對(duì)轉(zhuǎn)子施加一個(gè)AMBs控制力，則能夠大大降低擾動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子的影響。

基于上述原理，提出如圖8所示的基于基礎(chǔ)加速度前饋補(bǔ)償?shù)腁MBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)控制策略。主要由兩部分組成：一部分是基于轉(zhuǎn)子位移的主控制器反饋回路，主要用于保持轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定，并對(duì)擾動(dòng)的影響具有一定的反饋調(diào)節(jié)作用；另一部分是前饋通路，主要用于提前獲知基礎(chǔ)的沖擊擾動(dòng)，并產(chǎn)生補(bǔ)償電流對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。

利用加速度傳感器可獲得基礎(chǔ)沿方向的加速度。將基礎(chǔ)加速度和結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式（7），即可得到?jīng)_擊載荷下轉(zhuǎn)子受到的附加載荷向量。

由式（3）可得，s時(shí)刻由基礎(chǔ)激勵(lì)載荷引起的轉(zhuǎn)子響應(yīng)為：

（8）

式中 為虛數(shù)單位；；為振動(dòng)角頻率。

假設(shè)s時(shí)刻，前饋補(bǔ)償算法得到的4×1維電流向量為，則前饋補(bǔ)償電磁力為：

（9）

相應(yīng)的前饋補(bǔ)償電磁力造成的轉(zhuǎn)子響應(yīng)為：

（10）

定義：

（11）

實(shí)際工程中，轉(zhuǎn)子承受的基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)激勵(lì)載荷通常為低頻載荷［16］。進(jìn)而，式（11）可簡(jiǎn)化為：

（12）

經(jīng)前饋補(bǔ)償，基礎(chǔ)激勵(lì)載荷造成的轉(zhuǎn)子殘余響應(yīng)為：

（13）

如果關(guān)注的響應(yīng)并不是整個(gè)轉(zhuǎn)子，而是轉(zhuǎn)子上容易發(fā)生碰磨的位置，如圓盤(pán)、AMBs位置等，則：

（14）

式中 為所關(guān)注響應(yīng)位置的自由度（以下稱目標(biāo)節(jié)點(diǎn)自由度）的選擇矩陣。

為表征前饋補(bǔ)償控制對(duì)基礎(chǔ)激勵(lì)條件下目標(biāo)節(jié)點(diǎn)自由度響應(yīng)的補(bǔ)償程度，選擇目標(biāo)函數(shù)為：

（15）

式中 “*”表示矩陣或向量的共軛轉(zhuǎn)置。

令目標(biāo)函數(shù)J對(duì)前饋補(bǔ)償電流的導(dǎo)數(shù)為0，得到極值條件為：

（16）

求解得：

（17）

其中，，由于矩陣不一定可逆，此處用偽逆來(lái)近似求解。式（17）即為基于基礎(chǔ)加速度的前饋補(bǔ)償電流的數(shù)學(xué)模型。

又由于：

（18）

因此式（17）是取得極小值的解。

3.2 補(bǔ)償電流誤差的修正

由式（17）可知，前饋補(bǔ)償電流的求解不僅與基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)相關(guān)，還與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型有關(guān)。實(shí)際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，由于加工、裝配及測(cè)試誤差等原因，可能與理論模型之間存在誤差，這就導(dǎo)致理論模型求解的前饋補(bǔ)償電流與實(shí)際的最佳補(bǔ)償電流之間存在誤差，進(jìn)而影響補(bǔ)償效果。為了解決該問(wèn)題，引入修正系數(shù)矩陣，令：

（19）

式中 ，為AMBs的數(shù)目。對(duì)于第個(gè)AMB，和分別對(duì)應(yīng)和方向的補(bǔ)償電流修正系數(shù)。

試驗(yàn)中調(diào)節(jié)修正系數(shù)矩陣的步驟為：

（a）在轉(zhuǎn)子懸浮或低轉(zhuǎn)速條件下，針對(duì)各個(gè)電流通道，給定修正系數(shù)初值為1。給基礎(chǔ)施加恒定的正弦激勵(lì)，獲得正弦激勵(lì)下的轉(zhuǎn)子響應(yīng)。

