“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法倡導(dǎo)“三學(xué)”（即學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成），在新授課中，特別是單元教學(xué)中實(shí)踐較多。近一段時(shí)間以來(lái)，筆者用較多的時(shí)間和精力在九年級(jí)開展課堂教學(xué)與研究，對(duì)九年級(jí)復(fù)習(xí)課有較多的實(shí)踐和思考。本文以九年級(jí)“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾芜x編“好的問(wèn)題”，踐行“三學(xué)”課堂。

一、“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：過(guò)一點(diǎn)作圓的切線

問(wèn)題1：已知⊙O，如圖1，過(guò)一點(diǎn)P，畫出⊙O的切線。

教學(xué)預(yù)設(shè)：這是一道“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在所給的圖1中沒(méi)有點(diǎn)P時(shí)，教師可及時(shí)引導(dǎo)：“同學(xué)們，你們可在圖1中添出一個(gè)點(diǎn)P，繼續(xù)求解?！边@時(shí)學(xué)生就會(huì)想到需要分類討論（如圖2—4）。在三種點(diǎn)和圓的位置關(guān)系出示之后，教師可順便安排學(xué)生復(fù)習(xí)點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系（為節(jié)約用時(shí)，教師可以提前準(zhǔn)備PPT以配合學(xué)生講解）。在圖2中，點(diǎn)P在⊙O外，過(guò)點(diǎn)P可以畫出兩條切線；圖3中，點(diǎn)P在⊙O上，過(guò)點(diǎn)P可以畫出一條切線；圖4中，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P不能畫出切線。特別是，結(jié)合圖4，學(xué)生會(huì)說(shuō)出過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)P不能畫出圓的切線，教師可追問(wèn)：“能否畫圖演示，為什么不能畫出圓的切線？”學(xué)生可能會(huì)過(guò)點(diǎn)P畫出圓的割線，看出此時(shí)畫的線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，不符合圓的切線定義，順勢(shì)也就復(fù)習(xí)了圓的切線、直線和圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)。教師可結(jié)合PPT呈現(xiàn)相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖（或思維導(dǎo)圖）。

需要說(shuō)明的是，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將尺規(guī)作圖“過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線”作為選學(xué)內(nèi)容，所以我們先安排的是“畫切線”活動(dòng)，然后結(jié)合學(xué)情，相機(jī)安排學(xué)生“用尺規(guī)作圖，過(guò)圓上一點(diǎn)或圓外一點(diǎn)作圓的切線”。教師還可預(yù)設(shè)不同的作法，如文獻(xiàn)[2]中的教學(xué)實(shí)踐，作為教學(xué)引導(dǎo)時(shí)的“備用”。

活動(dòng)2：切線長(zhǎng)定理及基本圖形的研究

問(wèn)題2：如圖5，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A、B，射線PO交⊙O于點(diǎn)D、E，交弦AB于點(diǎn)C，你能找到哪些相等的線段和哪些相等的角？

教學(xué)預(yù)設(shè)：教師組織學(xué)生復(fù)習(xí)切線長(zhǎng)定理時(shí)，可安排學(xué)生分組交流后，再在班級(jí)內(nèi)進(jìn)行匯報(bào)展示。如果學(xué)生講解圖5中相等的線段或角比較“雜亂、無(wú)序”，教師可追問(wèn)其他學(xué)生“能否更加有序地說(shuō)說(shuō)，以便不重不漏”。教師在點(diǎn)評(píng)時(shí)，要注意從軸對(duì)稱（對(duì)稱軸是直線PO）和全等三角形的角度進(jìn)行小結(jié)。順便指出，若是中考復(fù)習(xí)課，教師還可從相似的角度追問(wèn)：“圖中有相似三角形嗎？舉例說(shuō)說(shuō)?！?/p>

活動(dòng)3：三角形的內(nèi)切圓和外接圓

問(wèn)題3：（在圖2的基礎(chǔ)上）如圖6所示，在⊙O上取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，并與⊙O的切線PA、PB相交于點(diǎn)Q、M。結(jié)合圖6，你想到了哪些數(shù)學(xué)概念？

教學(xué)預(yù)設(shè)：這是三角形內(nèi)切圓的基本圖形，學(xué)生能聯(lián)想到三角形內(nèi)切圓、內(nèi)心等數(shù)學(xué)概念。這時(shí)教師可根據(jù)學(xué)情，繼續(xù)安排以下幾個(gè)小問(wèn)題，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)三角形內(nèi)切圓的相關(guān)知識(shí)或性質(zhì)。

（1）任意畫一個(gè)△ABC，如何用尺規(guī)作圖作出它的內(nèi)切圓？（學(xué)生在小組內(nèi)交流構(gòu)圖思路和作法，然后教師安排學(xué)生口頭匯報(bào)作法步驟即可。教師也可以根據(jù)教情、學(xué)情，相機(jī)安排學(xué)生在黑板上進(jìn)行作圖演示。）

