摘要： 雖然現(xiàn)有殼模型在0～500 Hz頻帶內(nèi)精度高，適合用于輪胎結(jié)構(gòu)振動分析，但由于模型中耦合了胎側(cè)二維殼模型，導(dǎo)致胎冠振動模態(tài)難以分離，且模型自由度和所需輸入?yún)?shù)增加。本文對該殼模型進行改進：在保持胎冠殼模型不變的基礎(chǔ)上，應(yīng)用輪胎環(huán)模型和板模型中對胎側(cè)的近似方法，采用彈性基底代替胎側(cè)二維殼模型，簡化了原模型的邊界條件并縮減了輸入?yún)?shù)個數(shù)；針對改進后的殼模型建立了求解方法，實現(xiàn)了胎冠模態(tài)頻率和振型的求解。并通過與實驗數(shù)據(jù)的對比，驗證了改進后的殼模型及其求解方法的正確性。

關(guān)鍵詞： 輪胎振動； 殼模型； 邊界條件； 模態(tài)頻率； 模態(tài)振型

中圖分類號： U461.1； U463.341 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）09-1556-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.09.012

引 言

輪胎的振動特性和汽車的操縱特性與車內(nèi)外噪聲密切相關(guān)，因此輪胎結(jié)構(gòu)振動性能是輪胎設(shè)計的關(guān)鍵。目前廣泛采用的輪胎振動分析模型主要包括有限元模型和解析模型兩類。其中，有限元模型的幾何建模和模擬輪胎接地變形過程更加精確，但不適合用于分析輪胎結(jié)構(gòu)振動機理，且計算效率較低；解析模型的幾何建模過程需要進行許多簡化，難以準確模擬接地變形過程，但可以體現(xiàn)輪胎中不同類型彈性波的傳播和影響，且計算效率較高。

由于解析模型在分析輪胎振動機理及計算效率方面具有優(yōu)勢，因此一直是國內(nèi)外科研機構(gòu)的研究重點和熱點。環(huán)（Ring）模型［1?7］、梁（Beam）模型［8?9］、殼（Shell）模型［10?18］和板（Plate）模型［19?20］等多種模型先后被建立。這些模型所適用的頻率范圍和應(yīng)用場景不同。其中，環(huán)模型是二維模型，不包含沿輪胎橫向傳播的彈性波及對應(yīng)模態(tài)，有效頻率范圍較窄（約到250 Hz）；梁模型和板模型忽略了輪胎曲率，因此無法用于滾動輪胎；板模型所能分析的頻率最高，可達3000 Hz，但由于忽略了輪胎曲率，在100 Hz以下的頻段內(nèi)誤差較大。

總結(jié)上述模型可知，從適用的頻帶范圍及模型與實際輪胎的接近程度來看，殼模型是綜合性能較好的輪胎振動解析模型。主要體現(xiàn)在：實際中輪胎結(jié)構(gòu)噪聲的主要關(guān)注頻段是20～500 Hz，殼模型在該頻段內(nèi)具有較高精度；殼模型是三維模型，包含橫向模態(tài)；殼模型可以模擬輪胎滾動。