（b）試探性改變修正系數(shù)，得到此時(shí)正弦激勵(lì)下轉(zhuǎn)子的響應(yīng)，并與前一修正系數(shù)下的結(jié)果對(duì)比。若響應(yīng)幅值減小則繼續(xù)沿該方向調(diào)節(jié)修正系數(shù)，否則反向調(diào)節(jié)。重復(fù)該步驟直至基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)下轉(zhuǎn)子響應(yīng)達(dá)到最小。

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證沖擊激勵(lì)下彈性支撐基礎(chǔ)的加速度特性，以及基于基礎(chǔ)加速度的瞬態(tài)振動(dòng)前饋補(bǔ)償算法的有效性，在圖9所示的試驗(yàn)平臺(tái)上，進(jìn)行了沖擊激勵(lì)條件下彈性支撐基礎(chǔ)的振動(dòng)特性試驗(yàn)及轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動(dòng)控制試驗(yàn)。

剛性基礎(chǔ)平板由4個(gè)彈簧懸掛在鋁合金框架上，使整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)彈性支撐狀態(tài)。AMBs及驅(qū)動(dòng)電機(jī)等都固定在剛性基礎(chǔ)平板上。彈性支撐的基礎(chǔ)平板和AMBs轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共同組成彈性支撐系統(tǒng)。試驗(yàn)平臺(tái)的基礎(chǔ)參數(shù)如表1所示，轉(zhuǎn)子參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［15］。轉(zhuǎn)子由電機(jī)拖動(dòng)，電機(jī)與轉(zhuǎn)子之間用柔性連軸器連接，電機(jī)的轉(zhuǎn)速通過(guò)變頻器進(jìn)行控制。剛性基礎(chǔ)平板下方固定有激振器，通過(guò)傳力桿與基礎(chǔ)平板固連，以實(shí)現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)的激振。激振器的驅(qū)動(dòng)電流由獨(dú)立的功率放大器提供，通過(guò)調(diào)節(jié)激振器功放的增益，來(lái)改變激振器的輸出幅值，驅(qū)動(dòng)信號(hào)由信號(hào)發(fā)生器輸入到功率放大器。

在2個(gè)軸承座位置的基礎(chǔ)平板上，分別安裝了兩個(gè)ICP型加速度傳感器來(lái)采集基礎(chǔ)的加速度。在軸承座側(cè)面端蓋上安裝有電渦流傳感器，用來(lái)測(cè)量AMBs處轉(zhuǎn)子的位移。由于電渦流傳感器非常靠近AMBs，可近似等效為同位系統(tǒng)。試驗(yàn)中采用dSPACE （DS1103）作為控制器，采集的基礎(chǔ)加速度和轉(zhuǎn)子位移實(shí)時(shí)地傳輸?shù)絛SPACE，以實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的主動(dòng)控制。

將彈性支撐的基礎(chǔ)以及基礎(chǔ)上的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)合稱為彈性支撐系統(tǒng)，對(duì)整個(gè)彈性支撐系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)測(cè)試，圖10（a）為得到的基礎(chǔ)沿豎直方向的剛體平動(dòng)振型，對(duì)應(yīng)的頻率為5 Hz。由于激振器輸出功率有限，根據(jù)2.2節(jié)的分析結(jié)果可知，只需要令圖2中各脈沖的持續(xù)時(shí)間均為0.2 s，就能夠激發(fā)彈性支撐基礎(chǔ)純剛體平動(dòng)模態(tài)的振動(dòng)。圖10（b）為半正弦沖擊下，底板2個(gè)軸承座附近的基礎(chǔ)加速度的時(shí)間歷程，可見(jiàn)2個(gè)軸承座附近的基礎(chǔ)加速度幾乎一樣，此時(shí)基礎(chǔ)呈現(xiàn)出顯著的平動(dòng)沖擊特征。

4.1 沖擊激勵(lì)下基礎(chǔ)的瞬態(tài)加速度特性

調(diào)節(jié)激振器的功放增益至×1，×1.5，×2三擋，分別對(duì)應(yīng)激振器的不同輸出，得到圖2中各沖擊載荷下基礎(chǔ)的加速度響應(yīng)時(shí)間歷程如圖11所示，其峰值用對(duì)應(yīng)的虛線來(lái)表示。

結(jié)果表明，沖擊激勵(lì)條件下基礎(chǔ)的加速度響應(yīng)與圖3類似，即：雙半正弦沖擊下基礎(chǔ)產(chǎn)生一個(gè)明顯的正向脈沖和反向脈沖后，逐漸振蕩衰減至0；半正弦、正弦、三角以及雙三角沖擊下，基礎(chǔ)的加速度突然增大然后振蕩衰減。在相同的激勵(lì)幅值和持續(xù)時(shí)間下，（半）正弦波激起的基礎(chǔ)加速度峰值比雙三角波激起的更大。

