新學(xué)期，學(xué)校新建了一個(gè)“數(shù)學(xué)活動(dòng)俱樂(lè)部”，可以讓喜歡數(shù)學(xué)的同學(xué)在里面盡情閱覽數(shù)學(xué)讀物，暢玩數(shù)學(xué)闖關(guān)游戲，甚至還可以把里面好玩的數(shù)學(xué)玩具借回家！

這個(gè)俱樂(lè)部可受大家的歡迎了！這不，今天，我、陸小豆、李嘉陽(yáng)、王凡相約一起來(lái)到了這個(gè)奇妙的數(shù)學(xué)樂(lè)園。

11月5日 星期二

拼合的奧秘

“趙依茗，快來(lái)看這里裝的是什么！”手快的陸小豆一進(jìn)門就直奔數(shù)學(xué)玩具區(qū)，只見(jiàn)他拿著一個(gè)胖小豬，邊招手邊喊我過(guò)去看。原來(lái)，這個(gè)小豬形狀的容器里裝的是很多大大小小的正方形磁力片，有的邊長(zhǎng)1厘米，有的邊長(zhǎng)2厘米。

最近我們正好在復(fù)習(xí)三年級(jí)學(xué)的圖形周長(zhǎng)的相關(guān)知識(shí)，于是我迫不及待地出了道題考考陸小豆：“將3個(gè)邊長(zhǎng)都是1厘米的小正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)是多少厘米？”

“這個(gè)簡(jiǎn)單哪，看我的！”只見(jiàn)他胸有成竹地拿出3個(gè)小正方形擺成一排，“我們可以先算出拼成的大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是3厘米，寬是1厘米，然后用（3＋1）×2算出周長(zhǎng)是8厘米?！?/p>

聽(tīng)了他的回答，我又問(wèn)他：“既然長(zhǎng)方形是由3個(gè)同樣的小正方形拼成的，那么它的周長(zhǎng)和這3個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和相等嗎？如果不相等，又是為什么呢？”

陸小豆凝神想了想說(shuō)：“我們數(shù)一數(shù)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)只包含小正方形的8條邊長(zhǎng)，而原來(lái)3個(gè)小正方形的周長(zhǎng)之和一共有12條邊長(zhǎng)，因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)小正方形拼合后中間就少了2條邊長(zhǎng)，這里一共有2次拼合，每條邊長(zhǎng)1厘米，所以一共少了4厘米，因此我們還可以用原來(lái)3個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和減去小正方形的4條邊長(zhǎng)，算出拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)，1×4×3－2×2＝8（厘米）?！?/p>

聽(tīng)了陸小豆的解釋，我忍不住為他點(diǎn)贊，看來(lái)這個(gè)家伙學(xué)得不錯(cuò)呢！

還沒(méi)等我緩過(guò)神來(lái)，陸小豆出題考我了：“你來(lái)說(shuō)說(shuō)，用12個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形可以拼成幾種不同形狀的長(zhǎng)方形？哪一種周長(zhǎng)最短？”這可難不倒我，我三下兩下就用小正方形拼出了三種形狀的長(zhǎng)方形。對(duì)著相應(yīng)的圖，先分別求出這三個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，然后根據(jù)周長(zhǎng)公式算出它們的周長(zhǎng)分別是（12＋1）×2＝26（厘米）、（6＋2）×2＝16（厘米）和（4＋3）×2＝14（厘米）。因此“每行拼4個(gè)，拼3行”這種長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最短。

我們?cè)谟?jì)算幾個(gè)圖形拼成的新圖形周長(zhǎng)時(shí)，一定要先拼一拼或者畫一畫，再根據(jù)圖形找出所需的條件，運(yùn)用周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算，或者仔細(xì)觀察拼圖過(guò)程，思考減少的邊數(shù)情況，靈活計(jì)算。

用一些相同的小正方形拼成長(zhǎng)方形，形狀可能不唯一，周長(zhǎng)也不一定相等。當(dāng)拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬越接近，它的周長(zhǎng)就越短；反之，當(dāng)拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬相差越大，它的周長(zhǎng)就越長(zhǎng)。

學(xué)有所用

1.用3個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比3個(gè)小正方形的周長(zhǎng)的和少了多少厘米？

2.用4個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形拼成一個(gè)大正方形，求這個(gè)大正方形的周長(zhǎng)。

3.用18個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形拼成一個(gè)周長(zhǎng)最短的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？