關(guān)于殼模型的研究歷史久遠。Soedel［10］采用圓柱形薄殼近似輪胎，并從特征值和格林函數(shù)的角度研究了模型求解問題。Huang等［11］進一步研究了兩端簡支的旋轉(zhuǎn)柱殼的動態(tài)響應(yīng)求解問題，模型中考慮了由于內(nèi)部氣壓和旋轉(zhuǎn)離心力引起的周向預(yù)應(yīng)力，也包含了應(yīng)變的二階非線性項，殼模型的邊界（即胎冠兩側(cè)的邊界）采用簡支邊界條件近似。Molisani等［12］研究了輪胎結(jié)構(gòu)和聲腔耦合模型，其中輪胎胎冠采用殼模型，胎側(cè)假設(shè)為剛性，胎冠與胎側(cè)相連處假設(shè)為簡支邊界條件。Kim等［13］進一步研究了旋轉(zhuǎn)對殼模型振動響應(yīng)的影響，分析了旋轉(zhuǎn)帶來的分岔現(xiàn)象。Bozdog等［14］采用曲面殼模擬輪胎外形，而并未采用常用的圓柱殼，曲面殼模型等效于同時對胎冠和胎側(cè)進行建模，而邊界條件只需在輪輞處給出。Lecomte等［15］提出了用于輪胎振動分析的殼模型，并深入研究了該模型的求解方法、模型參數(shù)獲取方法以及與現(xiàn)有模型的差別。Alujevi等［16］深入研究了殼模型的模態(tài)頻率和振型求解問題，該研究中模型采用的是自由邊界條件。Yang等［17］研究了殼模型的模態(tài)頻率求解問題，該論文的研究關(guān)注點與文獻［16］類似，但相比文獻［16］只考慮自由邊界，該論文采用彈性基底（Elastic Foundation）作為邊界條件，引入4個剛度變量，因此其邊界條件更具一般性。黃海波等［18］建立了考慮橫向彎曲振動的輪胎圓柱薄殼模型，采用徑向、切向和側(cè)向的線性等效彈簧代替胎側(cè)和充氣壓力的彈性作用，并研究了固有頻率的求解問題，模型中表示高階振動時采用的橫向傅里葉基函數(shù)是簡支邊界條件下的模態(tài)，因此該模型實際上隱含定義了胎冠邊界條件為簡支。

對比已建立的殼模型可知，文獻［15］中建立的輪胎振動殼模型是建模過程簡化較少且接近實際輪胎結(jié)構(gòu)和工況的模型。該模型支持周向和橫向的拉伸波和彎曲波，考慮了周向和橫向的預(yù)應(yīng)力及周向和橫向的材料力學(xué)性能差異，且包含輪胎轉(zhuǎn)速。特別的是，該模型未采用簡支或自由等類型的理想邊界模擬胎冠和胎側(cè)連接處的邊界條件，而是通過邊界處的應(yīng)力合力和形變位移連續(xù)，建立了胎冠?胎側(cè)耦合系統(tǒng)。但是這種通過對胎側(cè)建立殼模型形成耦合系統(tǒng)的方法，不但增加了系統(tǒng)的自由度，而且無法再直接分析胎冠的振動機理，阻礙了胎冠模態(tài)頻率和振型的計算和分析；此外，對胎側(cè)建模還會引入許多實際中難以獲取的參數(shù)，如胎側(cè)的拉伸剛度、半徑、高度、線密度、損耗因子、預(yù)應(yīng)力等，增加了該模型的實際應(yīng)用難度。

實際上，已有的輪胎振動模型大都未對胎側(cè)直接建模，而是采用彈性基底模擬胎側(cè)作用（如前文所述的環(huán)模型和板模型），并取得了良好的效果。鑒于上述原因，本文對文獻［15］中的殼模型進行改進，在保持胎冠殼模型不變的基礎(chǔ)上，應(yīng)用彈性基底代替胎側(cè)殼模型，簡化原模型的邊界條件，縮減參數(shù)個數(shù)，并實現(xiàn)胎冠模態(tài)頻率和振型的求解，推進該殼模型的實際工程應(yīng)用。

1 胎冠殼模型

為明確相關(guān)參數(shù)的定義和相關(guān)變量的含義，簡要介紹胎冠殼模型（見圖1）［15］。如圖1所示，笛卡爾坐標系是固定的慣性參考系，極坐標隨胎冠旋轉(zhuǎn)，分別指向徑向、切向和橫向。變形前殼上一點的位置向量為，其中，為圓柱半徑，為胎冠橫向的坐標。圖1中，為胎冠寬度，為胎冠轉(zhuǎn)速。殼上一點的變形表示為（u，v，w分別表示，，方向的變形分量）。則該模型的運動方程可通過哈密頓原理即如下變分方程推導(dǎo)得到：