沖擊激勵(lì)的幅值越大，基礎(chǔ)瞬態(tài)加速度的峰值越大，但不同幅值的沖擊激勵(lì)下，基礎(chǔ)瞬態(tài)加速度響應(yīng)的衰減時(shí)間基本相同。

4.2 沖擊激勵(lì)下AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在靜態(tài)懸浮時(shí)的瞬態(tài)振動(dòng)特性

圖12給出了AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于靜態(tài)懸浮狀態(tài)時(shí)，在圖11（a）的雙半正弦基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)下，前饋補(bǔ)償前后轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程。圖12中標(biāo)題×L/P表示功放增益為×L擋時(shí)轉(zhuǎn)子上P位置的響應(yīng)。

前饋補(bǔ)償前，基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)下轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)響應(yīng)有一個(gè)明顯正向脈沖和反向脈沖，與基礎(chǔ)的加速度沖擊響應(yīng)一致。整個(gè)轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的瞬態(tài)振動(dòng)隨著沖擊激勵(lì)幅值的增大而增大，且基本呈線性變化。轉(zhuǎn)子AMB?A端由于聯(lián)軸器與電機(jī)相連，在聯(lián)軸器的約束下該端的振動(dòng)較AMB?B端的振動(dòng)小。前饋補(bǔ)償后，基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)下轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)響應(yīng)被大幅抑制，且AMBs位置的抑制效果要優(yōu)于盤(pán)位置。

圖13為在圖11中半正弦、正弦、三角、雙三角沖擊激勵(lì)的作用下，AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相對(duì)于基礎(chǔ)的瞬態(tài)振動(dòng)時(shí)間歷程。為了節(jié)約篇幅，圖中僅給出基礎(chǔ)受到2倍幅值沖擊激勵(lì)條件下，AMB?B位置處轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動(dòng)時(shí)間歷程，其余位置的結(jié)果與之類似。

結(jié)果表明，在半正弦、正弦、三角、雙三角沖擊激勵(lì)條件下，轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的瞬態(tài)振動(dòng)均呈現(xiàn)突然增大，然后振蕩衰減的特征，且與基礎(chǔ)的加速度沖擊響應(yīng)具有一致性。同等幅值的沖擊載荷下，（半）正弦沖擊對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響較（雙）三角沖擊更加明顯。前饋補(bǔ)償后，沖擊激勵(lì)對(duì)AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)的影響被大幅抑制，轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動(dòng)時(shí)間歷程不再有明顯的沖擊特征。

4.3 沖擊激勵(lì)下AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在恒速運(yùn)行時(shí)的瞬態(tài)振動(dòng)特性

試驗(yàn)轉(zhuǎn)子的一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速為4850 r/min左右，為了分析沖擊激勵(lì)對(duì)剛性轉(zhuǎn)速區(qū)及柔性轉(zhuǎn)速區(qū)轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動(dòng)的影響，分別在轉(zhuǎn)子處于3000 r/min和6000 r/min時(shí)，進(jìn)行了基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)試驗(yàn)，沖擊激勵(lì)如圖11所示，得到的試驗(yàn)結(jié)果如圖14和15所示。根據(jù)圖13，半正弦、正弦、三角、雙三角沖擊激勵(lì)作用下，AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)相似，為節(jié)約篇幅，圖14和15僅給出2倍幅值的雙半正弦和半正弦沖擊激勵(lì)條件下轉(zhuǎn)子AMBs位置的響應(yīng)。

基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)條件下，恒速運(yùn)行時(shí)轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的振動(dòng)是不平衡振動(dòng)和沖擊振動(dòng)的疊加。在剛性轉(zhuǎn)速區(qū)和柔性轉(zhuǎn)速區(qū)，基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動(dòng)的影響規(guī)律相同，且與圖11中的基礎(chǔ)加速度響應(yīng)具有一致性。前饋補(bǔ)償前，雙半正弦沖擊使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生一個(gè)正向和反向脈沖，然后迅速衰減至與不平衡響應(yīng)相當(dāng)?shù)姆怠Ｅc靜態(tài)懸浮狀態(tài)相比，轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動(dòng)衰減的過(guò)程相對(duì)不明顯。半正弦沖擊使轉(zhuǎn)子響應(yīng)瞬間增大，然后振蕩衰減。前饋補(bǔ)償后，基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)下的轉(zhuǎn)子響應(yīng)幾乎沒(méi)有明顯變化，說(shuō)明了所設(shè)計(jì)的前饋補(bǔ)償算法能夠?qū)愣ㄞD(zhuǎn)速工況下轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動(dòng)進(jìn)行有效的抑制。