（2）如圖6，若△PQM的周長(zhǎng)為12，內(nèi)切圓的半徑r=1，求△PQM的面積。

（3）若圖6中，QM=9，PQ=13，PM=14，求PA、QC、MB的長(zhǎng)。

以上幾個(gè)問(wèn)題都是新授課期間教材上曾出現(xiàn)的例題、習(xí)題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該不會(huì)耗時(shí)太多。如果學(xué)情較好，“問(wèn)題3”的以上設(shè)問(wèn)也不必全部呈現(xiàn)，以“開放式問(wèn)題”代之，比如“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合圖6，設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題并交流，有興趣的同學(xué)可以在課后深入研究”。

問(wèn)題4：如圖7，在Rt△MPQ中，∠PQM=90°，⊙O是△MPQ的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B、C。

（1）當(dāng)∠MPQ=40°時(shí)，求∠POQ的度數(shù)。

（2）若AP=6，MC=4，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題，先在小組內(nèi)交流，再在班級(jí)內(nèi)展示設(shè)計(jì)意圖與求解思路。

教學(xué)預(yù)設(shè)：第（1）問(wèn)可直接根據(jù)三角形內(nèi)角和、角平分線性質(zhì)求解；第（2）問(wèn)比較開放，教師要充分預(yù)設(shè)學(xué)生可能的設(shè)問(wèn)，如求Rt△MPQ各邊長(zhǎng)、圖7中所有線段的長(zhǎng)、內(nèi)切圓⊙O的半徑、三角形PQM的周長(zhǎng)與面積，等等。在學(xué)生交流展示各組的設(shè)計(jì)問(wèn)題之后，教師給出以下追問(wèn)，將問(wèn)題進(jìn)一步變式拓展。

追問(wèn)1：上面已經(jīng)復(fù)習(xí)了三角形的內(nèi)切圓及作法，同學(xué)們想一想，怎樣作出一個(gè)三角形的外接圓呢？圖7中，有比較快的方法作出直角三角形MPQ的外接圓嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè)：通過(guò)“追問(wèn)1”，順勢(shì)復(fù)習(xí)三角形的外接圓、外心等數(shù)學(xué)概念。學(xué)生熟悉相關(guān)作法，而圖7中的△PQM是直角三角形，作出其外接圓的較快的方法是先確定外心（斜邊PM的中點(diǎn)），這樣就可以很容易地作出△PQM的外接圓了。

追問(wèn)2：在上面第（2）問(wèn)的條件下，設(shè)O′是△MPQ的外心，求OO′的長(zhǎng)。

教學(xué)預(yù)設(shè)：“追問(wèn)2”的本質(zhì)是分析“三邊分別為6、8、10的直角三角形的內(nèi)心與外心之間的距離”。

活動(dòng)4：課堂小結(jié)

小結(jié)問(wèn)題1：今天我們復(fù)習(xí)了點(diǎn)和圓、直線和圓、三角形和圓的位置關(guān)系，我們是如何來(lái)研究的？哪些問(wèn)題給你留下了較深的印象？

預(yù)設(shè)：本節(jié)課我們是從“過(guò)一點(diǎn)，畫圓的切線”開始，依次復(fù)習(xí)了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、切線長(zhǎng)定理、三角形內(nèi)切圓和外接圓，并且復(fù)習(xí)了一些典型習(xí)題。

小結(jié)問(wèn)題2：研究一個(gè)圖形（如點(diǎn)、線或三角形）與圓的有關(guān)位置關(guān)系，你積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？

預(yù)設(shè)：如研究圖形的組成元素與圓的組成元素之間的位置關(guān)系，這些關(guān)系對(duì)應(yīng)著一定的數(shù)量關(guān)系。

小結(jié)問(wèn)題3：四邊形一定有內(nèi)切圓嗎？四邊形一定有外接圓嗎？如果一個(gè)四邊形既有內(nèi)切圓，又有外接圓，那這個(gè)四邊形的邊、角之間有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)有興趣的同學(xué)課后深入研究。

預(yù)設(shè)：四邊形不一定有內(nèi)切圓，也不一定有外接圓。如果一個(gè)四邊形既有內(nèi)切圓，又有外接圓，這樣的四邊形對(duì)角互補(bǔ)，對(duì)邊之和相等。

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.選編好的問(wèn)題，讓畫圖活動(dòng)驅(qū)動(dòng)復(fù)習(xí)進(jìn)程