11月12日 星期二

巧分正方形

今天來(lái)到數(shù)學(xué)活動(dòng)俱樂(lè)部，我被一個(gè)“巧分正方形”的闖關(guān)游戲深深吸引。

第一關(guān)超級(jí)簡(jiǎn)單：將一個(gè)邊長(zhǎng)是12厘米的正方形分成4個(gè)小正方形。我想都沒(méi)想就居中畫了一個(gè)“十字架”，這樣就把正方形的邊長(zhǎng)分成了2份，整個(gè)大正方形就分成了4個(gè)小正方形。

誰(shuí)知第二關(guān)就開始難了：將一個(gè)邊長(zhǎng)是12厘米的正方形分成6個(gè)小正方形。我在紙上比畫來(lái)比畫去，半天也沒(méi)想出結(jié)果。沒(méi)辦法，忍不住偷看了旁邊的智慧錦囊，原來(lái)，題目雖然要求分成6個(gè)小正方形，但這6個(gè)小正方形可以一樣大也可以不一樣大。因此我們可以先把邊長(zhǎng)平均分成3份，這樣就可以分成9個(gè)相等的小正方形，然后再將其中4個(gè)相等的小正方形合并成一個(gè)較大的正方形，那么正方形的個(gè)數(shù)就會(huì)少掉3個(gè)，這樣圖中就一共只有6個(gè)小正方形了。

借助這個(gè)智慧錦囊，我又順利地闖過(guò)了第三關(guān)：將一個(gè)邊長(zhǎng)是12厘米的正方形分成8個(gè)小正方形。我按剛才的思路，先把邊長(zhǎng)平均分成4份，這樣就一共分成了16個(gè)相等的小正方形，然后將其中的9個(gè)小正方形合并成一個(gè)大一點(diǎn)的正方形，這樣就一下子少掉了8個(gè)，16－8＝8（個(gè)），順利完成任務(wù)。

就這樣我闖入了第四關(guān)：將一個(gè)邊長(zhǎng)12厘米的正方形分成7個(gè)小正方形。我以為憑著剛才的辦法，自己勝券在握，誰(shuí)知想了半天此法居然無(wú)用。但我又不想再次打開錦囊，只想依靠自己的力量解答出來(lái)。于是我就想，前面都是先多分再合并的，現(xiàn)在我是不是可以轉(zhuǎn)換一下思路，先分少一點(diǎn)，再接著繼續(xù)分呢？果然，當(dāng)我循著這條思路往下嘗試時(shí)，奇跡真的出現(xiàn)了。看，我先把邊長(zhǎng)平均分成2份，這樣就把正方形分成了4個(gè)相等的小正方形，然后我又把其中一個(gè)小正方形再次平均分成了4個(gè)更小的小正方形，這樣就增加了3個(gè)，整個(gè)圖就一共分成了7個(gè)小正方形，真是完美！

只要記住以上是如何把一個(gè)正方形分成6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)小正方形的，再將其中任意一個(gè)正方形分成4個(gè)更小的正方形，就可以得到9個(gè)、10個(gè)、11個(gè)……反復(fù)用此方法，就能把一個(gè)正方形分成任意多個(gè)小正方形啦。

學(xué)有所用

1.將一個(gè)邊長(zhǎng)12厘米的正方形分成10個(gè)小正方形。

2.將一個(gè)邊長(zhǎng)16厘米的正方形分成11個(gè)小正方形。

3.將一個(gè)大正方形分割成9個(gè)小正方形，至少想出兩種方法。

11月19日 星期二

靈活轉(zhuǎn)化解難題

當(dāng)我踏進(jìn)俱樂(lè)部大門的時(shí)候，就知道來(lái)晚了，幾乎每個(gè)項(xiàng)目前都有人站著了，看來(lái)喜歡思維探索的同學(xué)真不少??！我在人群里看到了好哥們王凡，他很專注地在思考，根本顧不上搭理我。我又看到了陸小豆，這家伙今天似乎特別興奮，一直在和趙依茗說(shuō)個(gè)不停，我只好在旁邊當(dāng)個(gè)流動(dòng)的觀眾。

“李嘉陽(yáng)，快來(lái)幫我一起想想！”原來(lái)是隔壁班的陳琪琪在叫我，我連忙轉(zhuǎn)了過(guò)去。陳琪琪在看一本書，應(yīng)該是遇到難題了。我一看，是一道圖形題：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是8厘米，AB＝10厘米，CO⊥AB，求CO的長(zhǎng)。