5 結(jié) 論

本文分析了半正弦波、三角波、雙半正弦波、正弦波以及雙三角波沖擊激勵(lì)條件下，彈性支撐基礎(chǔ)以及彈性支撐的AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性。為了抑制基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)對(duì)AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)的影響，設(shè)計(jì)了一種基于基礎(chǔ)加速度的瞬態(tài)振動(dòng)前饋補(bǔ)策略法。通過(guò)仿真和試驗(yàn)，得到了如下結(jié)論：

（1）沖擊激勵(lì)下，彈性支撐基礎(chǔ)的加速度瞬間增大，表現(xiàn)出顯著的沖擊特征。雙半正弦波使彈性支撐基礎(chǔ)的加速度瞬間產(chǎn)生一個(gè)正向和反向脈沖，然后振蕩衰減；（半）正弦和（雙）三角沖擊使彈性支撐基礎(chǔ)的加速度瞬間增大，然后振蕩衰減，且同等沖擊幅值的情況下，（半）正弦沖擊對(duì)基礎(chǔ)瞬態(tài)加速度的影響較（雙）三角沖擊更大。

（2）將彈性支撐基礎(chǔ)和固定在基礎(chǔ)上的AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)看作彈性支撐系統(tǒng)，基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)的持續(xù)時(shí)間越接近彈性支撐系統(tǒng)的固有周期，則沖擊激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)的影響越大。

（3）沖擊激勵(lì)條件下，AMBs?柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)與基礎(chǔ)的瞬態(tài)加速度具有一致性，呈現(xiàn)出明顯的沖擊特征，且瞬態(tài)振動(dòng)的幅值隨沖擊激勵(lì)幅值的增大而增大。

（4）無(wú)論在轉(zhuǎn)子靜態(tài)懸浮狀態(tài)還是恒速運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)，應(yīng)用基于基礎(chǔ)加速度的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)前饋補(bǔ)償策略后，轉(zhuǎn)子相對(duì)于基礎(chǔ)的瞬態(tài)振動(dòng)幾乎不再受基礎(chǔ)沖擊激勵(lì)的影響，轉(zhuǎn)子響應(yīng)的沖擊特征得到了有效的抑制，驗(yàn)證了本文所提算法的有效性。

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Vibration characteristics and active control strategy of an active magnetic bearing?flexible rotor system with elastic support under impact load

ZHANG Peng， ZHU Chang?sheng， LI Weng?heng

（College of Electrical Engineering， Zhejiang University， Hangzhou 310027，China）

Abstract： Impact load is a common load， but it is also very special. Compared with other persistent loads， impact load has the characteristics of short duration and large output energy， leading to the transient vibration which may affect the system’s operation safety. In this paper， the active magnetic bearing （AMB）?flexible rotor was installed on an elastically supported base. The vibration characteristics of the elastic supported base under five types of impact loads， including double half?sine wave， half?sine wave， sine wave， triangle wave， and double triangle wave， were investigated. The influence of different impact load parameters on the acceleration of the base was obtained. In order to suppress the rotor vibrations， relative to the base induced by impact loads， a transient vibration compensation control strategy based on the base acceleration was derived. The theoretical and experimental results indicate that the elastic supported base and the AMBs?flexible rotor system installed on it both exhibit obvious impact characteristics under impact loads. These impact characteristics vary with different types of impact loads. The effect of base shock excitations on the rotor vibration can be effectively suppressed by the proposed algorithm.

Key words： dynamics of rotor； active magnetic bearing；vibration suppression； base shock；feed?forward compensation

作者簡(jiǎn)介： 張 鵬（1992―），男，博士研究生。 E?mail： zhang_peng@zju.edu.cn。

通訊作者： 祝長(zhǎng)生（1963―），男，博士，教授。 E?mail： zhu_zhang@zju.edu.cn。