（1）

式中 和表示變形的前、后時刻；表示殼變形和旋轉(zhuǎn)過程的動能，可表示為：

（2）

式中 表示單位面積的胎冠質(zhì)量；表示面積分；表示速度，表達式為：

。

式（1）中的表示變形應(yīng)變能，表達式為：

（3）

式中 被積函數(shù)第一項中列向量中的元素為不同方向的線性應(yīng)分變量，矩陣中的元素為拉伸剛度；被積函數(shù)第二項中列向量中的元素為不同方向的曲率，矩陣元素為彎曲剛度。

式（1）中的表示預(yù)應(yīng)力引起的勢能，表達式為：

（4）

式中 為單位周向距離上的橫向預(yù)應(yīng)力；為單位橫向距離上的周向預(yù)應(yīng)力；和分別表示橫向和周向的二階應(yīng)變分量。

式（1）中的表示殼變形時內(nèi)部壓力所做的功，表達式為：

（5）

式中 為輪胎內(nèi)部氣壓。

式（1）中的表示胎冠邊界上應(yīng)力所做的功，表達式為：

（6）

式中 ，和分別表示橫向、切向和徑向的應(yīng)力合力；表示彎矩。這些邊界應(yīng)力合力的方向和符號約定如圖2所示。另外需注意式（6）中的積分是在胎冠兩側(cè)邊界上沿周向的一維積分，與式（3）～（5）在胎冠表面的面積分不同。

將式（2）～（6）代入式（1），通過變分運算可推導(dǎo)得到殼模型的運動方程為：

（7）

其中，變形和系數(shù)矩陣L的表達式分別如下：

其中：

此外，在變分過程中，還可推導(dǎo)得到周向預(yù)應(yīng)力，邊界應(yīng)力合力表達式為：

（8）

（9）

（10）

（11）

2 胎冠殼模型邊界條件改進

對于圖1所示的胎冠殼模型，周向滿足周期性邊界條件，因此可用或作為傅里葉基函數(shù)展開，其中，為周向模態(tài)階數(shù)；但是橫向的傅里葉基函數(shù)是未知的，需由胎冠兩側(cè)的邊界條件確定。如果采用簡支等類型的理想邊界條件，那么橫向的傅里葉基函數(shù)存在解析表達式：或，其中，m為軸向模態(tài)階數(shù)。但是這種理想邊界條件不符合實際，沒有考慮胎側(cè)對胎冠的作用引起的橫向模態(tài)變化。

解決上述問題有兩種方案：一種是對胎側(cè)進行建模，然后通過確保胎冠和胎側(cè)連接處的應(yīng)力合力連續(xù)和形變位移連續(xù)從而形成耦合系統(tǒng)；另外一種是采用彈性基底（即線性等效彈簧）代替胎側(cè)作用。如引言中所述，第一種方案存在一些難點，實際應(yīng)用性不足。因此，本文采用第二種方案與前文的胎冠殼模型進行結(jié)合，以解決上述難點，提升這一模型的實用性。

如圖3所示，在所建立的殼模型的基礎(chǔ)上，將胎側(cè)作用等效為均布在胎冠殼模型兩端的軸向、周向、徑向和彎曲方向的線性彈簧，前三個方向與所建立的極坐標系方向?qū)?yīng)，彎曲方向則與方向一致，它們對應(yīng)的剛度分別為。由于伴隨著殼模型的推導(dǎo)過程，同時得到了模型邊界上的邊界應(yīng)力表達式（8）～（11），因此對于上述殼模型來說，采用這種等效方法非常適合，可以直接給出模型的邊界條件如下：

在一側(cè)：

（12）

在一側(cè)：

（13）

3 改進后胎冠殼模型的求解方法

采用改進邊界條件后，殼模型的求解實際上是聯(lián)合求解式（7）給出的運動方程和式（12），（13）給出的邊界條件。但是根據(jù)式（12）和（13）無法判斷并給出橫向的傅里葉基函數(shù)。為此，首先定義沿橫向傳播的彈性波為行波，橫向波數(shù)為，然后通過邊界條件確定真實的橫向模態(tài)。因此，假設(shè)形變位移為：