讀完題目我感覺(jué)似曾相識(shí)，想起在奧數(shù)社團(tuán)里老師曾經(jīng)講過(guò)類似的題目，可以在圖上添加一條輔助線來(lái)幫助解題。于是我試著把BC連起來(lái)，這樣就形成了一個(gè)三角形ABC，而且這個(gè)三角形的面積正好是正方形面積的一半，8×8÷2＝32（平方厘米），AB是三角形的底，CO正好是這個(gè)三角形的高，32×2÷10＝6.4（厘米）。聽(tīng)了我的一番講解，陳琪琪馬上明白了。他熱情地邀請(qǐng)我和他一起往下看，原來(lái)他看的題目全是和正方形有關(guān)的圖形趣題。

很快，我們又看到了這樣一道題：下圖是由4個(gè)相同的直角三角形拼成的大正方形，如果三角形的直角邊長(zhǎng)分別是2厘米和3厘米，大正方形的面積是多少？

因?yàn)椴恢来笳叫蔚倪呴L(zhǎng)，我們就無(wú)法直接求出它的面積。所以我們需要轉(zhuǎn)換一下思考的角度。通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)大正方形是由4個(gè)相同的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形組成的，而4個(gè)直角三角形的面積可以直接求出，3×2÷2×4＝12（平方厘米），中間小正方形的邊長(zhǎng)是3－2＝1（厘米），所以它的面積就是1×1＝1（平方厘米），大正方形的面積就是12＋1＝13（平方厘米）。

通過(guò)閱讀，我們又知道了有時(shí)候可以借助平移、旋轉(zhuǎn)等技巧，讓圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)，巧妙地求出陰影部分的面積。就如右圖中右下方的大正方形可以向上平移2厘米，就形成了一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘米，陰影部分面積就是6×4＝24（平方厘米）。

解決這些和正方形有關(guān)的圖形趣題，我們可以抓住圖形的基本關(guān)系，靈活轉(zhuǎn)換思路，雖然沒(méi)有固定的模式，但我們可以用添加輔助線、拼拼移移、等量變換等靈活多樣的形式，將未知變?yōu)橐阎瑥?fù)雜轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單，綜合化成單一，順利巧妙地解決這些難題。

真正用心去探索，時(shí)間就會(huì)過(guò)得特別快，收獲滿滿的我們依依不舍地結(jié)束了與正方形的美好之約。小小正方形，美麗大世界，它還有很多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題等著我們?nèi)ヌ剿骱桶l(fā)現(xiàn)，期待著再一次的美麗相約。

學(xué)有所用

1.求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）

2.街心花園中一個(gè)正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是16平方米，那么這個(gè)花壇的面積是多少平方米？

3.在大正方形紙里剪掉涂色部分，這3個(gè)涂色部分也都是正方形。已知涂色部分的周長(zhǎng)是48厘米，則大正方形紙的面積是多少平方厘米？

演示過(guò)程

拼合的奧秘

1.用3個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，一共有2次拼合，少了4個(gè)邊長(zhǎng)，2×4＝8（厘米）。

2.拼成的大正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，所以大正方形的周長(zhǎng)是4×4＝16（厘米）。

3.用18個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小正形拼成周長(zhǎng)最短的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬應(yīng)該最接近，所以長(zhǎng)是6厘米，寬是3厘米，周長(zhǎng)是（6＋3）×2＝18（厘米）。

巧分正方形

1.

2.

3.（答案不唯一）

靈活轉(zhuǎn)化解難題

1.

可以在右上角添補(bǔ)輔助線，讓圖形成為一個(gè)大長(zhǎng)方形，然后用大長(zhǎng)方形的面積減去左下角三角形的面積和右上角小長(zhǎng)方形的面積。

大長(zhǎng)方形面積：（4＋3）×4＝28（平方厘米）

小長(zhǎng)方形面積：（4－3）×3＝3（平方厘米）

三角形面積：28÷2＝14（平方厘米）

陰影部分面積：28－3－14＝11（平方厘米）

2.可以把四周小路分割成幾個(gè)相同的長(zhǎng)方形、正方形進(jìn)行思考。

方法一：16÷4＝4（平方米），4÷1＝4（米），4－1＝3（米），3×3＝9（平方米）

方法二：1×1＝1（平方米），1×4＝4（平方米），（16－4）÷4＝3（平方米），

3÷1＝3（米），3×3＝9（平方米）

答：這個(gè)花壇的面積是9平方米。

3.通過(guò)轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)，涂色部分的周長(zhǎng)正好和大正方形的周長(zhǎng)相等。

48÷4＝12（厘米），12×12＝144（平方厘米）。

答：大正方形紙的面積是144平方厘米。