關(guān)于如何選編“好的問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)教學(xué)進(jìn)程，文獻(xiàn)[3]中提出“好的問(wèn)題”要有“數(shù)學(xué)味”“盡量串聯(lián)整節(jié)課”。想來(lái)，本文關(guān)注的這節(jié)復(fù)習(xí)課各個(gè)環(huán)節(jié)的問(wèn)題設(shè)計(jì)也追求了上述特點(diǎn)。比如，開課階段，筆者安排了一道“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”（過(guò)一點(diǎn)，畫出圓的切線），對(duì)于思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)生，教師可以先安排小組交流，以完善他們的認(rèn)知，然后通過(guò)全班學(xué)生交流，展現(xiàn)學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的“完整思考”；在后續(xù)復(fù)習(xí)進(jìn)程中，筆者始終圍繞“活動(dòng)1”畫出的圖形進(jìn)行變式、改編，整節(jié)課都圍繞著開課階段得出的基本圖形漸次展開、由淺及深，實(shí)現(xiàn)了好的問(wèn)題（伴隨畫圖活動(dòng)）驅(qū)動(dòng)整節(jié)課的復(fù)習(xí)進(jìn)程。

2.預(yù)設(shè)開放式問(wèn)題，用相機(jī)追問(wèn)凸顯復(fù)習(xí)深度

鄭毓信教授多年前就倡導(dǎo)“從開放題走向開放式教學(xué)”。然而我們看到的不少?gòu)?fù)習(xí)課中，由于使用了大容量的習(xí)題單式的導(dǎo)學(xué)案，使得復(fù)習(xí)課成為“一題接著一題”的習(xí)題講評(píng)課，雖然在一些習(xí)題的講評(píng)過(guò)程中有些師生的對(duì)話，但大多停留在“師問(wèn)生答”的較低層面，整體上看，教學(xué)過(guò)程是比較封閉的。為了讓教學(xué)從封閉走向開放，我們?cè)谏鲜稣n例的教學(xué)設(shè)計(jì)中安排了多處的“開放式問(wèn)題”，除了上述提到的開課階段的“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”（也可看成開放式問(wèn)題）外，“問(wèn)題2”“問(wèn)題3”“問(wèn)題4”在題干呈現(xiàn)之后，都安排了開放式問(wèn)題，促進(jìn)了后續(xù)的開放式教學(xué)。值得一說(shuō)的是，這些開放式問(wèn)題，并不是簡(jiǎn)單放手，也不是上課時(shí)任由學(xué)生“踩著西瓜皮，滑到哪里是哪里”，而是需要教師在課前充分預(yù)設(shè)學(xué)生可能的回答以及教師要給出什么樣的點(diǎn)評(píng)或追問(wèn)，特別是通過(guò)恰到好處的追問(wèn)，凸顯和追求復(fù)習(xí)的深度。

3.構(gòu)思小結(jié)問(wèn)題，幫學(xué)生梳理、回顧復(fù)習(xí)內(nèi)容

復(fù)習(xí)課的教學(xué)時(shí)間常常難以把控，往往因?yàn)橛行┹^難問(wèn)題的課堂展示、點(diǎn)評(píng)用時(shí)偏多，就會(huì)擠占課堂小結(jié)的時(shí)間。筆者建議，教師在課前就要精心構(gòu)思“小結(jié)問(wèn)題”，讓小結(jié)問(wèn)題幫助學(xué)生梳理回顧整節(jié)復(fù)習(xí)課的內(nèi)容。特別地，要通過(guò)“小結(jié)問(wèn)題”與前面的各個(gè)復(fù)習(xí)課進(jìn)行關(guān)聯(lián)、呼應(yīng)，使其成為復(fù)習(xí)課不可或缺的重要環(huán)節(jié)。如上文“小結(jié)問(wèn)題1”安排學(xué)生回顧本節(jié)課是如何復(fù)習(xí)的，“小結(jié)問(wèn)題2”讓學(xué)生梳理、積累研究幾何問(wèn)題的方法與經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，作為必要的拓展與研究展望，筆者還預(yù)設(shè)了“小結(jié)問(wèn)題3”，讓學(xué)余有力的學(xué)生繼續(xù)探究、挑戰(zhàn)“既有內(nèi)切圓又有外接圓的四邊形的性質(zhì)”。需要指出的是，像“小結(jié)問(wèn)題3”這樣的課前預(yù)設(shè)，也需要像“課中”很多預(yù)設(shè)的追問(wèn)一樣，根據(jù)教情、學(xué)情相機(jī)呈現(xiàn)，有的放矢。想來(lái)，這也是“預(yù)設(shè)要大于生成”的一種備課追求吧。

【參考文獻(xiàn)】

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022（4）．

［2］王強(qiáng).基于確定性下的尺規(guī)作圖［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（8）：58-61．

［3］劉東升.我們需要怎樣的“問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)課堂——由美國(guó)莎維女士執(zhí)教的函數(shù)圖像課說(shuō)起［J］.教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2016（11）：65-68.

［4］鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）：1-4．

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下‘三學(xué)’立人的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：TSXM/2021/06）階段性研究成果。

（作者單位：1.江蘇省南通市啟秀中學(xué)；2.江蘇省南通市教育科學(xué)研究院）