（14）

式中 ，和分別為軸向、周向和徑向形變位移幅值；為頻率。

將式（14）代入運動方程（7）中，可得：

（15）

其中：

為使得式（15）有非零解，其左側(cè)系數(shù)矩陣的行列式應(yīng)為零，因此得到如下特征方程：

（16）

其中：

注意式（16）中包含橫向波數(shù)和頻率兩個參數(shù)，也就是說該方程約束了和之間的關(guān)系，但是由于這兩個參數(shù)相互關(guān)聯(lián)，因此通過該方程無法求得殼模型的模態(tài)頻率。模態(tài)頻率的確定還需結(jié)合邊界條件，即式（12）和（13）。具體方法如下。

首先給定一個頻率，則通過式（16）可以求解出。由于式（16）是關(guān)于的8次特征方程，因此其有8個解。將給定的和其對應(yīng)的8個解代入式（14）中的徑向形變位移，可得：

（17）

其中：

（18）

式中 （=1，2，…，8）為對應(yīng)每個解的復(fù)系數(shù)。

根據(jù)式（15），可以得到另兩個方向形變位移幅值與徑向形變位移幅值的關(guān)系如下：

（19）

其中：

因此，式（14）中的橫向和切向形變位移可表示為：

（20）

其中：

（21）

將式（17）和（20）代入式（12）和（13），可以得到以（=1，2，…，8）為未知數(shù)的8階線性方程組：

（22）

式中 為階系數(shù)矩陣；為由（=1，2，…，8）組成的列向量。

如果矩陣行列式為0，也就是式（22）有非零解，那么此時所對應(yīng)的頻率即為殼模型的模態(tài)頻率。計算時可以采用搜索的方法，對所關(guān)心頻帶內(nèi)的每個頻率重復(fù)上述過程，即可得到該頻帶內(nèi)的模態(tài)頻率，并可進一步得到該模態(tài)頻率對應(yīng)的振型。

但是這里需要注意一個難點：給定頻率后，通過式（16）求解出的可能為復(fù)數(shù)根，也就是為復(fù)矩陣，因此通過搜索實頻率，無法找到復(fù)矩陣的行列式等于0的位置，即無法確定模態(tài)頻率。

解決上述難點的方法是對式（16）求解出的的根的形式進行討論，并將每種的根的形式對應(yīng)的形變位移轉(zhuǎn)化為實系數(shù)表達式，進而代入邊界條件確定模態(tài)頻率。

式（16）的奇數(shù)項系數(shù)為0，因此8個解可看作4對。因為復(fù)數(shù)解有純實數(shù)、純虛數(shù)和復(fù)數(shù)三種，所以式（16）關(guān)于的4對解的形式可以總結(jié)為9種，如表1所示，表中的變量元素全為正實數(shù)。

將每種解的組合形式代入式（18）會得到不同的表達式。這里首先以最典型的第一種解的組合形式為例，當取表1中第1種解的組合形式時，可得：

（23）

式中 （=1，2，…，8）為由組合成的新系數(shù)且全為實數(shù)。

將式（23）代入式（21），可得：

（24）

（25）

其中：

式中 real表示實部，img表示虛部。

將式（23）～（25）代入邊界條件（12）和（13），可以得到以（=1，2，…，8）為未知數(shù)的8階線性方程組：

（26）

式中 為由（=1，2，…，8）組成的列向量；為階系數(shù)矩陣且其中元素全為實數(shù)。若方程（26）存在非零解，則行列式為零，此時所對應(yīng)的頻率即為殼模型的模態(tài)頻率。

上述求解過程可總結(jié)如下：首先給定一個周向模態(tài)階數(shù)和頻率，求解式（16）得到（=1，2，…，8），針對每個根據(jù)公式（23）～（25）生成純實數(shù)系數(shù)矩陣并計算的行列式；重復(fù)上述過程，計算頻帶內(nèi)其他頻率對應(yīng)的的行列式；判別的行列式等于零時對應(yīng)的頻率，即為模態(tài)頻率；計算模態(tài)頻率下的非零系數(shù)，并代回公式（17）和（20），計算模態(tài)振型。

4 模型驗證

為驗證改進模型的準確性，以型號為205/55R16的輪胎為對象開展實驗，該輪胎的相關(guān)參數(shù)如表2所示。實驗測試了該輪胎的自由模態(tài)頻率。實驗時，在輪胎中間（即）圓周方向均勻布置了24個測點，并通過移動力錘的方式測試了每個測點處的力錘信號與固定粘貼的加速度傳感器信號之間的頻率響應(yīng)函數(shù)（FRF），然后通過Test. Lab計算得到徑向模態(tài)頻率。

采用本文提出的改進殼模型計算得到的結(jié)果與實驗結(jié)果的對比如表3所示，部分階次的誤差小于1%，部分階次的誤差接近2.5%。部分階次誤差稍大的原因在于：首先，模型采用了線性、各向同性等假設(shè)，如計算中假設(shè)了材料的軸向和橫向特性相同，即且，但實際輪胎材料具有非線性且存在各向異性；其次，由于模態(tài)頻率和軸向特征波數(shù)相互耦合，因此只能采用遍歷搜索的方式，通過行列式數(shù)值的符號變化近似得到模態(tài)頻率，因此計算過程存在誤差；最后，部分輸入?yún)?shù)是通過反演得到的，與實際參數(shù)之間存在誤差。但是，總體上計算結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好，從而證明了本文提出的改進殼模型的準確性。

圖4～6給出了實驗獲得的3～5階模態(tài)振型，并與采用本文提出的改進殼模型計算得到的模態(tài)振型進行了對比。通過對比結(jié)果可以看出，計算結(jié)果與實驗結(jié)果較為吻合，進一步說明了改進殼模型的準確性。

5 結(jié) 論

本文將輪胎環(huán)模型和板模型中近似胎側(cè)的彈性基底方法用于改進殼模型中。與原模型相比，應(yīng)用彈性基底后的模型去除了胎冠三維殼模型與胎側(cè)二維殼模型的耦合，實現(xiàn)了實際中非常重要的胎冠振動模態(tài)的分離，減少了實際中難以獲取的輸入?yún)?shù)數(shù)目和模型求解的自由度。

針對改進的殼模型，本文詳細討論了模型求解過程中存在的難點，建立了胎冠模態(tài)頻率和模態(tài)振型的求解方法，并通過實驗驗證了改進后的殼模型及其求解方法的正確性。

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Optimization of the shell model for tire vibration analysis

ZHANG Yong-bin， ZHANG Zhen-wei， ZHANG Xiao-zheng， BI Chuan-xing

（Institute of Sound and Vibration Research， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China）

Abstract： The existing shell model is accurate in the frequency band of 0～500 Hz， making it highly suitable for tire vibration analysis. However， the modal properties of the tire belt cannot be obtained separately and the freedom as well as the number of parameters required by the model increases， because the shell model couples the tire belt and sidewall. Therefore， this shell model was improved in this paper. The shell model for simulating the tire belt remained unchanged， whereas， by using the method for approximating the sidewall used in the ring model and plate model of tire， the two-dimensional shell model for simulating the tire sidewall was replaced by an elastic foundation to simplify the boundary conditions of the tire belt and reduce the number of parameters related to the tire sidewall. The solving method for the improved shell model was developed to calculate the modal frequency and the modal shape of the tire belt. The validity of both the improved shell model and its solving method was demonstrated by an experiment.

Key words： tire vibration；shell model；boundary conditions；modal frequency；modal shape

作者簡介： 張永斌（1982―），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail： ybzhang@hfut.edu.cn。